數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：單位圓與三角函數(shù)線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一、三角函數(shù)線的概念正弦線，余弦線，正切線分別是正弦,余弦，正切的幾何表示,是與單位圓有關(guān)的有向線段，通過三角函數(shù)線可將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題?！纠?】分別作出和—的正弦線、余弦線和正切線.思路分析：先以原點為圓心,1為半徑作單位圓，然后分別作出角度為和-的角的終邊，最后按三角函數(shù)線的定義作出正弦線、余弦線和正切線.解析：在直角坐標(biāo)系中作單位圓(如圖），以O(shè)x軸的正方向為始邊作角的終邊，與單位圓交于P點,作PM⊥Ox軸，垂足為M。由單位圓與Ox正方向交點A作Ox軸的垂線，與OP的反向延長線交于T點。則sin=MP，cos=OM,tan=AT,即的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT。同理可作出—的正弦線、余弦線和正切線。sin（—）=M′P′,cos(-）=OM′，tan(-）=AT′,即—的正弦線為M′P′,余弦線為OM′，正切線為AT′.溫馨提示(1）三角函數(shù)線有方向、正負，是有向線段；（2）在利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時要注意方向、正負。各個擊破類題演練1在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊.（1)sinα=；（2)cosα=；（3）tanα=2。解:(1)作直線y=交單位圓于P,Q，則OP與OQ為角α的終邊,如圖甲。（2)作直線x=交單位圓于M,N,則OM與ON為角α的終邊,如圖乙.(3）在直線x=1上截取AT=2,其中A的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)直線OT與單位圓交于C,D，則OC與OD為角α的終邊，如圖丙。變式提升1根據(jù)下列三角函數(shù)值，求作角α的終邊,然后求角α的取值集合。（1）sinα=;（2)cosα=;(3)tanα=-1。解:（1）角α的取值集合為｛α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}.(2）角α的取值集合為{α|α=2kπ±，k∈Z}。（3）角α的取值集合為｛α｜α=2kπ+或α=2kπ+，k∈Z}={α｜α=kπ±,k∈Z｝.二、利用三角函數(shù)線解簡單不等式【例2】在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍，并由此寫出角α的集合.(1)sinα≥;（2）cosα≤—。思路分析：先畫出區(qū)域邊界，再根據(jù)三角函數(shù)的正負確定區(qū)間范圍.解：（1）作直線y=交單位圓于A、B兩點,連結(jié)OA、OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(陰影部分）即為角α的終邊的范圍.故滿足條件的α的集合為｛α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z｝.(2)作直線x=-交單位圓于C、D兩點,連結(jié)OC與OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(陰影部分)即為角α的終邊的范圍。故滿足條件的角α的集合為｛α｜2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z｝。溫馨提示(1）三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、比較大小及求函數(shù)定義域；（2）三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問題的工具。類題演練2利用單位圓解不等式3tanα+>0。思路分析:先畫出正切線,再根據(jù)平面區(qū)域確定角的范圍.解：(1）要使3tanα+〉0,即tanα〉,由正切線知kπ<α<kπ+，k∈Z。不等式的解集為(kπ，kπ+）,k∈Z。變式提升2求下列函數(shù)的定義域:（1）y=+tanx；（2)y=lg（3-4sin2x）。解:（1）由k∈Z?！?kπ≤x≤（2k+1）π且x≠2kπ+(k∈Z).∴定義域為[2kπ,2kπ+）∪(2kπ+，(2k+1)π］(k∈Z）。(2）如圖，∵3-4sin2x>0，∴sin2x〈.∴〈sinx<.∴定義域為(2kπ-,2kπ+）∪(2kπ+，2kπ+）,k∈Z。三、比較三角函數(shù)值的大小【例3】若集合A=［0，2π),集合B={α|sinα〉cosα｝,求集合A∩B。思路分析：三角函數(shù)線的作用是利用有向線段直觀地表示三角函數(shù)值。有向線段的方向表示三角函數(shù)值的正負,有向線段的長度表示三角函數(shù)值的絕對值。在解決有關(guān)三角函數(shù)不等式或比較函數(shù)值大小方面，利用三角函數(shù)線比較簡捷.解:依題意當(dāng)≤α〈π時,sinα〉0，cosα≤0，∴sinα〉cosα成立。當(dāng)0≤α≤時，如圖中以O(shè)A為終邊表示的角,這時sinα≤cosα.當(dāng)〈α〈時，如圖中以O(shè)B為終邊表示的角，這時sinα>cosα成立。當(dāng)π≤α〈時，如圖中以O(shè)C為終邊表示的角,這時sinα〉cosα成立.同理,可推出當(dāng)≤α〈2π時,sinα≤cosα.綜上所述，當(dāng)<α<時,sinα>cosα.∴A∩B=｛α｜<α〈}.類題演練3比較sin1155°與sin(-1654°)的大小.思路分析：首先利用誘導(dǎo)公式將1155°和-1654°分別變化到0°—360°的角,然后在同一單位圓中作出它們的三角函數(shù)線,利用三角函數(shù)線即可比較出大小。解：先化成0°-360°間的角的三角函數(shù)。sin1155°=sin（3×360°+75°）=sin75°,sin(-1654°）=sin（—5×360°+146°）=sin146°.在單位圓中分別作出sin75°或sin146°的正弦線M2P2,M1P1(如圖)?！進1P1<M2P2，∴sin1155°>sin(—1654°）.變式提升3設(shè)a=sin（-1）,b=cos（-1)，c=tan(-1)，試比較a、b、c的大小。解：如右圖,作出—1rad的