數學課堂導學：分類加法計數原理和分步乘法計數原理一

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一、分類加法計數原理的簡單應用【例1】某學生去書店，發(fā)現(xiàn)三本好書，決定至少買其中一本，則該生的購書方案有______種.解析:“至少”問題往往需要發(fā)類，在三本好書中至少買一本，可分為在類：恰買一本，有3種方種；恰買2本，有3種種方法，恰買3本，有1種方案，從而共有3+3+1=7種方法。溫馨提示分類加法計數原理的實質是“整體”等于“部分”之和，就是“整體”(即完成一件事的方法）分成若干個互不相交的類，使得每一類中的元素的個數易于計算.在分類過程中要按照統(tǒng)一的標準進行.本題中是按照購買的本數分成了三類。二、合理地選擇分類標準是用好分類加法計數原理的關鍵【例2】將一個正三角形的各邊都n等分，過各分點作其它兩邊的平行線，一共可產生多少個三角形(包括原來的三角形在內）?解析:如圖，不妨設正△ABC的邊長為n，首先考慮“頭朝上”的三角形,即平行于水平線的那條邊在其對角頂點下方的三角形.邊長為1的“頭朝上"的三角形有1+2+…+n=個.邊長為2的“頭朝上"的三角形有1+2+…+(n-1)=個.…邊長為n的“頭朝上”的三角形只有1個.從而,“頭朝上”的三角形共有個。然后考慮“頭朝下"的三角形，即平行于水平線的那條邊在其對角頂點上方的三角形.邊長為1的“頭朝下”的三角形有1+2+…+（n-1)=個.邊長為2的“頭朝下”的三角形有1+2+…+（n—3）=個.邊長為m的“頭朝下”的三角形有=1k個(n+1＞2m）。故當n為奇數時，“頭朝下”的三角形有。=個；各個擊破【類題演練1】在正方體的8個頂點中，能構成一個直角三角形的3個頂點的三點組的個數是()A.24B。36C。48解析：注意到每個正方形或矩形各有4個“直角三角形三點組”，現(xiàn)正方體共有6個正方形側面及6個矩形對角面，故可視為有12類方案，即12個矩形或正方形，由分類加法計數原理得4×12=48個“直角三角形三點組”。故選C。答案：C【變式提升1】在十進制數中，若一個至少有兩位數字的正整數除了最左邊的數字外,其余各個數字都小于其左邊的數字時，則稱它為遞降正整數.所有這樣的遞降正整數的個數為(）A.1001B。1010C。1011解析：設最左邊的數字為n，則比n小的數字n-1，n—2,…，2，1,0每個只能在n的右邊至多出現(xiàn)一次?？墒牵詎為最左邊數字的遞降正整數的個數等于集合｛n，n-1,…,2，1,0｝的非空子集合個數2n-1.但n=1，2，…，9,故遞降正整數共有=（210—2)-9=1013(個)?！绢愵}演練2】設M是集合S={1，2，3，…,1999｝的子集，且M中每一個正整數(元素)僅含一個0，則集合M所含元素最多有（)A。243個B。324個C.414個D。495個解析：為了清楚起見，可將集合S中的正整數（元素)按其位數劃分為如下四個子集:S1={1，2,3,…,9},S2={10，11，12,…，99},S3={100，101,102,…,999｝,S4={1000,1001，1002，…，1999}。顯然，S1中每個元素都不含0；在S2中，僅個位數為0的元素有9個，則共有9個；在S3中，僅個位或十數為0的元素各有92個，則共有162個；在S4中，僅個位或十位或百位數為0的元素各有92個,則共有3×92=243個.根據分類原理，集合M中所含元素最多有414個.答案：C【變式提升2】已知橢圓=1的焦點在y軸上，若a∈｛1，2,3,4，5}，b∈｛1，2，3，4,5，6,7｝,則這樣的橢圓共有多少個？解析:依題意知b＞a，當b=6或7時，a各有5個可能取值；當b=5時,a只有4個可取值;當b=4時,a只有3個可取值；當b=3時，a只有2個可取值;當b=2時，a只有1個可取值.由分類加法計數原理知:共有5+5+4+3+2+1=20個。當n為偶數時,“頭朝下”的三角形有=個.綜上所述,一共產生的三角形的個數為N=三、先將問題轉化后再進行分類【例3】把20個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中,要求每個盒子內的球數不小于它的編號數，則不同的放法共有____________種。解析:不妨設編號為1,2，3的三個盒子中分別放入了x1，x2,x3個小球，依題意有問題轉化為在條件（2）下求不定方程(1）的解的個數,可考慮用分類計數的方法。當x1=1時，x2=2，3,…,16，這時x3隨之而定，從而共有15種放法。當x1=2時，x2=2,3，…,15,這時x3隨之而定，從而共有14種放法.當x1=15時,只有x2=2，x3=3，僅有一種放法。根據分類原理，符合要求的放法共有N=15+14+…+2+1=120（種）.溫馨提示本題應用等價轉化的思想,把“投球"問題轉化為求不定方程解的個數問題，應用分類計數原理,使問題很快得到解決.【類題演練3】某生為自己的電腦購置價值不超過500元，單價分別為60元，70元的單片軟件和盒裝磁盤。根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式有多少種？解析：設購買單片軟件x片，盒裝磁盤y盒，則依題意有60x+70y≤500(x,y∈N*,且x≥3，y≥2)按購買x片分類：x=3，則y=2，3,4共3種方法;x=4，則y=2，3共2種方法；x=5,則y=2共1種方法；x=6,則y=2共1種方法.由分類加法計數原理知,不同的選購方式有N=3+2+1+1=7（種)【變式提升3】設正2n+1（n∈N*)邊形內接于一個圓,考慮所有以這2n+1邊形的頂點為頂點的三角形,其中有多少個三角形的內部含該圓的圓心?解析：如圖，先取定一個頂點A，將其它2n個頂點順次標為1，2，…,2n.設以A,i（1≤i≤n）為一個端點的兩條直徑的另一個端點分別為B，C（注意:B，C不可能是正2