數(shù)學課堂導學：弧度制

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析1.角度與弧度之間的換算【例1】化下列角度為弧度制：（1）540°;(2)112°30′；（3)36°.思路分析：根據(jù)1°=rad就可將角度化為弧度。解:（1)∵1°=rad，∴540°=3πrad。（2)∵1°=rad，∴112°30′=×112。5rad=rad。（3)∵1°=rad,∴36°=×36rad=。友情提示(1)角度數(shù)的單位不能省略、弧度數(shù)的單位可以省略。(2）一般情況下沒有精確度要求，保留π即可，不必將π化成小數(shù).各個擊破類題演練1把130°，—270°化為弧度為________,____________-.解析：∵1°=rad,∴130°=×130rad×πrad—270°=—×270rad=rad.答案：π變式提升1（1）將-225°化為弧度;（2)將rad化為度.解:（1)∵1°=rad，∴—225°=—×225rad=rad。(2)∵1rad=（)°，∴rad=—（）°=—75°。2.弧度的綜合應用【例2】集合M={x|x=+，k∈Z},N={x｜x=+,k∈Z｝，則有(）A。M=NB。MNC.MND。M∩N=思路分析：本題是考查用弧度制表示角的集合之間的關系.可以用取特殊值法分別找到集合M、N所表示的角的終邊的位置.解：對集合M中的整數(shù)k依次取0,1,2,3，得角。于是集合M中的角與上面4個角的終邊相同，如圖（1）所示.同理，集合N中的角與0，，,，π，π,3,，2π角的終邊相同，如圖(2）所示。故MN?！噙xC.答案：C類題演練2已知某角是小于2π的非負角且此角的終邊與它的5倍角的終邊相同，求此角的大小。解析：設這個角是α,則0≤α＜2π?！?α與α終邊相同，∴5α=α+2kπ（k∈Z），∴α=(k∈Z)。又∵α∈[0，2π)，令k=0，1，2，3.得α=0，，π,π.即為所求值.變式提升2（1)分別寫出終邊落在OA,OB位置上的角的集合；（2)寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合.解析:(1)在0到2π之間，終邊落在OA位置上的角是+,終邊落在OB位置上的角是+=，故終邊落在OA上的角的集合為｛α|α=2kπ+,k∈Z｝，終邊落在OB上的角的集合為{β|β=2kπ+，k∈Z｝。（2）終邊落在陰影部分角的集合為{α|2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z}?！纠?】一條弦的長度等于半徑r,求：（1)這條弦所對的劣弧長；（2）這條弦與劣弧所組成的弓形的面積.思路分析:由已知可知圓心角的大小為，然后用弧長和扇形面積公式求解即可。注意弓形面積等于扇形面積減去對應的三角形面積。解:（1)如右圖，因為半徑為r的圓O中弦AB=r，則△OAB為等邊三角形，所以∠AOB=。則弦AB所對的劣弧長為r.（2）∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=r2，S扇形OAB=|α|r2=××r2=r2，∴S弓形=S扇形OAB-S△AOB=r2-r2=(—)r2.友情提示圖形的分解與組合是解決數(shù)學問題的基本方法之一，本例是把弓形看成是扇形與三角形的差組成的，即可運用已有知識解決要求解的問題。類題演練3求解：（1）已知扇形的周長為10cm,面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù).（2）已知一扇形的圓心角是72°，半徑等于20cm，求扇形的面積。解析：（1)設扇形圓心角的弧度數(shù)為θ（0＜θ＜2π),弧長為l,半徑為r,依題意有①代入②得r2-5r+4=0，解之得r1=1,r2=4.當r=1時,l=8(cm),此時,θ=8rad＞2πrad舍去。當r=4時，l=2（cm）,此時，θ=rad。（2)設扇形弧長為l，∵72°=72×(rad）,∴l(xiāng)=αR=×20=8π(cm)?！郤=lR=×8π×20=80π（cm2).變式提升3一扇形圓心角為150°,半徑為10，則扇形面積為多少？解析:150°=,S=|α｜r2=××102=π.3?；《鹊囊饬x【例4】下列各命題中，假命題是（）A。“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B.一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C。根據(jù)弧度的定義，180°一定等于π弧度D。不論用角度制還是用弧度制度量角，它們都與圓的半徑長短有關思路分析:由角和弧度的定義，可知無論是角度制還是弧度制，角的大小與半徑的長短無關，而是與弧長與半徑的比值有關.故應選D.答案：D友情提示掌握定義的準確表述,弧度是角的單位，不是弧的單位.類題演練4下列各命題中,真命題是()A。一弧度是一度的圓心角所對的弧B.一弧度是長度為半徑的弧C。一弧度是一度的弧與一度的角之和D.一弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角,它是角的一種度量單位解析：根據(jù)一弧度的定義:把長度等于半徑長的弧所對圓心角叫做一弧度的角，由選項知，D為真命題.答案：D變式提升4在半