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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1.角度與弧度之間的換算【例1】化下列角度為弧度制:(1)540°;(2)112°30′;(3)36°.思路分析:根據(jù)1°=rad就可將角度化為弧度。解:(1)∵1°=rad,∴540°=3πrad。(2)∵1°=rad,∴112°30′=×112。5rad=rad。(3)∵1°=rad,∴36°=×36rad=。友情提示(1)角度數(shù)的單位不能省略、弧度數(shù)的單位可以省略。(2)一般情況下沒有精確度要求,保留π即可,不必將π化成小數(shù).各個(gè)擊破類題演練1把130°,—270°化為弧度為________,____________-.解析:∵1°=rad,∴130°=×130rad×πrad—270°=—×270rad=rad.答案:π變式提升1(1)將-225°化為弧度;(2)將rad化為度.解:(1)∵1°=rad,∴—225°=—×225rad=rad。(2)∵1rad=()°,∴rad=—()°=—75°。2.弧度的綜合應(yīng)用【例2】集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},則有()A。M=NB。MNC.MND。M∩N=思路分析:本題是考查用弧度制表示角的集合之間的關(guān)系.可以用取特殊值法分別找到集合M、N所表示的角的終邊的位置.解:對(duì)集合M中的整數(shù)k依次取0,1,2,3,得角。于是集合M中的角與上面4個(gè)角的終邊相同,如圖(1)所示.同理,集合N中的角與0,,,,π,π,3,,2π角的終邊相同,如圖(2)所示。故MN?!噙xC.答案:C類題演練2已知某角是小于2π的非負(fù)角且此角的終邊與它的5倍角的終邊相同,求此角的大小。解析:設(shè)這個(gè)角是α,則0≤α<2π?!?α與α終邊相同,∴5α=α+2kπ(k∈Z),∴α=(k∈Z)。又∵α∈[0,2π),令k=0,1,2,3.得α=0,,π,π.即為所求值.變式提升2(1)分別寫出終邊落在OA,OB位置上的角的集合;(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.解析:(1)在0到2π之間,終邊落在OA位置上的角是+,終邊落在OB位置上的角是+=,故終邊落在OA上的角的集合為{α|α=2kπ+,k∈Z},終邊落在OB上的角的集合為{β|β=2kπ+,k∈Z}。(2)終邊落在陰影部分角的集合為{α|2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z}?!纠?】一條弦的長(zhǎng)度等于半徑r,求:(1)這條弦所對(duì)的劣弧長(zhǎng);(2)這條弦與劣弧所組成的弓形的面積.思路分析:由已知可知圓心角的大小為,然后用弧長(zhǎng)和扇形面積公式求解即可。注意弓形面積等于扇形面積減去對(duì)應(yīng)的三角形面積。解:(1)如右圖,因?yàn)榘霃綖閞的圓O中弦AB=r,則△OAB為等邊三角形,所以∠AOB=。則弦AB所對(duì)的劣弧長(zhǎng)為r.(2)∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=r2,S扇形OAB=|α|r2=××r2=r2,∴S弓形=S扇形OAB-S△AOB=r2-r2=(—)r2.友情提示圖形的分解與組合是解決數(shù)學(xué)問題的基本方法之一,本例是把弓形看成是扇形與三角形的差組成的,即可運(yùn)用已有知識(shí)解決要求解的問題。類題演練3求解:(1)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積為4cm2,求扇形圓心角的弧度數(shù).(2)已知一扇形的圓心角是72°,半徑等于20cm,求扇形的面積。解析:(1)設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π),弧長(zhǎng)為l,半徑為r,依題意有①代入②得r2-5r+4=0,解之得r1=1,r2=4.當(dāng)r=1時(shí),l=8(cm),此時(shí),θ=8rad>2πrad舍去。當(dāng)r=4時(shí),l=2(cm),此時(shí),θ=rad。(2)設(shè)扇形弧長(zhǎng)為l,∵72°=72×(rad),∴l(xiāng)=αR=×20=8π(cm)?!郤=lR=×8π×20=80π(cm2).變式提升3一扇形圓心角為150°,半徑為10,則扇形面積為多少?解析:150°=,S=|α|r2=××102=π.3?;《鹊囊饬x【例4】下列各命題中,假命題是()A。“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B.一度的角是周角的,一弧度的角是周角的C。根據(jù)弧度的定義,180°一定等于π弧度D。不論用角度制還是用弧度制度量角,它們都與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)思路分析:由角和弧度的定義,可知無論是角度制還是弧度制,角的大小與半徑的長(zhǎng)短無關(guān),而是與弧長(zhǎng)與半徑的比值有關(guān).故應(yīng)選D.答案:D友情提示掌握定義的準(zhǔn)確表述,弧度是角的單位,不是弧的單位.類題演練4下列各命題中,真命題是()A。一弧度是一度的圓心角所對(duì)的弧B.一弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧C。一弧度是一度的弧與一度的角之和D.一弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角,它是角的一種度量單位解析:根據(jù)一弧度的定義:把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)圓心角叫做一弧度的角,由選項(xiàng)知,D為真命題.答案:D變式提升4在半
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