數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：排列組合的綜合問(wèn)題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、要正確合理使用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理【例1】某國(guó)際旅行社共有9名專業(yè)導(dǎo)游，其中6人會(huì)英語(yǔ)，4人會(huì)日語(yǔ),若在同一天要接待5個(gè)不同的外國(guó)旅游團(tuán)隊(duì)，其中有3個(gè)隊(duì)要安排會(huì)英語(yǔ)的導(dǎo)游,2個(gè)隊(duì)要安排會(huì)日語(yǔ)的導(dǎo)游，則不同的安排方法共有_____________種.(用數(shù)字作答）解析:可從那名既會(huì)英語(yǔ)，也會(huì)日語(yǔ)的人（記為甲)出發(fā)進(jìn)行分類(lèi)，按照甲是否被安排到需要英語(yǔ)的旅游團(tuán)可分兩類(lèi)：第一類(lèi),甲被安排到需要英語(yǔ)的旅游團(tuán)，則再分兩步進(jìn)行，第1步再?gòu)臅?huì)英語(yǔ)的另外5人中選2人共3人分別安排到3個(gè)需要英語(yǔ)翻譯的旅游團(tuán)，共有·種安排方法；第2步從只會(huì)日語(yǔ)的3人中選出2人安排到需要日語(yǔ)翻譯的旅游團(tuán)隊(duì)有種安排方法，故一共有··種安排方法；第二類(lèi)，甲沒(méi)有被安排到需英語(yǔ)翻譯的旅游團(tuán)，則可分兩步：第1步,從只會(huì)英語(yǔ)的5人中選3人安排到需英語(yǔ)翻譯的3個(gè)旅游團(tuán)有種安排方法;第2步從會(huì)日語(yǔ)的4人（包括甲）中選2人安排到需要日語(yǔ)翻譯的旅游團(tuán),有種安排方法,故共有·種安排方法.由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，一共有+=1080(種）不同的安排方法。溫馨提示本題既用了加法原理,也用到了乘法原理,當(dāng)兩個(gè)原理同時(shí)使用時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)分清使用的先后順序.二、解排列組合問(wèn)題要遵循一定的先后原則【例2】（1）從1、3、5、7、9中任取3個(gè)數(shù)字，從2、4、6、8中任取2個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，一共可組成多少個(gè)?解析:從1，3，5，7，9中任取3個(gè)數(shù)字有種取法，從2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字共有種取法，再將取出的5個(gè)元素作全排列有種，由乘法原理共有··=7200（種）（2）6個(gè)人站成一排照相,其中甲、乙二人相鄰的排法有多少種？解析：將甲、乙看成一個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，相鄰的兩人又有種排法，因此，共有·=240(種）排法.溫馨提示對(duì)于排列組合的綜合問(wèn)題,一般原則是先任取元素組合,后排列順序,即先組合后排列。在(2）中用到了先整體后個(gè)別的原則，即整體排好之后，再考慮特殊元素.這在處理“相鄰”、“不相鄰"、“連排”問(wèn)題中有所體現(xiàn)。三、“枚舉法"和“逆向思考"【例3】有四位老師在同一年級(jí)的4個(gè)班級(jí)中，各教一個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時(shí)，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法總數(shù)是(）A。8B.9C。10解析：設(shè)甲、乙、丙、丁四位老師分別執(zhí)教1班、2班、3班、4班，由表格知,當(dāng)乙監(jiān)考1班時(shí)的方法數(shù)為3種，同理丙與丁監(jiān)考1班時(shí)也都為3種，從而安排監(jiān)考的方法總數(shù)為9種.乙監(jiān)考1班情況表1班2班3班4班乙甲丁丙乙丙丁甲乙丁甲丙溫馨提示人們?cè)诮鉀Q排列組合問(wèn)題時(shí),常習(xí)慣于用定義或含有排列數(shù)、組合數(shù)的式子來(lái)解決，但有時(shí)會(huì)遇到障礙，難以突破，如采用枚舉的方法會(huì)收到意想不到的效果.各個(gè)擊破【類(lèi)題演練1】某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張不同花色的A,有5次出牌的機(jī)會(huì)，每次只能出一種點(diǎn)數(shù)的牌，但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法?解析:出牌的方法可分為以下幾類(lèi)：①5張牌全部分開(kāi)出，有種方法；②兩張2一起出，3張A一起出，有種方法；③2張2一起出，3張A分開(kāi)出，有種方法；④2張2一起出，3張A分兩次出，有種方法；⑤2張2分開(kāi)出，3張A一起出，有種方法；⑥2張2分開(kāi)出,3張A分兩次出,有種方法，因此共有不同的出牌方法+++++=860種?！咀兪教嵘?】有五張卡片，它們的正反面分別寫(xiě)0與1，2與3，4與5，6與7，8與9,將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù),可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?解析：解法一(直接法)從0與1兩特殊元素著眼分為三類(lèi)：①取0不取1，可從四張卡片中選一張作百位，有種方法，0可在后兩位有種方法；最后從剩下的三張中任取一張,有種方法；又除含0的那張外，其它兩張都有正面與反面兩種可能，故不同的三位數(shù)有···22（個(gè))。②取1不取0，同上分析可得不同三位數(shù)·22·(個(gè))。③0和1都不取,有不同的三位數(shù)·23·（個(gè))。綜上，共有不同的三位數(shù)···22+·22·+·23·=432個(gè)。解法二（間接法）任取三張卡片可以組成不同三位數(shù)·23·（個(gè)）。其中0在百位的有·22·(個(gè))，這些不合題意，故共有三位數(shù)·23·-·22·=432個(gè).【類(lèi)題演練2】6名同學(xué)站成一排，其中甲不站在排頭，也不站在排尾,共有多少種方法?解法一：(先滿足特殊元素)甲站在除排頭和排尾以外的四個(gè)位置，其余的元素做全排列.故有·=480（種)。解法二：(先滿足特殊位置)從除甲以外其余5個(gè)元素中任取兩個(gè)元素排在排頭和排尾兩個(gè)位置,其它元素做全排列，所以有·=480(種).【變式提升2】從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100米接力賽,如果甲、乙兩人都不跑第一棒，那么不同的參賽方案有（)A。180種B.240種C.300種D。360種解析：分三種情況：(1)甲、乙都不參加，有=24種;（2）甲、乙僅有1人參加,有2=144種；(3）甲、乙兩人都參加，有=72種.由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，∴共有24+144+72=240種。答案：B【類(lèi)題演練3】從集合｛1,2，3,……,10｝中選出5個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11，這樣的子集共有（）A。10B.16C.20解析：由于11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，即和為11的有下述五組數(shù)：（1，10),（2,9),(3，8），(4,7)，(5,6),現(xiàn)從這五組數(shù)中各取一個(gè)數(shù)，方法數(shù)共有25，即正確答案為D.【變式提升3】從六種小麥品種a、b、c、d、e、f中選出四種，在不同土質(zhì)的四塊土地甲、