數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：向量的減法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、向量減法的定義及作圖法1。向量減法有兩種定義（1)將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算:a—b=a+（-b)。(2）將減法運(yùn)算定義為加法運(yùn)算的逆運(yùn)算,即若b+x=a,則x=a-b。2.向量減法的幾何作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b，則=a-b，即a-b表示從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量?！纠?】如下圖,已知向量a、b，求作向量a-b。解法一:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a，=b,連結(jié)AB，則=a—b。(如下圖)解法二：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=—b，連OB，則=a+(-b)=a—b。（如下圖）各個(gè)擊破類題演練1已知向量a，b，c與d，求a-b，c—d(如下圖）.思路分析:a-b可以由向量減法的三角形法則(或平行四邊形法則）直接作出，也可以看作a+(—b），先作出-b，再利用加法的三角形法則（或平行四邊形法則)作出。解:作=a，=b，作，則a—b=—=;作=c，=d,作，則c—d=—==.變式提升1化簡(jiǎn):（-)—（-）=___________。解法一：(—)—(—）=--+=+++=(+)+(+）=+=0。解法二:（—)—(-)=——+=（—）+（-)=+=0.答案:0溫馨提示解法一是將向量減法轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)的.解法二是根據(jù)向量減法的幾何意義進(jìn)行化簡(jiǎn)的.二、用已知向量表示其他向量用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧是,第一步:觀察各向量位置;第二步：尋找（或作）相應(yīng)的平行四邊形和三角形；第三步：運(yùn)用法則找關(guān)系；第四步:化簡(jiǎn)結(jié)果?！纠?】已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),=a,=b，=c，用a,b，c表示.思路分析：利用三角形法則，把向量互相表示.解：方法一:如圖所示，=+=a+=a+（—)=a+c—b.方法二：=+++=++(+）=++0=+（+）=a+(-b+c）=a-b+c.類題演練2已知一個(gè)點(diǎn)O到平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的向量分別為a，b，c，則向量=_______。思路分析:可結(jié)合圖形，利用向量相等的知識(shí)解決。解：如圖，=a,=b，=c，則=+=+=+(-)=a+（c—b）=a+c—b.答案：a+c—b變式提升2如下圖,在ABCD中,已知=a,=b，用a、b表示向量，。解析:由于=+,而=-b，所以=a-b.由于四邊形ABCD為平行四邊形，所以=+=a+a-b=2a—b.三、向量減法的綜合應(yīng)用【例3】如圖,ABCD中，=a,=b,用a,b表示向量，。（1）當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，a+b,a-b互相垂直?（2)當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),｜a+b｜=｜a-b｜?(3）a+b，a—b有可能是相等的向量嗎？為什么?思路分析：運(yùn)用向量減法的幾何意義作圖求解.解:a+b,a—b恰對(duì)應(yīng)ABCD的兩條對(duì)角線，。（1)由a+b與a-b相互垂直，即ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，所以ABCD為菱形,故相鄰邊相等，即|a|=|b｜。(2）由|a+b｜=|a—b|,知ABCD兩條對(duì)角線相等，此時(shí)ABCD為矩形，所以a與b相互垂直。(3)不可能.因?yàn)锳BCD中兩條對(duì)角線不可能平行,故對(duì)應(yīng)兩向量的方向不可能相同.溫馨提示把向量的加，減法，向量的模與四邊形的邊的概念綜合起來(lái),拓廣了思維的范圍。類題演練3給出下列命題，其中正確的是（）①向量a與b平行,則a與b的方向相同或相反②△ABC中，必有++=0③四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是=④若非零向量a與b方向相同或相反,則a+b與a，b之一方向相同A.①②B。③④C.①④D。②③思路分析：一定要注意零向量的特別之處.解:①中當(dāng)a=0時(shí),命題不正確。④中當(dāng)a+b=0時(shí),命題不正確.故選D。答案:D溫馨提示記住常用關(guān)系、常用數(shù)據(jù).如△ABC中，++=0，以向量a、b為鄰邊的平行四邊形中，a±b表示的是兩條對(duì)角線所在的向量。變式提升3試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.已知：如圖,在四邊形ABCD中，AC