山東省菏澤市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)（A卷）試卷（含解析）

2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題（A）注意事項(xiàng)：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)問120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級(jí)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑：非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.下列選項(xiàng)中，與直線平行的直線是（）A. B. C. D.【答案】D解析：，對(duì)于A：，可知兩直線重合，不符合；對(duì)于B：，所以不平行，不符合；對(duì)于C：，所以不平行，不符合；對(duì)于D：，，且，所以兩直線平行，符合；故選：D.2.已知橢圓C：，“”是“點(diǎn)為C的一個(gè)焦點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C解析：若可得得一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即充分性成立；若“點(diǎn)為C的一個(gè)焦點(diǎn)”，則可得，即，可知必要性成立，因此，“”是“點(diǎn)為C的一個(gè)焦點(diǎn)”的充要條件.故選：C3.已知曲線，從曲線上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足為，且，則點(diǎn)N的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】B解析：∵，∴三點(diǎn)共線，且又∵軸，∴設(shè)，則，，∵點(diǎn)在上，∴，即.故選：B.4.已知不全為零的實(shí)數(shù)、、滿足，則直線被圓所截得的線段長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B解析：因?yàn)椴蝗珵榱愕膶?shí)數(shù)、、滿足，則直線的方程可化為，即，由可得，即直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，即點(diǎn)在圓內(nèi)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，當(dāng)時(shí)，圓心到的距離取最大值，且最大值為，所以，直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為.故選：B.5.已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，且C過點(diǎn)，則（）A.10 B.49 C.50 D.1201【答案】D解析：橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，過點(diǎn)，∴，∴，∴.故選：D.6.已知雙曲線C：（，）的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在C上，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A解析：點(diǎn)在C上，右焦點(diǎn)，，則，解得，所以離心率，故選：A．7.直線l：與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.1或2【答案】C解析：由整理得：，可知圓圓心坐標(biāo)為，半徑為，再由直線l：恒過點(diǎn)，由圓心到點(diǎn)的距離為，可知，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，即直線l與圓一定有兩個(gè)交點(diǎn).故選：C.8.已知橢圓：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且是面積為的直角三角形.則的方程為（）A. B. C. D.【答案】C解析：∵，∴，∵，∴設(shè)，則，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴橢圓方程為：.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱的側(cè)面，可以得到以下哪些圖形（）A.兩條平行直線 B.兩條相交直線 C.圓 D.橢圓【答案】CD解析：一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱的側(cè)面，若平面與底面平行，則得到的圖形為圓，若平面與底面夾角為銳角時(shí)，可以得到的圖形為橢圓.故選：CD10.設(shè)拋物線C：的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓A：的一條切線，切點(diǎn)為Q，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為B.則（）A.l與圓A相交 B.當(dāng)點(diǎn)P，A，B共線時(shí)，C.時(shí)，的面積為2或6 D.滿足的點(diǎn)P恰有2個(gè)【答案】BCD解析：對(duì)于A，由拋物線，即，則準(zhǔn)線，由圓整理可得，則圓心，半徑r=1，由圓心到直線y=-1的距離為，則圓與直線相切，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意作圖如下：由共線，且，當(dāng)時(shí)，，則，，，，故B正確；對(duì)于C，由，則令，，解得，當(dāng)時(shí)，的高為，面積為，如下圖：當(dāng)時(shí)，的高為，面積為，如下圖：故C正確；對(duì)于D，由題意可作圖如下：.由拋物線整理可得，則其焦點(diǎn)，易知，由直線的斜率，線段中點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，整理可得，聯(lián)立，消可得，，所以線段的中垂線與拋物線存在兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.11.已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線與圓相切于點(diǎn)，與第二象限內(nèi)的漸近線交于點(diǎn)，則（）A.雙曲線的離心率B.若，則的漸近線方程為C.若，則的漸近線方程為D.若，則的漸近線方程為【答案】AC解析：對(duì)于A，，，，，，，又與第二象限內(nèi)的漸近線交于點(diǎn)，，即，，，A正確；對(duì)于B，由A知：，又，，直線即為雙曲線的一條漸近線，，，又，，，，，，，整理可得：，，，，即，解得：，的漸近線方程為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，，，整理可得：，即，，，的漸近線方程為，C正確；對(duì)于D，，，，，，，，整理可得：，，，，的漸近線方程為，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與x軸相切，則__________.【答案】解析：由圓的方程整理可得圓，則圓心，半徑，由圓與軸相切，則，解得.故答案為：.13.已知拋物線C：的焦點(diǎn)恰為圓的圓心，點(diǎn)是與圓的一個(gè)交點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為__________，點(diǎn)到直線的距離為__________.【答案】①.②.解析：∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，∴圓心為0,1，半徑，∴，即，即拋物線C：，F(xiàn)0,1聯(lián)立方程組，解得或（∵舍去）∴∴或∵直線與軸重合，∴點(diǎn)到直線的距離為，由對(duì)稱性可知，無論取哪個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離相等，∴取，直線，∴點(diǎn)到直線的距離，故答案為：①4②14.已知曲線C是橢圓被雙曲線（）所截得的部分（含端點(diǎn)），點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，，，則的最大值與最小值的比值是__________.【答案】2解析：由橢圓，則，，易知為橢圓的左右焦點(diǎn)，由為橢圓上的點(diǎn)，則，可得，所以，聯(lián)立，解得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則取得最小值如下圖：；當(dāng)時(shí)，取得最大值，則取得最大值，如下圖：.所以的最大值與最小值的比值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式，（a，b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)）為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓C：.（1）求C的面積；（2）若直線l：交C于A，B兩點(diǎn)，求.【答案】（1）（2）【小問1解析】由橢圓C的方程可知，，所以，橢圓C的面積；【小問2解析】聯(lián)立，得，設(shè)，則，，∴，所以，.16.已知橢圓C：上的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于兩點(diǎn)，若面積是面積的3倍，求的值.【答案】解析：解：將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離為，到的距離為，易知F1-1,0，F(xiàn)21,0，則，，所以，解得或(舍去)，故.17.已知橢圓C：，直線l過原點(diǎn)，且與C相交于A，B兩點(diǎn)，并與點(diǎn)構(gòu)成三角形.（1）求的周長(zhǎng)的取值范圍：（2）求的面積S的最大值.【答案】（1）（2）12【小問1解析】由題可得，，則，故，所以為橢圓的其中一個(gè)焦點(diǎn)，則另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，由對(duì)稱性可知，，故，則的周長(zhǎng)為，設(shè)，，因?yàn)槿c(diǎn)構(gòu)成三角形，故不共線，所以，故且，則，因?yàn)?，故，所以的周長(zhǎng)；【小問2解析】，不共線，故，所以，S的最大值為12.18.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，過作直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求直線l的方程．【答案】（1）（2）【小問1解析】由題可知，其中，所以,又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，解得，所以橢圓E的方程為．【小問2解析】由橢圓的方程，得，所以，設(shè)，其中，因?yàn)椋?，又點(diǎn)在橢圓上，所以，聯(lián)立方程組，得，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，即或．所以當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，直線的方程為；當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，直線的方程為．綜上，直線的方程為或.19.若平面內(nèi)的曲線C與某正方形A四條邊的所在直線均相切，則稱曲線C為正方形A的一條“切曲線”，正方形A為曲線C的一個(gè)“切立方”.（1）圓的一個(gè)“切立方”A的其中一條邊所在直線的斜率是1，求這個(gè)“切立方”A四條邊所在直線的方程：（2）已知正方形A的方程為，且正方形A為雙曲線的一個(gè)“切立方”，求該雙曲線的離心率e的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)的圖象為曲線C，試問曲線C是否存在切立方，并說明理由.【答案】（1），（2）（3）曲線C存在切立方，理由見解析【小問1解析】根據(jù)“切立方”的定義，設(shè)直線方程，可得，，，，；【小問2解析】由正方形A的方程為，則，由正方形A為雙曲線的一個(gè)“切立方”，則，聯(lián)立整理得，則，整理得，即，由圖可知，則，所以【小問3解析】由曲線，設(shè)切點(diǎn)為，聯(lián)立，