高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-上冊(cè)第2版）課件：微積分基本定理

定積分微積分基本定理一、積分上限的函數(shù)二、微積分基本定理三、小結(jié)一、積分上限的函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)x，1、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程這個(gè)函數(shù)的自變量是積分上限x，因此稱為積分上限的函數(shù)，一的定積分值與之對(duì)應(yīng)，從而確定了一個(gè)以[a,b]為定義的新函

數(shù).都有定積分存在，即對(duì)于每一個(gè)取定的x值，都有唯記為yx0xab定理1若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且有證明：(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)則由積分中值定理，得其中，在x與之間，且當(dāng)時(shí)，定理1若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且有證明：于是，利用導(dǎo)數(shù)的定義及f(x)的連續(xù)性，得在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，且有由x的任意性知，(2)當(dāng)x為端點(diǎn)時(shí),若x=b，取同理可證同理可證若x=a，取推論設(shè)函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且存在復(fù)合函數(shù)和其中皆為可導(dǎo)函數(shù)，則證明：令a為f(x)的連續(xù)區(qū)間內(nèi)取定的點(diǎn)，則由鏈?zhǔn)椒▌t，有定理2（原函數(shù)存在定理）設(shè)函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)，那么函數(shù)是f(x)在區(qū)間[a,b]上的原函數(shù).(2)定理2揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.注：(1)定理2說(shuō)明：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù).在引例變速直線運(yùn)動(dòng)的路程中,物體從a時(shí)刻到b時(shí)刻走過(guò)的路程為若物體位置函數(shù)為s(t),則從a時(shí)刻到b時(shí)刻走過(guò)的路程為從而有s(t)是v(t)的原函數(shù)，即定積分的值為原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量，這對(duì)其他可積的函數(shù)也適用嗎？設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，函數(shù)F(x)是f(x)在[a,b]上的原函數(shù)，則有二、微積分基本定理定理3（微積分基本定理）證明：由于F(x)和都是f(x)的原函數(shù)，則C為常數(shù)即令則由上式，令得微積分基本公式，也稱為牛頓-萊布尼茲公式.當(dāng)a>b時(shí)，微積分基本公式仍成立.例1計(jì)算定積分解：例2計(jì)算定積分解：例3計(jì)算定積分解：的一個(gè)原函是則例4計(jì)算定積分例5設(shè)求解：利用區(qū)間可加性，有解：利用區(qū)間可加性，去掉絕對(duì)值，有被積函數(shù)帶絕對(duì)值時(shí)，要根據(jù)積分區(qū)間去掉絕對(duì)值再積分.例6證明改進(jìn)的積分中值定理：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得證明：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，故存在原函數(shù)F(x)，則有對(duì)函數(shù)F(x)，由微分中值定理，有即解：求例7設(shè)例8設(shè)求解：解：求例9設(shè)熟記變限積分求導(dǎo)公式熟記變限積分求導(dǎo)公式例10求極限解：這是一個(gè)型的未定式，利用洛必達(dá)法則，有極限表達(dá)式中含變限積分時(shí)，不需要求出積分，而是先判斷極限是否為的未定式，然后