高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-下冊(cè)第2版）課件：正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

無(wú)窮級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、比較審斂法三、比值審斂法（達(dá)朗貝爾判別法）四、小結(jié)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及基本定理定義1

設(shè)級(jí)數(shù)，若有，則稱其為正項(xiàng)級(jí)

數(shù).部分和即為單調(diào)遞增數(shù)列.顯然：如：定理1（收斂的充要條件）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和數(shù)列有界.證：若級(jí)數(shù)收斂，則數(shù)列有界.部分和數(shù)列單調(diào)遞增又已知有界，從而收斂，故收斂.二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法（1）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；（2）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散．定理2（比較審斂法）設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且證明：（1）設(shè)級(jí)數(shù)收斂于和，則級(jí)數(shù)的部分和即部分和數(shù)列有界，由定理1可知級(jí)數(shù)收斂．待判助判二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法定理2（比較審斂法）設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，（1）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；（2）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散．待判助判且證明：（2）反證法．假設(shè)級(jí)數(shù)收斂，由（1）的結(jié)論可知，級(jí)數(shù)也收斂，與假設(shè)（級(jí)數(shù)收斂）矛盾，因此，若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散．又因?yàn)槭堑缺燃?jí)數(shù)且是收斂的：例1求判別級(jí)數(shù)的斂散性．解：對(duì)于任意的，有由比較審斂法（1）可知級(jí)數(shù)是收斂的．它是發(fā)散的．解：例2討論級(jí)數(shù)的斂散性．（1）當(dāng)時(shí)，有就是調(diào)和級(jí)數(shù)，（2）當(dāng)時(shí)，，有而為發(fā)散級(jí)數(shù)，因此由比較審斂法（2）可知發(fā)散．從而得到該級(jí)數(shù)的部分和（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)的該級(jí)數(shù)不能直接利用比較審斂法與調(diào)和級(jí)數(shù)作比較．為此我們來(lái)考察其部分和數(shù)列由于對(duì)滿足的x，有，所以此式表明數(shù)列有界，由定理1可知，級(jí)數(shù)收斂．綜上所述注：級(jí)數(shù)是一類重要的基準(zhǔn)級(jí)數(shù)，在利用比較審斂法判別級(jí)數(shù)斂散性時(shí)經(jīng)常會(huì)與之作比較．級(jí)數(shù)：例如均收斂；均發(fā)散.推論1設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且（1）對(duì)任意常數(shù)，如果存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)都有，且級(jí)數(shù)收斂，那么級(jí)數(shù)收斂；（2）對(duì)任意常數(shù)，如果存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)都有，且級(jí)數(shù)發(fā)散，那么級(jí)數(shù)發(fā)散．例3證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的．證：由于，有.是調(diào)和級(jí)數(shù)去掉前10項(xiàng)而得到的，而級(jí)數(shù)所以它是發(fā)散的．故由比較審斂法知是發(fā)散的．又由于故由推論（2）可知原級(jí)數(shù)也是發(fā)散的．例4討論級(jí)數(shù)的斂散性．解：由于所以級(jí)數(shù)是收斂的．而級(jí)數(shù)是收斂的分析

用“比較法”判別級(jí)數(shù)斂（散），需要找一個(gè)通項(xiàng)較大（?。┑臄浚ㄉⅲ┘?jí)數(shù)作比較，而不等式的放大（縮小）常常比較困難。在實(shí)際上常用比較審斂法的極限形式。定理3（比較審斂法的極限形式）設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且（1）如果，且級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；（3）如果，則級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)有相同的斂散性．（2）如果，且級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散；例5判定級(jí)數(shù)的斂散性．解：由于當(dāng)時(shí)，令，則有且等比級(jí)數(shù)收斂，故由定理3可知級(jí)數(shù)收斂．解：（1）因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散，由定理3知此級(jí)數(shù)發(fā)散．例6判定下列級(jí)數(shù)的斂散性．(1)(2)(4)(3)（2）因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散．例6判定下列級(jí)數(shù)的斂散性．解：（3）因?yàn)?1)(2)(4)(3)而收斂，從而級(jí)數(shù)收斂．例6判定下列級(jí)數(shù)的斂散性．解：（4）因?yàn)?1)(2)(4)(3)而是發(fā)散的，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散．結(jié)論對(duì)于兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，若和（1）如果是的同階或高階無(wú)窮小，那么當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)必收斂；（2）如果是的同階或低階無(wú)窮小，那么當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)必發(fā)散；那么級(jí)數(shù)和具有相同的斂散性.（3）如果

和是同階無(wú)窮小，選擇同階無(wú)窮小作為參考級(jí)數(shù)！定理4（比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法）設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（3）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．（2）當(dāng)（或）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；三、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法（達(dá)朗貝爾判別法）不需要參考級(jí)數(shù)，通過(guò)正項(xiàng)級(jí)數(shù)本身判斷其斂散性.解：（1）因?yàn)楦鶕?jù)比值審斂法可知，原級(jí)數(shù)收斂．例7判定下列級(jí)數(shù)的斂散性．（1）（2）（3）（2）因?yàn)楦鶕?jù)比值審斂法可知，原級(jí)數(shù)發(fā)散．例7判定下列級(jí)數(shù)的斂散性．解：（3）顯然有（1）（2）（3）對(duì)于級(jí)數(shù)，因?yàn)楦鶕?jù)比值審斂法可知，級(jí)數(shù)收斂．再由比較判別法可知，原級(jí)數(shù)收斂．注意:2、當(dāng)時(shí)，比值審斂法失效；1、當(dāng)一般項(xiàng)含有或等因子時(shí)或一般項(xiàng)為分式形式時(shí)，常選用比值審斂法；例如級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)收斂.