人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)分類(lèi)集訓(xùn)專(zhuān)題111期中期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)之相交線(xiàn)與平行線(xiàn)十八大(原卷版+解析)

專(zhuān)題1L1相交線(xiàn)與平行線(xiàn)十八大必考點(diǎn)

【人教版】

【考點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的判斷】....................................................1

【考點(diǎn)2三線(xiàn)八角中的截線(xiàn)問(wèn)題】..............................................................2

【考點(diǎn)3根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】....................................................3

【考點(diǎn)4直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)中的平行線(xiàn)的判定】...........................................................5

【考點(diǎn)5與垂線(xiàn)有關(guān)的角度計(jì)算或證明】.........................................................6

【考點(diǎn)6利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)計(jì)算角度】....................................................8

【考點(diǎn)7平行線(xiàn)的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】.........................................................9

【考點(diǎn)8利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】.........................................11

【考點(diǎn)9平行線(xiàn)的運(yùn)用（單一輔助線(xiàn)）】........................................................12

【考點(diǎn)10平行線(xiàn)的運(yùn)用（多條輔助線(xiàn)）】........................................................14

【考點(diǎn)11平行線(xiàn)在折疊問(wèn)題的運(yùn)用】............................................................16

【考點(diǎn)12平行線(xiàn)在三角尺中的運(yùn)用】...........................................................17

【考點(diǎn)13平行線(xiàn)中的規(guī)律問(wèn)題】...............................................................19

【考點(diǎn)|4平行線(xiàn)中的轉(zhuǎn)角問(wèn)題】...............................................................21

【題型15生活中的平移現(xiàn)象】..................................................................22

【題型16圖形的平移】........................................................................23

【題型17利用平移的性質(zhì)求解】...............................................................24

【題型18利用平移解決實(shí)際問(wèn)題】.............................................................25

【考點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的判斷】

【例1】（2022?河南新鄉(xiāng)?七年級(jí)期末）如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（）

A.團(tuán)1和團(tuán)2是同旁?xún)?nèi)角B.m1和（33是對(duì)頂角

C.明和（34是同位角D.團(tuán)1和04是內(nèi)錯(cuò)角

【變式1-1］（2022?青海?中考真題）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線(xiàn)八角”圖形，如圖所示（兩大

拇指代表被裁直線(xiàn)，食指代表截線(xiàn)）.從左至右依次表示（）

A.同旁?xún)?nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角

B.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角

C.對(duì)頂角、同位角、同旁?xún)?nèi)角

D.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角

【變式1-2］（2022?河北保定?七年級(jí)期末）如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

A.（3C與131是內(nèi)錯(cuò)角

B.團(tuán)2與03是內(nèi)錯(cuò)角

C.國(guó)A與田B是同旁?xún)?nèi)角

D.鼬與相是同位角

【變式1?3】（2022?河南?商水縣希望初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖所示，同位角有a對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有b對(duì)，同旁

內(nèi)角有c對(duì)，則a+b-c的值是

【考點(diǎn)2三線(xiàn)八角中的截線(xiàn)問(wèn)題】

【例2】（2022?四川省廣元市寶輪中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知（31和02是內(nèi)錯(cuò)角，則下列表述正確的是（）

D

E

A.團(tuán)1和回2是由.直線(xiàn)AD、AC被CE所截形成的

B.（31和（32是由直線(xiàn)AD、4。被8。所載形成的

C.阻和（32是由直線(xiàn)。4、OB被。石所載形成的

D.01和團(tuán)2是由直線(xiàn)D4、08被AC所截形成的

【變式2?1】（2022?山東濟(jì)寧?七年級(jí)期末）如圖，乙4BD與，8。。是（）形成的內(nèi)錯(cuò)角

A.直線(xiàn)4D、BC被直線(xiàn)BD所截B.直線(xiàn)4B、CD被直線(xiàn)BD所截

C.直線(xiàn)4B、CD被直線(xiàn)4C所截D.直線(xiàn)4。、8C被直線(xiàn)4c所截

【變式2-2］（2022?甘肅?隴西縣鞏昌中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，（32與明是直線(xiàn)、一被第一條直線(xiàn)

所截形成的

【變式2-3］（2022?全國(guó)?七年級(jí)）如圖所示，從標(biāo)有數(shù)字的角中找出:

⑴直線(xiàn)CD和AB被直線(xiàn)4C所載構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角.

⑵直線(xiàn)和AC被直線(xiàn)所截構(gòu)成的同位角.

⑶直線(xiàn)AC和AB被直線(xiàn)BC所截構(gòu)成的同旁?xún)?nèi)角.

【考點(diǎn)3根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】

【例3】（2022?浙江臺(tái)州?七年級(jí)期末）如圖，已知：乙1=42,〃=〃）.求證：=

證明：0^1=z2（已知），

0II（）.

回乙4=/.BED（）.

（2乙4=4D（已知），

SZ.BED=ZD（等量代換）.

0||（）.

團(tuán),8=乙C（）.

【變式3-1］（2022?黑龍江?遜克縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期末）如圖所示，ABWCD,直線(xiàn)E尸分別交AB,CD

于點(diǎn)G,H,HN是配）HG的平分線(xiàn).

⑴如果GM是回8GE的平分線(xiàn)，（如圖①）試判斷并證明GM和HN的位置關(guān)系;

證明：04明ICD,

釀6GE=（兩直線(xiàn)平行，同位角相等.）

（3GM是I3BGE的平分線(xiàn)，

0==之乙BGE

-------------------------------2

田HN是（3OHG的平分線(xiàn)

（3==-/.DHG

-------------------------------2

團(tuán)團(tuán)MGE=?NHG（等量代換）

回GMRHN的位置關(guān)系是,（）.

⑵如昊GM是財(cái)GH的平分線(xiàn)，（如圖②）（1）中的結(jié)論還成立嗎？（不必證明）

⑶如昊GM是團(tuán)BGH的平分線(xiàn)，（如圖③）（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，GM與A/N又有怎樣的

位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想不必證明.

【變式3?2】（2022?遼寧葫蘆島?七年級(jí)期末）如圖已如：AB\\CD,CD\\EF,AE平分即MUAC^CE,有以

下結(jié)論：?AB^EF；@201-04=90°；③2團(tuán)3-回2=180。；④陽(yáng)白4=135。，其中，正確的結(jié)論有.（填序

號(hào)）

【變式3-3］（2022?廣東?廣州市第四中學(xué)七年級(jí)期末）如圖1,在四邊形A8CO中，ADIIBC,SA=0C.

⑴求證：0B=0￡＞；

（2）如圖2,點(diǎn)七在線(xiàn)段上，點(diǎn)G在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接BG,財(cái)七6=213G,求證：8G是團(tuán)E8C的

平分線(xiàn)；

（3）如圖3,在（2）的條件下，點(diǎn)上在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，回EOC的平分線(xiàn)?！ń籅G于點(diǎn)H,若（MBE=66。,

求（38"。的度數(shù).

【考點(diǎn)4直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)中的平行線(xiàn)的判定】

【例4】（2022?河南洛陽(yáng)?七年級(jí)期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板48繞中點(diǎn)。上下轉(zhuǎn)動(dòng)，立柱OC與

地面垂直，當(dāng)橫板AB的A端著地時(shí)，測(cè)得404。=28。，則在玩蹺蹺板時(shí)，小明坐在A點(diǎn)處，他上下最大可

以轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為（）

B

A.28°B.56°C.62°D.84°

【變式4-1］（2022?山東臨沂?七年級(jí)期末）如圖將木條小b與c釘在一起，乙1=75。，要使木條a與b平

行，木條。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了35。，回2是（）

A.25°B.35°C.40°D.50°

【變式4?2】（2022?云南昆明?七年級(jí)期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC,DF

在同一條直線(xiàn)上，現(xiàn)將三角板OE尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)E尸第一次與A8平行時(shí)，土CDF的度數(shù)是（

A.15°B.30°C.45°D.75°

【變式4-3］（2022?湖南永州?七年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)川I%，現(xiàn)將一個(gè)含30。角的直角三角板的銳角頂點(diǎn)B放

在直線(xiàn)L上，將三角板繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使直角頂點(diǎn)C落在A與，2之間的區(qū)域，邊AC與直角。相交于點(diǎn)。，若41=

35°,則圖中的乙2的值為（）

A.65°B.75°C.85°D.80°

【考點(diǎn)5與垂線(xiàn)有關(guān)的角度計(jì)算或證明】

【例5】（2022?湖南?測(cè)試?編輯教研五七年級(jí)期末）如圖，已知用1=睡，02=03,FG幽C于G,你能說(shuō)明8。

與4c互相垂直嗎？

【變式5-1］（2022?安徽合肥?七年級(jí)期末）請(qǐng)補(bǔ)充完整下列推理過(guò)程及證明過(guò)程中的依據(jù).

如圖，已知0G〃B4,EF1BC,41=42.試證明：AD1BC.

解：因?yàn)镈G〃BA（已知），

所以=.

因?yàn)?I=Z2（已知），

所以（等量代換），

所以￡77/（）.

所以（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）

因?yàn)镋F1BC（已知），

所以NE/B=90°（）.

所以乙4D9=90。（等量代換），

所以（垂直的定義）.

【變式5-2］（2022?江蘇鹽城?七年級(jí)期末）如圖，AB1AC,垂足為4Nl=30。，zS=60°.

（1）AD與BC平行嗎？為什么？

（2）根據(jù)題中的條件，能判斷48與CO平行嗎？如果能，請(qǐng)說(shuō)明理由：如果不能，添加一個(gè)條件，使它們

平行：不必說(shuō)明理由）.

【變式5?3】（2022?全國(guó)?七年級(jí)）己知：直線(xiàn)MN、PQ被AB所截，且MA0PQ,點(diǎn)C是線(xiàn)段A8上一定點(diǎn),

點(diǎn)。是射線(xiàn)4N上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD

圖1

⑴在圖1中過(guò)點(diǎn)。作C￡0CO,與射線(xiàn)交于七點(diǎn).

①依題意補(bǔ)全圖形；

②求證：0AOC+團(tuán)8EC=90。；

⑵如圖2所示，點(diǎn)尸是射線(xiàn)BQ上一動(dòng)點(diǎn)，連接。凡0DCF=a,分別作團(tuán)NDC與配下。的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)G,

請(qǐng)用含有a的代數(shù)式來(lái)表示皿）GF,并說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)6利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)計(jì)算角度】

【例6】（2022?福建福州?七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。，E分別在A8,AC上，點(diǎn)F,G在上,

E尸與0G交于點(diǎn)O,41+乙2=180。，LB=Z.3.

⑴判斷OE與的位置關(guān)系，并證明；

⑵若乙4ED+NE尸C=118。，求乙4的度數(shù).

【變式6-1］（2022?河南漂河?七年級(jí)期末）已知：如圖，EL4=a4DE,0C=0E.

（1）若0EOC=3（3C,求團(tuán)。的度數(shù);

⑵判斷BE與CO的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

【變式6-2］（2022.廣東湛江?七年級(jí)期末［如圖所示，已知射線(xiàn)。叫04AC=Z.OAB=110°,￡、r在上,

且滿(mǎn)足匕尸08=，4。8,0￡平分“0F,根據(jù)上述條件，解答下列問(wèn)題：

（1）證明：0CII4B；

⑵求，E08的度數(shù)；

⑶若立行移動(dòng)AB,那么NO8C:4OFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個(gè)比值；若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式6-3］（2022?北京密云?七年級(jí)期末）已知：點(diǎn)C是幽OB的04邊上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)O重合），

點(diǎn)。是0AO8內(nèi)部一點(diǎn)，射線(xiàn)CO不與03相交.

圖1圖2

（1）如圖1,0408=90。，團(tuán)000=120。，過(guò)點(diǎn)0作射線(xiàn)0E,使得OE〃C?（其中點(diǎn)E在0AO8內(nèi)部）.

①依據(jù)題意，補(bǔ)全圖1：

②直接寫(xiě)出團(tuán)BOE的度數(shù).

（2）如圖2,點(diǎn)尸是射線(xiàn)0B上一點(diǎn)，且點(diǎn)尸不與點(diǎn)O重合，當(dāng)乙403=履0。＜。工180。）時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作射線(xiàn)

FH,使得"/〃C。（其中點(diǎn)”在0AOB的外部），用含a的代數(shù)式表示I3OC。與魴"/的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【考點(diǎn)7平行線(xiàn)的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】

【例7】（2022?湖北武漢?七年級(jí)期末）如圖線(xiàn)段AB和CD表示兩面鏡子，且直線(xiàn)AB回直線(xiàn)CD,光線(xiàn)EF經(jīng)

過(guò)鏡子AB反射到鏡子CD,最后反射到光線(xiàn)GH.光線(xiàn)反射時(shí)，回1=團(tuán)2,03=04,下列結(jié)論：①直線(xiàn)EF平行于

直線(xiàn)GH；②回FGH的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)AB：③回BFE的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)垂直于團(tuán)4的角平

分線(xiàn)所在的直線(xiàn)；④當(dāng)CD繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90時(shí)，直線(xiàn)EF與直線(xiàn)GH不一定平行，其中正確的是（）

AJ.①②③④rB.①②③C.②③D.①③

【變式7-1］（2022?江蘇宿遷?七年級(jí)期末）實(shí)驗(yàn)證明：平面鏡反射光線(xiàn)的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線(xiàn)和

被反射出的光線(xiàn)與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MMNP,一束光線(xiàn)4B射在其中一

塊MN上，經(jīng)另外一塊NP反射，兩束光線(xiàn)會(huì)平行嗎？若不平行，請(qǐng)說(shuō)明理由，若平行，請(qǐng)給予證明

【變式7-2］（2022?浙江杭州?七年級(jí)期末）（1）若組成N1和N2的兩條邊互相平行，且41是N2的2倍小15。,

求的度數(shù).

（2）如圖，放置在水平操場(chǎng)上的籃球架的橫梁EF始終平行于48,EF與上拉桿CF形成的"=145。，主柱4D

垂直于地面，通過(guò)調(diào)整CF和后拉桿的位置來(lái)調(diào)整籃筐的高度.當(dāng)4CDB=25。時(shí)，點(diǎn)H,D,8在同一直

線(xiàn)上，求NH的度數(shù).

【變式7-3］（2022?湖南?師大附中梅溪湖中學(xué)七年級(jí)期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線(xiàn)（4B0CD）如

圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和。，若燈P射線(xiàn)自力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PB便立即回轉(zhuǎn)，燈Q射線(xiàn)自Q。

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OC便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時(shí)開(kāi)啟不停交叉照射巡視.設(shè)燈P轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是10度/秒,

燈Q轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4度/秒，湖面上點(diǎn)M是音樂(lè)噴泉的中心.

（1）若把燈P自力轉(zhuǎn)至PB,或者燈Q自。。轉(zhuǎn)至ac稱(chēng)為照射一次，請(qǐng)求出P、Q兩燈照射一次各需要的

時(shí)間：

（2）12秒時(shí)，兩光束恰好在M點(diǎn)匯聚，求團(tuán)PMQ；

（3）在兩燈同時(shí)開(kāi)啟后的35秒內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)開(kāi)啟多長(zhǎng)時(shí)間后，兩燈的光束互相垂直？

（備用圖）

【考點(diǎn)8利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】

【例6】（2022?河北唐山?七年級(jí)期末）己如二角形ABC,交直線(xiàn)48于點(diǎn)K,0尸||43交直線(xiàn)AC于點(diǎn)￡>.

圖1備用圖

⑴如圖1,若點(diǎn)、F在邊BC上,直接寫(xiě)出NB4c與NEFD的數(shù)量關(guān)系；

⑵若點(diǎn)尸在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給子證明；若不成立，又有怎樣的

數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出圖形并說(shuō)明理由.

【變式8-1］（2022?湖北襄陽(yáng)?七年級(jí)期末）如圖，已知AMIIBN,尸是射線(xiàn)AM上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），

BC,8。分別平分0AB尸與團(tuán)PBN,分別交射線(xiàn)AM于點(diǎn)C,D.

⑴若U=50。，求4C3D的度數(shù)；

⑵在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，團(tuán)加4與團(tuán)8D4的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)

求山自與團(tuán)瓦乂的數(shù)量關(guān)系：

⑶當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使財(cái)C6=a4B。時(shí)，探究西8c與配）BN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【變式8?2】（2022?安徽合肥?七年級(jí)期末）已知：直線(xiàn)4例￡。,經(jīng)過(guò)直線(xiàn)42上的定點(diǎn)P的直線(xiàn)EP交CD于點(diǎn)

。，點(diǎn)M,N為直線(xiàn)CO上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在點(diǎn)。右側(cè)，點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，連接PM,PN,滿(mǎn)足乙MPN=々MNP.

⑵如圖2,射線(xiàn)PQ為乙MPE的角平分線(xiàn)，用等式表示乙NPQ與乙P0M之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【變式8-3］（2022?湖北孝感?七年級(jí)期末）在三角形ABC中，點(diǎn)O在線(xiàn)段AC上，DEIIBC交AB于點(diǎn)區(qū)

點(diǎn)尸在線(xiàn)段4B上（點(diǎn)尸不與點(diǎn)4,E,B重合），連接DF,過(guò)點(diǎn)。作FG1FD交射線(xiàn)CB于點(diǎn)G.

⑴如圖1,點(diǎn)尸在線(xiàn)段8E上，

①用等式表示缶EZ）尸與團(tuán)BG尸的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②如圖，求證：/.ABC+/-BFG-/-EDF=90°；

⑵當(dāng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段AE上時(shí)，依題意,在圖2中補(bǔ)全圖形，請(qǐng)直接用等式表示E1ED產(chǎn)與（3BG產(chǎn)的數(shù)量關(guān)系，不

需證明.

【考點(diǎn)9平行線(xiàn)的運(yùn)用（單一輔助線(xiàn)）】

【例9】（2022?四川德陽(yáng)?七年級(jí)期末）已知：AB||CD,點(diǎn)P、Q分別在A3、CD上，在兩直線(xiàn)間取一點(diǎn)￡

圖3

(1)如圖1,求證：LE=LAPE+LCQEx

⑵將線(xiàn)段EQ沿OC平移至R7,4CG尸的平分線(xiàn)和乙4PE的平分線(xiàn)交于直線(xiàn)AB、C。內(nèi)部一點(diǎn)”.

①如圖2,若/E=90。，求NH的度數(shù)；

②如圖3,若點(diǎn)/在直線(xiàn)AB、CO內(nèi)部，且P/平分4BPE,連接H/,若〃一乙H=m。,zE=n°,請(qǐng)直接

寫(xiě)出小與〃的數(shù)量關(guān)系，不必證明.

【變式9-1](2022?廣東梅州?八年級(jí)期末)已知：^AOB=a(0°<a<90°),一塊三角板CQ七中，0CED

=90。，0CDE=30%將三角板CQE如圖所示放置，使頂點(diǎn)C落在。8邊上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)。作直線(xiàn)MNH08交

OA邊于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在點(diǎn)。的左側(cè).

圖2

⑴如圖1,若C￡0OA,EF^MN,團(tuán)V0E=45。，求a的度數(shù);

⑵若IWOC的平分線(xiàn)。尸交。8邊于點(diǎn)兄如圖2,當(dāng)。朋OA,且a=60。時(shí)，證明：CE3OA.

【變式9?2】(2022?陜西西安?八年級(jí)期末)在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“?個(gè)含30。的直角三角尺和兩條

平行線(xiàn)”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)如圖1，已知兩直線(xiàn)a,b,且allb和直角三角形ABC,乙BCA=90°,^BAC=30°.

(1)在圖1中,01=46°,求眨的度數(shù);

⑵如圖2,創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線(xiàn)。向上平移,并把國(guó)2的位置改變，發(fā)現(xiàn)匕2-41=120。，說(shuō)明理由;

⑶競(jìng)賽小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3,當(dāng)AC平分團(tuán)84M時(shí)，此時(shí)

發(fā)現(xiàn)電與團(tuán)2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出團(tuán)1與國(guó)2的數(shù)量關(guān)系并證明.

【變式9?3】（2022.遼寧葫蘆島.七年級(jí)期末）如圖1.點(diǎn)4在直線(xiàn)上，點(diǎn)8在直線(xiàn)ST上，點(diǎn)。在MM

ST之間，且滿(mǎn)足@M4C+a4C8+aS8C=360。.

⑴證明：MNHST；

⑵如圖2,若1aAe8=60。，ADWCB,點(diǎn)E在線(xiàn)段8C上，連接AE,^DAE=2XBT,試判斷團(tuán)C4E與E）C4N

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑶如圖3,若0AC8=45。，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，連接AE,若酎必E=4回C87,直接寫(xiě)出回C4E：團(tuán)CAN的值.

【考點(diǎn)10平行線(xiàn)的運(yùn)用（多條輔助線(xiàn)）】

【例10】（2022?云南普洱?七年級(jí)期末）已知三角板A8C中，^BAC=60°,（38=30°,回。=90°,長(zhǎng)方形DEFG

中，DEIIGF.如圖（1）,若將三角板48c的頂點(diǎn)4放在長(zhǎng)方形的邊G尸上，BC與OE相交于點(diǎn)M,AB^DE

于點(diǎn)N.

⑴請(qǐng)你直接寫(xiě)出：0CAF=。，0EA/C=。.

⑵若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與OE不垂直），請(qǐng)你猜想田EMC與E1C4產(chǎn)的數(shù)量關(guān)系？并

說(shuō)明理由.

⑶請(qǐng)你總結(jié)（1）,（2）解決問(wèn)題的思路，在圖（2）中探究回BAG與的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

【變式10-1】（2022?湖北武漢?七年級(jí)期末）直線(xiàn)A3IICE,8E-EC是一條折線(xiàn)段，5P平分乙4BE.

圖1圖2

(1)如圖1,若BPIICE,求證：ZSFC4-ZDCF=180°；

(2)。。平分N0CE,直線(xiàn)5P,CQ交于點(diǎn)、F.

①如圖2,寫(xiě)出NBEC和NBFC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)AB,CO之間時(shí)，若43￡。=40。，直接寫(xiě)出4BFC的大小.

【變式10-2】(2022?廣東?新豐縣教育局教研室七年級(jí)期末)細(xì)觀察，找規(guī)律.

(1)下列各圖中的與平行.

②圖②中的乙11+4&+々13=度.

③圖③中的上力】+￡A2+々I3+^4=度?

④圖④中的4Al+2力2+4人3+4^4+45=度.

⑤第⑩個(gè)圖中的乙41+乙42+^3+…+乙411=度.

⑥第n個(gè)圖中的N&+Z-A2+Z-A3+…+44n+1=度.

(2)下列各圖中4B〃CD.

①圖甲中乙8、乙C、NBEC的數(shù)量關(guān)系是

②圖乙中乙氏乙E,NG,乙F,乙。的數(shù)量關(guān)系是.

③圖丙中/B,zF,zF,AG,Z.H,zM./C的數(shù)量關(guān)系是.

【變式10?3】（2022?北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)分校七年級(jí)期末）已知，如圖1,射線(xiàn)PE分別與直線(xiàn)A以

CD相交于E、尸兩點(diǎn)，附尸。的平分線(xiàn)與直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)M,射線(xiàn)PM交CD于點(diǎn)M設(shè)團(tuán)PFM=a。，^EMF

=B。，且＜80-2。+|夕-40|=0

⑵如圖2,若點(diǎn)G、”分別在射線(xiàn)M4和線(xiàn)段M尸上，R^MGH=^PNF,試找出囹/MN與團(tuán)G”尸之間存在的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶若將圖中的射線(xiàn)PM繞著端點(diǎn)P逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖3）,分別與AB、CD相交于點(diǎn)M/和點(diǎn)N/時(shí)，作

回尸M1B的角平分線(xiàn)M1Q與射線(xiàn)產(chǎn)M相交于點(diǎn)Q,問(wèn)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中等的值是否改變？若不變，請(qǐng)求出其

值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)11平行線(xiàn)在折疊問(wèn)題的運(yùn)用】

【例11】（2022?山東濰坊?七年級(jí)期末）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若邊AD//BC,則翻折角乙1

與m2一定滿(mǎn)足的關(guān)系是（）

A.乙1=242B.41+42=90°C.Z.1-Z.2=30°D.241-342=30°

【變式11-1】（2022?山東?滕州市龍泉街道滕東中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，四邊形A8CO中，點(diǎn)M、N分別在

AB.BC上，將E1BMN沿MN翻折，得EIFMM若MHMO,FN^DC,則138=（）

D

iiir

A.60°B.70°C.80°D.90°

【變式11-2]（2022?全國(guó)?七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在三角形ABC中，0ACB=9O%將三角形ABC向下翻折,

使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為DE.試說(shuō)明：DE0BC.

A

BC

【變式11-3】（2022?江蘇?常州市第二十四中學(xué)七年級(jí)期末）在0ABC中，（3BAC=90。，點(diǎn)、D是BC上一點(diǎn),

將0ABD沿A。翻折后得到（MED,邊AE交8C于點(diǎn)F.

（1）如圖①，當(dāng)AEI3BC時(shí)，寫(xiě)出圖中所有與（3B相等的角：：所有與（3C相等的角：.

⑵若配一團(tuán)8=50°,（3B4O=x0（0V.H45）.

①求E1B的度數(shù)；

②是否存在這樣的x的值，使得（3DE尸中有兩個(gè)角相等.若存在，并求x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)12平行線(xiàn)在三角尺中的運(yùn)用】

【例12】（2022?浙江寧波?七年級(jí)期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，AC邊重合，^BAC=45°,

^-DAC=30。.接著如圖2保持三角板ABC不動(dòng)，將三角板ACO繞著點(diǎn)C按順時(shí)針以每秒15。的速度旋轉(zhuǎn)90。后

停止.在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間￡=秒時(shí)，三角板AC。'有一條邊與三角板ABC的一條邊

恰好平行.

【變式12-1】（2022?河北?青縣教育局教研室七年級(jí)期末）把一副直角三角尺按如圖方式擺放，點(diǎn)C與點(diǎn)E重

合，BC邊與EF邊都在直線(xiàn)2上，若直線(xiàn)MMMC,且MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,則4CDN=

【變式12-2】（2022?四川達(dá)州?八年級(jí)期末）一副三角板AOE和A8C按如圖1所示放置，點(diǎn)8在斜邊

上，其中OE=13BAC=9O°,回。=45。，0C=3O°.現(xiàn)將三角板4DE固定不動(dòng)，三角板ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

a（0°<a<180°）,使兩塊三角板至少有一組邊互相平行，如圖2,當(dāng)團(tuán)B4￡）=15。時(shí)，BCIIDE,則閉BA。其

他所有可能符合條件的度數(shù)為.

【變式12-3】（2022?江蘇蘇州?七年級(jí)期末）在一次課外活動(dòng)中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC

上，LC=Z-DAE=90°,/-B=60°,4。=45。.小明將AAOE從圖中位置開(kāi)始，繞點(diǎn)4按每秒6。的速度順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，第秒時(shí)，邊4B與邊DE平行.

【考點(diǎn)13平行線(xiàn)中的規(guī)律問(wèn)題】

【例13】（2022?山東泰安?期末）如圖，ABWCD,點(diǎn)E為兩直線(xiàn)之間的一點(diǎn)

圖1圖2圖3圖4

⑴如圖1,若234￡=35。，Z.DCE=20°,則乙4EC=；

（2）如圖2,試說(shuō)明，Z-BAE+LAEC+Z-ECD=360°；

（3）①如圖3,若NBAE的平分線(xiàn)與4DCE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)凡判斷乙4EC與乙4FC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②如圖4,若設(shè)NE=m,乙BAF=：乙FAE,4DCF=：乙FCE,請(qǐng)直接用含m、n的代數(shù)式表示NF的度數(shù).

【變式13-1】（2022?山東煙臺(tái)?七年級(jí)期末）問(wèn)題情境：

如圖1,AB^CD,團(tuán)以8=130。，0PCD=120°.求財(cái)PC的度數(shù).小明的思路是：過(guò)戶(hù)作/^皿從通過(guò)平行

線(xiàn)性質(zhì)，可得隨PCMMPE+EICPEMSOO+GOOMIIO。.

問(wèn)題解決：

（1）如圖2,AB0CD,直線(xiàn)/分別與AB、8交于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P在直線(xiàn)/上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段MN上運(yùn)

動(dòng)時(shí)：不與點(diǎn)M、N重合），^PAB=a,0PCD=p,判斷（MPC、a、B之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在線(xiàn)段MN或NM的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí).請(qǐng)直接寫(xiě)出MPC、a、B之間的數(shù)

量關(guān)系；

（3）如圖3,AB^CDt點(diǎn)?是48、C力之間的一點(diǎn)（點(diǎn)尸在點(diǎn)A、C右側(cè)），連接孫、PC,4P和團(tuán)0cp

的平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q.若財(cái)PC=116。，請(qǐng)結(jié)合（2）中的規(guī)律，求財(cái)QC的度數(shù).

圖1圖3

【變式13-2】（2022?四川?樹(shù)德中學(xué)七年級(jí)期末）（1）如圖①，已知A8IICD,圖中乙1,42,N3之間有什

么關(guān)系？

（2）如圖②，已知ABIIC。，圖中/?1,乙2,乙3,乙4之間有什么關(guān)系？

（3）如圖③，已知A8IIC。，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中乙1,N2,N3,乙4,45之間的關(guān)系

（4）通過(guò)以上3個(gè)問(wèn)題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

【變式13-3】（2022?北京市第一零一中學(xué)溫泉校區(qū)七年級(jí)期末）喜歡思考的小澤同學(xué)，設(shè)計(jì)了一種折疊紙

條的游戲.如圖1,紙條的一組對(duì)邊PN團(tuán)QM（紙條的長(zhǎng)度視為可延伸），在PN,QM上分別找一點(diǎn)A,B,

使得0ABM=a.如圖2,將紙條作第一次折疊，使BAT與BA在同一條直線(xiàn)上，折痕記為8%.

Q

解決下面的問(wèn)題:

（1）聰明的小白想計(jì)算當(dāng)a=90。時(shí)，團(tuán)8&N，的度數(shù)，于是他將圖2轉(zhuǎn)化為下面的幾何問(wèn)題，請(qǐng)幫他補(bǔ)全

問(wèn)題并求解：如圖3,PN0QM,A,B分別在PN,QM上，且（3ABM=90。，由折疊：8%平分,BM，⑦％—

求國(guó)8%”的度數(shù).

（2）嗯穎的小桐提出了一個(gè)問(wèn)題：按圖2折疊后，不展開(kāi)紙條，再沿ARi折疊紙條（如圖4）,是否有可

能使〃團(tuán)BRi?如果能，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)a的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）笑笑看完此題后提出了一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)0。6490。時(shí)，將圖2記為第一次折疊：將紙條展開(kāi)，作第二次折

疊，使與BRi在同一條直線(xiàn)上，折痕記為BR2（如圖5）；將紙條展開(kāi)，作第三次折疊，使與BR?

在同一條直線(xiàn)上,折痕記為BR3：…以此類(lèi)推.

①第二次折疊時(shí)，（用a的式子表示）；

②第n次折疊時(shí)，MRnM=（用a和n的式子表示）.

【考點(diǎn)14平行線(xiàn)中的轉(zhuǎn)角問(wèn)題】

【例14]（2022?黑龍江?綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校匕年級(jí)期末）將兩個(gè)等邊二角形（每個(gè)內(nèi)角都等于60。）如圖1

疊放在一起，現(xiàn)將團(tuán)CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（旋轉(zhuǎn)角0。＜1＜360。，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉?wèn)題：

⑴如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿(mǎn)足（TVa460。時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出團(tuán)5co與國(guó)4CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑵如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿(mǎn)足60。VaW120。時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出國(guó)8CE與0ACO的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑶當(dāng)DE〃B。時(shí)請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

【變式14-1]（2022?福建泉州?七年級(jí)期末）現(xiàn)有一塊含30。角的直角三角板力。8,其直角頂點(diǎn)。在直線(xiàn)，上,

將三角板4。8繞著點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)22的度數(shù)（0。＜42V360。）.

請(qǐng)你解決下列問(wèn)題:

⑴當(dāng)42的度數(shù)為多少時(shí)，ABWI（不必說(shuō)理）；

⑵如右圖，作ACJ.2于點(diǎn)C,BD工1于點(diǎn)、D,試探究：圖中提供的字母或數(shù)字能表示的所有角（不包含該圖

中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，試寫(xiě)出所有相等的角，并說(shuō)明理由；若不存在，請(qǐng)舉例說(shuō)明.

【變式14-2】（2022?河南?溪河市邸城區(qū)邸城初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖1,已知PQIIMN,點(diǎn)4B分別

在MN,PQ上，且/BAN=45。，射線(xiàn)AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即逆時(shí)針回轉(zhuǎn)（速度是//秒），射線(xiàn)

8P繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即逆時(shí)針回轉(zhuǎn)（速度是67秒）、且。、〃滿(mǎn)足|。一3|+3-1）2=0,

（l）a=>b=；

⑵如圖2,兩條射線(xiàn)同時(shí)旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為/秒（tV60）,兩條旋轉(zhuǎn)射線(xiàn)交于點(diǎn)C,過(guò)C作CD1AC交PQ

于點(diǎn)O,求48/1C與NBCD的數(shù)量關(guān)系；

⑶若射線(xiàn)BP先旋轉(zhuǎn)20秒，射線(xiàn)AM才開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線(xiàn)力M旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，秒（tV160）,若旋轉(zhuǎn)中AM||BP,

求，的值.

【變式14-3】（2022?浙江湖州?七年級(jí)期末）如圖1,已知直線(xiàn)ABIICD,zCM,V=60°,射線(xiàn)ME從MD出發(fā),

繞點(diǎn)M以每秒a度的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，到達(dá)MC后立即以相同的速度返回，到達(dá)MD后繼續(xù)改變方向，

繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線(xiàn)N尸從NA出發(fā)，繞點(diǎn)N以每秒b度的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，到達(dá)NB后停止運(yùn)動(dòng),

此時(shí)ME也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).其中a,b滿(mǎn)足方程組｛；?廣女:，.

⑴求a,b的值；

⑵若N尸先運(yùn)動(dòng)30秒，然后ME一起運(yùn)動(dòng)，設(shè)ME運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中MEIINF時(shí)，求￡的值；

（3）如圖2,若ME與N尸同時(shí)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在ME第一次到達(dá)MC之前，ME與N尸交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PQ_LME于

點(diǎn)P,交直線(xiàn)4B于點(diǎn)Q,則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若設(shè)NNME的度數(shù)為m,請(qǐng)求出乙NPQ的度數(shù)（結(jié)果用含m的代

數(shù)式表示）.

【題型15生活中的平移現(xiàn)象】

【例15】（2022春?浙江湖州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列現(xiàn)象中屬于平移的是（）

①方向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)；②打氣筒打氣時(shí)，活塞的運(yùn)動(dòng)：③鐘擺的擺動(dòng)；④汽車(chē)雨刷的運(yùn)動(dòng)

A.①②B.②③C.①②④D.②

【變式15-1】（2022春?重慶璧山?七年級(jí)校聯(lián)考期中）今年4月，被稱(chēng)為“豬兒蟲(chóng)”的璧山云巴正式運(yùn)行.云

巴在軌道上運(yùn)行可以看作是（）

A.對(duì)稱(chēng)B.旋轉(zhuǎn)C.平移D.跳躍

【變式15-2】（2022春?湖北宜昌?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩只螞蟻以相同的速度沿兩條不同的路徑，同時(shí)

從點(diǎn)A出發(fā)爬到點(diǎn)8,只考慮路徑、時(shí)間、路程等因素，下列結(jié)論正確的為C）

A.乙比甲先到B.甲比乙先到

C.甲和乙同時(shí)到D.無(wú)法確定哪只螞蟻先到

【變式15-3]（2022春?廣東廣州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，人民公園內(nèi)一塊長(zhǎng)方形草地上原有一條1m寬的

筆直小路，現(xiàn)要將這條小路改造成彎曲小路，小路的上邊線(xiàn)向下平移1m就是它的下邊線(xiàn)，那么改造后小路

的面積（）

A.變大了B.變小了C.沒(méi)變D.無(wú)法確定

【題型16圖形的平移】

【例16】（2022春?內(nèi)蒙古興安盟?七年級(jí)統(tǒng)考期末）2022年，中國(guó)舉辦了第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì),

如圖，通過(guò)平移吉祥物“冰墩墩〃可以得到的圖形是（）

*】

AJ

A.B.

?,

，

【變式16-1】（2022春?全國(guó)?七年級(jí)期末）卜列汽車(chē)標(biāo)志中可以看作是由某圖案平移得到的是（）

【變式16-2】（2022春?八年級(jí)單元測(cè)試）觀察下列五幅圖案，在②③④⑤中可以通過(guò)①平移得到的圖

案是：）

【題型17利用平移的性質(zhì)求解】

【例17】（2022春?廣東江門(mén)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)方形48co的長(zhǎng)為8,寬A。為6,將這個(gè)長(zhǎng)

方形向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到長(zhǎng)方形EFG”,則陰影部分的面積為（）

A.30B.32C.36D.40

【變式17-1】（2022春?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直角三角形ABC的周長(zhǎng)為2021,在其內(nèi)部有5個(gè)小直

角三角形，且這5個(gè)小直角三角形都有一條邊與8C平行，則這5個(gè)小直角三角形周長(zhǎng)的和為

【變式17-2】（2022秋?山東臨沂?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將△ABC沿直線(xiàn)力B向右平移到達(dá)ABDE的位置,

若ZCAB=55°,4ABC=100°,則NC8E的度數(shù)為

【變式17-3】（2022春?廣東韶關(guān)?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把邊長(zhǎng)為2的正方形的局部進(jìn)行圖①~圖④的

變換，拼成圖⑤，則圖⑤的面積是（）

【題型18利用平移解決實(shí)際問(wèn)題】

【例18】（2022春?北京西城?七年級(jí)北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，公園里長(zhǎng)為20米寬為10米

的長(zhǎng)方形草地內(nèi)修建了寬為1米的道路，則草地面積是,，平方米.

【變式18-1】（2022春?廣東東莞?七年級(jí)東莞市光明中學(xué)?？计谥校┤鐖D，某酒店重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳

主樓梯上鋪設(shè)紅色地毯，其側(cè)面如圖所示，則需地毯一米.

【變式18-2】（2022春?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖（單位，m）,一塊長(zhǎng)方形草坪中間有兩條寬度相等的

石子路（每條石子路間距均勻），請(qǐng)你求出草坪（陰影部分）的面積.

【變式18-3】（2022春?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）圖形操作：（本題圖1、圖2、圖3中的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)均為10

個(gè)單位長(zhǎng)度，寬均為5個(gè)單位長(zhǎng)度）

在圖1中，將線(xiàn)段48向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度到A夕，得到封閉圖形（陰影部分）；

在圖2中，將折線(xiàn)4BC（其中點(diǎn)B叫做折線(xiàn)ABC的一個(gè)“折點(diǎn)”）向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度到折線(xiàn)ABC得

到封閉圖形AABC'CB（陰影部分）.

Cf小路

圖1圖2國(guó)3圖4

問(wèn)題解決:

⑴在圖3中，請(qǐng)你類(lèi)似地畫(huà)一條有兩個(gè)“折點(diǎn)〃的折線(xiàn)，同樣向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，從而得到一個(gè)封閉圖

形，并用斜線(xiàn)畫(huà)出陰影部分：

⑵設(shè)圖L圖2中除去陰影部分后剩下部分的面積分別為品、S2,則&=平方單位；并比較大?。篠】

S2（填或"V"）；

⑶聯(lián)想與探索：如圖4.在一塊長(zhǎng)方形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路的寬度是1個(gè)單位長(zhǎng)度），長(zhǎng)

方形的長(zhǎng)為寬為b,請(qǐng)你直接寫(xiě)出空白部分表示的草地的面積是平方單位.（用含小力的式

子表示）

專(zhuān)題1L1相交線(xiàn)與平行線(xiàn)十八大必考點(diǎn)

【人教版】

【考點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的判斷】...................................................27

【考點(diǎn)2三線(xiàn)八角中的截線(xiàn)問(wèn)題】..............................................................29

【考點(diǎn)3根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】...................................................31

【考點(diǎn)4直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)中的平行線(xiàn)的判定】.........................................................37

【考點(diǎn)5與垂線(xiàn)有關(guān)的角度計(jì)算或證明】.......................................................40

【考點(diǎn)6利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)計(jì)算角度1..............................................................................44

【考點(diǎn)7平行線(xiàn)的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】.......................................................48

【考點(diǎn)8利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】........................................54

【考點(diǎn)9平行線(xiàn)的運(yùn)用（單一犍助線(xiàn)）】.......................................................60

【考點(diǎn)10平行線(xiàn)的運(yùn)用（多條軸助線(xiàn)）】.......................................................67

【考點(diǎn)11平行線(xiàn)在折疊問(wèn)題的運(yùn)用】............................................................76

【考點(diǎn)12平行線(xiàn)在三角尺中的運(yùn)用】............................................................80

【考點(diǎn)13平行線(xiàn)中的規(guī)律問(wèn)題】................................................................84

【考點(diǎn)14平行線(xiàn)中的轉(zhuǎn)角問(wèn)題】................................................................92

【題型15生活中的平移現(xiàn)象】..................................................................99

【題型16圖形的平移】.......................................................................101

【題型17利用平移的性質(zhì)求解】...............................................................103

【題型18利用平移解決實(shí)際問(wèn)題】.............................................................105

?力注，?三

【考點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的判斷】

[例1]（2022?河南新鄉(xiāng)?七年級(jí)期末）如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（）

A.和02是同旁?xún)?nèi)角B.團(tuán)1和團(tuán)3是對(duì)頂角

C.團(tuán)3和回4是同位角