2024-2025學(xué)年福建省百校聯(lián)考高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（11月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省百校聯(lián)考高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（11月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?2x?3≤0}，B={x|y=x?1A.[?1,1] B.[?1,1) C.[?3,1] D.[?3,1)2.若復(fù)數(shù)z滿足1?z=2i+iz，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若a和b是兩個(gè)互不相等的正實(shí)數(shù)，則“a+b=2”是“l(fā)ogab<0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知a，b是兩個(gè)非零平面向量，a⊥(3b?2a)，則b在A.a B.12a C.235.在平面直角坐標(biāo)系中，將角α的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π4后經(jīng)過點(diǎn)(1,?2)，則sinα=(

)A.1010 B.?1010 6.定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=2x+1，若函數(shù)?(x)=g2(x)?2mf(x)(m∈R)的最小值為?12A.1 B.3 C.22 7.數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,bn=|sinnπ2A.10221023 B.20462047 C.409440958.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，滿足2(f(x)+x2)=x(f′(x)+x)，f(1)=?32，則A.?e B.e C.?e2 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列函數(shù)最小值為4的是(

)A.y=x2?2x+3 B.y=2x+10.已知函數(shù)f(x)=2sin(2ωx+π6)(ω>0)，則下列說法正確的是A.當(dāng)ω=1時(shí)，f(x)的最小正周期為2π

B.函數(shù)f(x)過定點(diǎn)(0,1)

C.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π3個(gè)單位長度后，得到函數(shù)?(x)的圖象，若函數(shù)?(x)是偶函數(shù)，則ω的最小值為12

D.函數(shù)g(x)=f(x)?3在區(qū)間[0,π]上恰有511.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別是A1DA.△EFG的面積為32

B.三棱錐P?EFG體積的最大值為34

C.若A1P//平面EFG，則點(diǎn)P的軌跡長度為62

D.當(dāng)點(diǎn)P為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數(shù)f(x)=2x,x≤1x2?7x+13,x>113.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足sin2A=sinC，a=2，c=1，則b=______．14.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對任意的正整數(shù)n，函數(shù)f(x)=x22+lnx?(an+2)x均存在兩個(gè)極值點(diǎn)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2a6?a3=9，S5=15．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及前16.(本小題15分)

如圖所示，C，D分別為半圓錐PAB的底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，E為母線PB的中點(diǎn)．

(1)證明：DE//平面PAC；

(2)若△PAB為等邊三角形，求平面PAB與平面PAD的夾角的余弦值．17.(本小題15分)

函數(shù)f(x)=(1?x)eax?x?1，其中a為整數(shù)．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程；

(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)<0恒成立，求a18.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2bsinAsinB+cos2B=1，1+3c2=23bcsinA．

(1)求a；

(2)求△ABC的面積；

(3)在△ABC所在的平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)D(x,y)19.(本小題17分)

設(shè)f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則稱f(x)為區(qū)間D上的凹函數(shù)，區(qū)間D稱作函數(shù)f(x)的凹區(qū)間；反之，則稱f(x)為區(qū)間D上的凸函數(shù)，區(qū)間D稱作函數(shù)f(x)的凸區(qū)間．

(1)已知函數(shù)g(x)=lnx+12x2，求g(x)的凹、凸區(qū)間；

(2)如圖所示為某個(gè)凹函數(shù)y=m(x)的圖象，在圖象上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,m(x1))，B(x2,m(x2))，過線段AB的中點(diǎn)C作x軸的垂線，與函數(shù)圖象和x軸分別交于D，E兩點(diǎn)，則有|CE|>|DE|

參考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.B

6.C

7.B

8.D

9.BCD

10.BC

11.ACD

12.1

13.2

14.3?215.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

由2a6?a3=9，S5=15，

得2a1+10d?a1?2d=a1+8d=9，且5a1+10d=15，

聯(lián)立解得a1=d=1，故an=1+n?1=n；

Sn=n+n(n?1)2=n16.解：(1)證明：根據(jù)C，D分別為底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，可知CD/?/AB且CD=12AB，

如果F是PA中點(diǎn)，E為母線PB的中點(diǎn)，那么易知EF=12AB且EF/?/AB，

因此EF//CD且EF=CD，那么EFCD為平行四邊形，所以CF/?/DE，

根據(jù)DE?面PAC，CF?面PAC，所以DE/?/平面PAC．

(2)作DH⊥PA，DG⊥AB，連接HG，如上圖所示，

根據(jù)題意，面PAB⊥面ABDC，PO?面PAB，PO⊥AB，面PAB∩面ABDC=AB，

因此PO⊥面ABDC，又因?yàn)镈G?面ABDC，所以PO⊥DG，

又因?yàn)镻O∩AB=O都在面PAB內(nèi)，那么DG⊥面PAB，又因?yàn)镻A?面PAB，

因此DG⊥PA，又由于DG∩DH=D都在面DHG內(nèi)，所以PA⊥面DHG，

根據(jù)GH?面DHG，那么PA⊥GH，并根據(jù)DH⊥PA，且DH?面PAD，GH?面PAB，

因此平面PAD與平面PAB的夾角為∠DHG或其補(bǔ)角，

設(shè)△PAB的邊長為2，那么PA=2，根據(jù)題設(shè)易知∠BAD=30°，所以DG=32，AD=3，

在三角形PAD中AD上的高?=4?34=13217.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=(1?x)ex?x?1，所以f(1)=?2，

而導(dǎo)函數(shù)f′(x)=?ex+(1?x)ex?1=?xex?1，那么f′(1)=?e?1，

因此f(x)在x=1處的切線方程為y+2=(?e?1)(x?1)，

所以(e+1)x+y+1?e=0．

(2)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí)，(1?x)eax≤0，那么f(x)<0恒成立，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，根據(jù)函數(shù)f(x)<0，得(1?x)eax?x?1<0，

所以eax<x+11?x，那么ax<lnx+11?x=ln(x+1)?ln(1?x)，

所以ln(x+1)?ln(1?x)?ax>0對于x∈(0,1)恒成立，

設(shè)函數(shù)g(x)=ln(x+1)?ln(1?x)?ax，x∈(0,1)，

那么導(dǎo)函數(shù)g′(x)=1x+1+11?x18.解：(1)因?yàn)?bsinAsinB+cos2B=1，

所以2bsinAsinB=1?cos2B=2sin2B，

因?yàn)閟inB≠0，所以bsinA=sinB，

由正弦定理得，bsinA=asinB，

所以a=1．

(2)由余弦定理得，1=a2=b2+c2?2bccosA，

因?yàn)?+3c2=23bcsinA，所以b2+4c2=23bcsinA+2bccosA，

兩邊同時(shí)除以2bc，得b2c+2cb=3sinA+cosA=2sin(A+π6)，

因?yàn)?sin(A+π6)≤2，當(dāng)且僅當(dāng)A=π3時(shí)等號(hào)成立，

所以b2c+2cb≤2，

又b2c+2cb≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時(shí)等號(hào)成立，

所以b2c+2cb=2，且b=2c，A=π3，

由余弦定理得，1=b2+c2?2bccosA=b2+19.解：(1)因?yàn)間(x)=lnx+12x2的定義域?yàn)?0,+∞)，g′(x)=1x+x，

設(shè)G(x)=g′(x)，則G′(x)=1?1x2=x2?1x2，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，G′(x)<0，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，G′(x)>0，

故G(x)=g′(x)在x∈(0,1