2024-2025學(xué)年廣東省廣州市華南師大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷含答案

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省廣州市華南師大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?3≤x≤1}，B={x||x|≤2}，則A∩B=(

)A.{x|?2≤x≤1} B.{x|0≤x≤1} C.{x|?3≤x≤2} D.{x|1≤x≤2}2.已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=log2x，則f(?4)=A.2 B.?2 C.1 D.?13.直線x?3y+1=0的傾斜角為A.0° B.30° C.45° D.60°4.已知直線2x?my+6=0平分圓C2：(x?1)2+(y?2)A.2 B.4 C.6 D.85.雙曲線C：x2a2?y2bA.2 B.3 C.2 6.若α是第二象限角，且tan(π?α)=12，則cosA.32 B.?32 7.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，M為棱AA1的中點(diǎn)，N為棱CC1上靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn)，若記正三棱柱A.512V

B.518V

C.8.已知F是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P，QA.76 B.13 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量a=(?2,1)，b=(t,?1)，則(

)A.若a⊥b，則t=?12 B.若a，b共線，則t=?2

C.b不可能是單位向量 D.10.已知x，y為正實(shí)數(shù)，x+y=4，則(

)A.xy的最大值為4 B.x+y的最小值為22

C.yx11.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長半軸長、短半軸長三者的乘積.如下圖，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點(diǎn)分別為B1，B2，左、右頂點(diǎn)分別為A1A.若B1F2//P1A2，則e=23

B.四邊形F1B1F2B2的面積與三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.直線y=kx?2k+1恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為______．13.已知函數(shù)f(x)=x+a2,x<0ax,x≥014.已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F，短軸B1B2的長為23,P,Q為C上異于B1，B2的兩點(diǎn).設(shè)∠PB四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(b+c?a)(b+c+a)=bc．

(1)求A；

(2)若D為BC邊上一點(diǎn)，∠BAD=3∠CAD，AC=4，AD=3，求sin16.(本小題15分)

已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(2,1)與點(diǎn)(?2,?3)，圓C1與y軸相切于點(diǎn)(0,3)，且圓心在直線l上．

(1)求圓C1的方程；

(2)圓C1與圓C2：x2+17.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC中角B為直角，AA1=AB=1，側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC，A1B=2，直線A118.(本小題17分)

已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(?3,0)，F(xiàn)2(3,0)，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為橢圓C上異于A，B的動點(diǎn)，△PF1F2的周長為4+23．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PB交直線x=4于點(diǎn)T，連接AT交橢圓C于點(diǎn)Q，直線AP，AQ的斜率分別為kAP，19.(本小題17分)

若坐標(biāo)平面內(nèi)的曲線C與某正方形A四條邊的所在直線均相切，則稱曲線C為正方形A的一條“切曲線”，正方形A為曲線C的一個(gè)“切立方”．

(1)試寫出圓(x?α)2+(y?β)2=r2的一個(gè)切立方A的四條邊所在直線的方程；

(2)已知正方形A的方程為|x|+|y|=1，且正方形A為雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)“切立方”，求雙曲線的離心率e的取值范圍；

(3)已知P(x0,y0)為函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)參考答案1.A

2.B

3.B

4.B

5.C

6.D

7.B

8.C

9.AD

10.ACD

11.ABD

12.(2,1)

13.(1,2]

14.8

15.解：(1)由(b+c?a)(b+c+a)=bc，得(b+c)2?a2=bc，整理得b2+c2?a2=?bc．

根據(jù)余弦定理，得cosA=b2+c2?a22bc=?12，結(jié)合A∈(0,π)，可得A=2π3．

(2)因?yàn)椤螧AD=3∠CAD，∠BAD+3∠CAD=2π3，所以∠BAD=π16.解：(1)經(jīng)過點(diǎn)(2,1)與點(diǎn)(?2,?3)的直線方程為y?1?3?1=x?2?2?2，

即y=x?1，

由圓C1與y軸相切于點(diǎn)(0,3)可得，圓心C1在直線y=3上，

聯(lián)y=3y=x?1，解得x=4y=3，

即圓心C1坐標(biāo)為(4,3)，

所以圓C1的半徑為(4?0)2+(3?3)2=4，

故圓C1的方程為(x?4)2+(y?3)2=16．

(2)因?yàn)閳AC1的方程為(x?4)2+(y?3)217.(1)證明：當(dāng)A1B=2時(shí)，因?yàn)锳A1=AB=1，

所以AA12+AB2=A1B2，所以AA1⊥AB，

由平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，

BC?平面ABC，BC⊥AB，可得BC⊥平面ABB1A1，

又AA1?平面ABB1A1，所以AA1⊥BC，

因?yàn)锳B∩BC=B，AB、BC?平面ABC，

所以AA1⊥平面ABC，因?yàn)锳A1?平面ACC1A1，

所以平面ACC1A1⊥平面ABC；

(2)解：因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AC?平面ABC，

所以直線A1C與平面ABC所成的角為∠A1CA，所以∠A1CA=π6，

因?yàn)锳A1=AB=1，且A1B=2，

所以A1C=2，AC=3，故BC=2，

作BD⊥AC交AC于D，

因?yàn)槠矫鍭CC1A118.解：(1)易知|F1F2|=23，

因?yàn)?，△PF1F2的周長為4+23，

所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+23，

所以|PF1|+|PF2|=2a=4，

解得a=2，

則b2=a2?c2=1，

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1；

(2)(ⅰ)證明：設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，T(4,m)，

由(1)知A(?2,0)，B(2,0)，

此時(shí)kAP=y1x1+2，kAQ=kAT=m?04?(?2)=m6，

因?yàn)閗BP=kBT=y1x19.解：(1)

根據(jù)“切立方”的定義，結(jié)合圖象可得，x=α+r，x=α?r，y=β+r，y=β?r(答案不唯一)．

(2)

由正方形A的方程為|x|+|y|=1，則|y|=?|x|+1=±x+1，

由正方形A為雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)“切立方”，

則x2a2?y2b2=1|y|=±x+1，聯(lián)立可得x2a2?(±x+1)2b2=1，

整理可得(1a2?1b2)x2±2b2x?1b2?1=0，

則Δ=4b4+4(