電路分析基礎(chǔ) 第2版 課件 第11章 拉普拉斯變換

教學(xué)課件電

路

分

析

基

礎(chǔ)第11章拉普拉斯變換目錄CATALOG11.1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

11.2拉普拉斯反變換11.3運(yùn)算電路11.4用拉普拉斯變換法分析線性電路11.5應(yīng)用案例——浪涌抑制器知

識(shí)

圖

譜拉普拉斯變換(

，★)11.1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

11.2拉普拉斯反變換11.3運(yùn)算電路11.4用拉普拉斯變換法分析線性電路11.5應(yīng)用案例——浪涌抑制器拉普拉斯變換定義拉普拉斯變換基本性質(zhì)

拉普拉斯反變換定義部分分式展開法

KCL、KVL運(yùn)算形式

VCR運(yùn)算形式：(

)(

)求出電路的初始條件畫出運(yùn)算電路求出響應(yīng)的原函數(shù)求出響應(yīng)的象函數(shù)(★)11.1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierremarquis

de

Laplace，1749年3月23日－1827年3月5日），法國著名的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，天體力學(xué)的集大成者。1749年生于法國西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，1816年被選為法蘭西學(xué)院院士，1817年任該院院長。1812年發(fā)表了重要的《概率分析理論》一書，在該書中總結(jié)了當(dāng)時(shí)整個(gè)概率論的研究，論述了概率在選舉審判調(diào)查、氣象等方面的應(yīng)用，導(dǎo)入”拉普拉斯變換“等。在拿破侖皇帝時(shí)期和路易十八時(shí)期兩度獲頒爵位。拉普拉斯曾任拿破侖的老師，所以和拿破侖結(jié)下不解之緣。1827年3月5日卒于巴黎。11.1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

對(duì)具有多個(gè)儲(chǔ)能元件的復(fù)雜電路動(dòng)態(tài)分析，以前只能用求解微分方程的方法，十分困難。拉普拉斯變換是一種積分變換，可以將時(shí)域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程來求解；可以將過渡過程的動(dòng)態(tài)分析，變成象純電阻電路一樣的靜態(tài)分析，使分析過程大大簡化。所以拉普拉斯變換法是求解高階復(fù)雜動(dòng)態(tài)電路的有效而重要的方法。應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析稱為電路的復(fù)頻域分析法，又稱運(yùn)算法。時(shí)域微分方程頻域代數(shù)方程拉氏變換拉氏反變換求解時(shí)域解優(yōu)點(diǎn)：不必確定積分常數(shù)以及求解微分方程式所需的初始條件，

適用于高階復(fù)雜的動(dòng)態(tài)電路。11.1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

拉氏變換法求解電路過渡過程的步驟：電路微分方程拉氏變換像函數(shù)的代數(shù)方程代數(shù)運(yùn)算響應(yīng)的像函數(shù)時(shí)域全響應(yīng)拉普拉斯反變換解微分方程時(shí)域分析頻域分析11.1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

i1

i2=i32.運(yùn)算法：把時(shí)域的原函數(shù)f(t)變換為復(fù)頻域的象函數(shù)F(s)運(yùn)算。

時(shí)域函數(shù)f(t)

(原函數(shù))

復(fù)頻域函數(shù)F(s)

(象函數(shù))一一對(duì)應(yīng)常用變換1.相量法：把時(shí)域的正弦運(yùn)算變換為復(fù)數(shù)的相量運(yùn)算。11.1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

11.1.1拉普拉斯變換的定義復(fù)變量原函數(shù)象函數(shù)拉氏變換符號(hào)拉普拉斯變換：在一定條件下，把實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)f(t)變換到復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù)F(s)

。

設(shè)有時(shí)間函數(shù)f(t)，當(dāng)t<0

時(shí)，f(t)＝0；在t≥0時(shí)定義函數(shù)f(t)

的拉普拉斯變換為：?拉普拉斯變換是控制工程中的一個(gè)基本數(shù)學(xué)方法，其優(yōu)點(diǎn)是能將時(shí)間表示的微分方程，變成以s表示的代數(shù)方程。11.1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

s為復(fù)頻率：將時(shí)域函數(shù)f(t)(原函數(shù))變換為復(fù)頻域函數(shù)F(s)(象函數(shù))叫拉普拉斯變換。正變換

反變換

f(t)和F(s)是一對(duì)拉普拉斯變換對(duì)。稱分析線性電路的運(yùn)算法為復(fù)頻域分析法，而相應(yīng)地稱經(jīng)典法為時(shí)域分析法。拉普拉斯變換的定義正變換反變換??11.1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

拉普拉斯變換的定義積分下限從0+開始，稱為0+拉氏變換。積分下限從0

開始，稱為0

拉氏變換。

當(dāng)f(t)含有沖激函數(shù)項(xiàng)時(shí)，此項(xiàng)00+

拉氏變換和0

拉氏變換的區(qū)別：為了把0-0+時(shí)沖激函數(shù)的作用考慮到變換中，通常拉氏變換定義式中積分下限從0-

開始。(2)象函數(shù)F(s)用大寫字母表示，如I(s)、U(s)。(1)原函數(shù)f(t)用小寫字母表示，如i(t)、u(t)。備注：11-1求以下函數(shù)的象函數(shù)。例：應(yīng)用舉例解：(1)單位階躍函數(shù)(2)單位沖激函數(shù)=1(3)指數(shù)函數(shù)。

?

???11.1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

1.

線性性質(zhì)???11-2求以下函數(shù)的象函數(shù)。解：例：(1)?(2)?11.1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

(3)?由歐拉公式，正弦函數(shù)表達(dá)為：兩式相減??2.

微分性質(zhì)??例：11-3：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)。(1)??解：證：例：11-3：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)。(2)??解：3.積分性質(zhì)例：11-4利用積分性質(zhì)求單位斜坡函數(shù)f(t)=t的象函數(shù)。解：？????=?則????證：4.延遲性質(zhì)?例：解：11-5求下圖所示矩形脈沖的象函數(shù)。1t0f

(t)T?證：

5.位移性質(zhì)??11-6應(yīng)用位移性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)。例：解：(1)?(2)?(3)?證：拉氏變換簡表tδ(t)1ε(t)1/ste-atsin(

t)cos(

t)e-atcos(

t)e-atsin(

t)1.為什么拉普拉斯變換在線性電路分析中得到廣泛應(yīng)用？

2.什么是拉普拉斯變換？為什么要進(jìn)行拉普拉斯變換與拉普拉斯反變換？

3.什么是原函數(shù)？什么是象函數(shù)？兩者之間的關(guān)系如何？4.在求f(t)的象函數(shù)時(shí)，是否一定要知道f(0-)的值？為什么？思考回答11.2拉普拉斯反變換1.利用反變換的定義公式較麻煩，難度大，不用。2.對(duì)簡單的F(s)可以查拉氏變換表。

3.把F(s)分解為簡單項(xiàng)的組合，也稱部分分式展開法。求拉普拉斯反變換的方法方法簡單但適用范圍小。11.2拉普拉斯反變換部分分式展開法1.象函數(shù)的一般形式：N(s)D(s)F(s)=a0sm

+a1sm–1++am???b0sn

+b1sn–1++bn???=H0

實(shí)數(shù)常數(shù)。zi

F(s)的零點(diǎn)。

把F(s)分解成若干簡單項(xiàng)之和，而這些簡單項(xiàng)可以在拉氏變換表中找到，這種方法稱為部分分式展開法，或稱為分解定理。F(s)=H0

(s–zi)mi=1

(s–pj)j=1npjF(s)的極點(diǎn)。集總參數(shù)電路中響應(yīng)變換式的特點(diǎn)變換式在一般情況下為s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)。討論2.n>m

F(s)為真分式令D(s)=b0sn+b1sn–1+…+bn=0可得根為p1，

p2，…，pn。(1)D(s)有n個(gè)實(shí)數(shù)單根。D(s)=0的根有三種情況：(1)實(shí)數(shù)單根；(2)復(fù)數(shù)根；(3)重根令s=p1，則同理可得：……因此

待定常數(shù)的確定：方法一：求極限法因此

方法二：洛必達(dá)法則應(yīng)用舉例解：的根為p1=1，p2=2，于是有這樣：待定常數(shù)的確定：例：11-7求的原函數(shù)f

(t)

。待定常數(shù)的確定：1)2)例：解法1：∴的根分別為：∵同理：

11-8求的原函數(shù)。應(yīng)用舉例解法2：令D(s)=0，則p1=0，p2=－2，p3=－5同理：

應(yīng)用舉例假設(shè)只有兩個(gè)根(2)D(s)有共軛復(fù)根k1，

k2也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)?？蓳?jù)前面介紹的兩種方法求出k1，

k2。設(shè)

11-9例：解：應(yīng)用舉例極點(diǎn)為

(3)D(s)有重根對(duì)于單根，仍然采用前面的方法計(jì)算。要確定k11、k12，則需用下式：由上式把k11單獨(dú)分離出來，可得：再對(duì)式子中s進(jìn)行一次求導(dǎo)，讓k12也單獨(dú)分離出來，得應(yīng)用舉例例：解：11-10求的原函數(shù)f

(t)。，有p1=

-2為二重根，p2=

-1，則F(s)的分解式為其中

因此查表11-1可得：3.n

m

F(s)為假分式，用長除法，得：

如F(s)=s3+1s2+2s+2=s–2+s2+2s+22s+5解：F(s)=Q(s)+D(s)N'0(s)(2)n＜m：

F(s)=A+D(s)N0(s)(1)n=m：

其中，

–1(s–2)=

(t)2

(t)?

11-11已知，求原函數(shù)。例：解：應(yīng)用舉例1.求拉普拉斯反變換的方法有幾種？

2.由F(s)求f(t)的步驟是什么？

檢驗(yàn)學(xué)習(xí)結(jié)果3.如何利用分解定理進(jìn)行拉普拉斯反變換？4.利用分解定理進(jìn)行拉普拉斯反變換時(shí)，當(dāng)D(s)=0具有共軛復(fù)根時(shí)如何處理？

11.3運(yùn)算電路時(shí)域形式：運(yùn)算形式：基爾霍夫定律的運(yùn)算形式拉普拉斯變換R1.R：u=Ri+u

-i+U(s)

-

I(s)RR的運(yùn)算電路

11.3運(yùn)算電路電路元件的運(yùn)算形式2.L：取拉氏變換，由微分性質(zhì)得：L的運(yùn)算電路i(t)+

u(t)

-L+

-sLU(s)I(s)+-時(shí)域形式：與I(s)方向相反。3.C：C的運(yùn)算電路i(t)+

u(t)

-C時(shí)域形式：取拉氏變換，由積分性質(zhì)得：+

-1/sCU(s)I(s)-+與U(s)方向相同。4.耦合電感的運(yùn)算形式i1**L1L2+_u1+_u2i2M時(shí)域形式：耦合電感的運(yùn)算電路+-+sL2+sM+

+sL1----

+-5.受控源的運(yùn)算形式受控源的運(yùn)算電路時(shí)域形式：取拉氏變換(s)+-U+1(s)-

RI1(s)U2U1(s)+-+u1-+u2-Ri1

u1+-運(yùn)算阻抗u(t)+-i(t)RL(a)SCU(s)I(s)1/sC–+-RsL(b)S++–LiL(0-)若電路無初始儲(chǔ)能，零初值：運(yùn)算電路模型uC(0-)=0，iL(0-)=0運(yùn)算形式歐姆定律：

換路后運(yùn)算電路：11-13下圖電路在開關(guān)S打開前處于穩(wěn)態(tài)，試畫出S打開后

的運(yùn)算電路。5

2F20

10

10

0.5H50V+-uC+-iLS0.5sUC(s)-++1/2s25/s2.5VIL(s)+--5

20

解：應(yīng)用舉例例：5

20

10

10

50V+-+-S思考回答1.能畫出電阻、電感和電容的拉普拉斯變換電路嗎？三者串聯(lián)電路的運(yùn)算阻抗是什么？3.一電感元件的電感L=10mH，初始值iL(0)=5A。試寫出它的s復(fù)頻域伏安關(guān)系式，并繪出它的兩種運(yùn)算電路圖。4.一電容元件的電容C=100μF，初始值uC(0-)=10V。試寫出它的s復(fù)頻域伏安關(guān)系式，并繪出它的兩種運(yùn)算電路圖。

2.歐姆定律的復(fù)頻域形式是什么？

11.3運(yùn)算電路1.正弦穩(wěn)態(tài)電路——相量法運(yùn)算法和相量法的比較2.高階動(dòng)態(tài)電路——運(yùn)算法元件→復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納相量形式KCL和KVL相量形式電路模型運(yùn)算形式KCL和KVL元件→運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納運(yùn)算形式電路模型將時(shí)域高階動(dòng)態(tài)電路建立成s域運(yùn)算模型——運(yùn)算法(1)基爾霍夫定律的運(yùn)算形式(2)電路元件的運(yùn)算形式11.4

應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路1.相量法相量法把正弦量變換為相量(復(fù)數(shù))，從而把求解線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)問題歸結(jié)為以相量為變量的線性代數(shù)方程，正弦穩(wěn)態(tài)電路歸結(jié)成為純電阻電路分析。2.運(yùn)算法運(yùn)算法把時(shí)間函數(shù)變換為對(duì)應(yīng)的象函數(shù)，從而把求解微分方程歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程問題，動(dòng)態(tài)電路的過渡過程歸結(jié)為純電阻電路分析。運(yùn)算法和相量法的比較注意直流電路計(jì)算的規(guī)律均可應(yīng)用于運(yùn)算電路！

3.應(yīng)用線性電阻電路分析方法求響應(yīng)的象函數(shù)U(s)或I(s)

。1.由換路前電路計(jì)算uC(0-)和iL(0-)。2.畫出運(yùn)算電路圖。

(1)電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。(2)各元件的參數(shù)：R參數(shù)不變

L參數(shù)為sL

C參數(shù)為1/sC(3)原電路中的電源進(jìn)行拉氏變換。4.響應(yīng)的象函數(shù)拉氏反變換求出時(shí)域解即原函數(shù)u(t)或i(t)

。運(yùn)算法的解題步驟應(yīng)用舉例例：解：，若(1)(2)，如圖所示，試求響應(yīng)

11-14RC并聯(lián)電路，激勵(lì)為電流源。RC1/sCU(s)R++--u(t)(1)當(dāng)時(shí)，∴u(t)=?-1[U(s)]=

RC1/sCU(s)R++--u(t)解：(2)當(dāng)時(shí)，∴u(t)=?-1[U(s)]=應(yīng)用舉例

11-15電路如圖(a)所示，開關(guān)S原來閉合，求開關(guān)在t=0時(shí)刻打開后電路中的電流及電感元件上的電壓。其中R1=2

，R2=3

，L1=0.3H，L2=0.1H，US=10V

。計(jì)算初值：5A，電感L1中原有電流為電感L2中原有電流為0A。例：解：S+-iUSR1L1R2L2(a)10/sI

(s)+-+-R1sL1R2sL2(b)L1i(0-)10/sV0.3s1.5V0.1sI(s)US(s)R1sL1sL2R23

2

++--10/sV0.3s1.5V0.1sI(s)US(s)R1sL1sL2R23

2

++--UL1(s)UL2(s)3.75ti520uL1-6.56t-0.375

(t)00.375

(t)uL2t-2.190磁鏈?zhǔn)睾悖?/p>

11-16電路原處于穩(wěn)態(tài)，uC(0-)=1V，

US=10V

，R1=R2=1

，C=1F，L

=1H，

t=0

時(shí)開關(guān)閉合，試用運(yùn)算法求i(t)。例：解：應(yīng)用舉例i+-USR1R2CLS1/sCI(s)US+-R1R2SsL+Li(0-)I1(s)I2(s)--s運(yùn)算電路如圖所示：M**L1L2+–R1R2SsM**sL1sL2+–R1R2S解：11-17圖示電路,求S閉合后的響應(yīng)。和。應(yīng)用舉例例：思考與練習(xí)1.應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路計(jì)算步驟是什么？2.試比較電路的復(fù)頻域分析法與相量法的異同。

3.本章以前所介紹的各種分析方法可應(yīng)用于復(fù)頻域分析之中，這是否也包括對(duì)功率的分析？4.對(duì)零狀態(tài)線性電路進(jìn)行復(fù)頻域分析時(shí)，能否用疊加定理？若為非零狀態(tài)，即運(yùn)算電路中存在附加電源時(shí)，能否用疊加定理？11.5應(yīng)用實(shí)例——浪涌抑制器為簡化電路的分析，設(shè)電壓，并且在t=0，開關(guān)打開時(shí)不變。開關(guān)打開后，構(gòu)建s域等效電路，如圖(b)所示。注意：感性負(fù)載電壓的相位角為零，所以電感負(fù)載的初始電流為零。因此，只有供電線路上的電感具有非零初始條件，其s域的等效電路為一個(gè)附加電壓源LlI0。

當(dāng)開關(guān)在t=0時(shí)刻打開時(shí)，因?yàn)樵趖=0時(shí)電感負(fù)載的電流為零，而且電感中的電流不會(huì)躍變，因此所有的電流都流過負(fù)載電阻。這樣，當(dāng)供電線路中的電流直接流過電阻負(fù)載時(shí)，其余的負(fù)載就會(huì)經(jīng)過一個(gè)電壓浪涌的過程。一、拉氏變換簡表小結(jié)：看看記記tδ(t)1ε(t)1/ste-atsin(

t)cos(

t)e-atcos(

t)e-atsin(

t)二、拉普拉斯變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)：2.微分性質(zhì)：3.積分性質(zhì)：4.延遲性質(zhì)：5.位移性質(zhì)：

?????則??????三、拉氏反變換的部分分式展開—假分式化成真分式1.分母有單根3.分母有重根2.分母有共軛復(fù)根1)2)四、電路元件的運(yùn)算形式3.C：i(t)+

u(t)

-C+

-1/sCU(s)I(s)-+2.L：i(t)+

u(t)

-L+

-sLU(s)I(s)+-

1.R：R+U(s)

-

I(s)Ri(t)

u(t)

+

-i1L1L2+_u1+_u2i2+-+sL2+sM+

+sL1----

+-M4.耦合電感能力檢測題1.根據(jù)定義求的象函數(shù)。和解：(1)F(s)=[f(t)]=?(2)F(s)=[f(t)]=?2.設(shè)求的象函數(shù)。解：F2(s)=[f2(t)]=??解：當(dāng)所給出的有理分式不是真分式時(shí)，應(yīng)先用長除法進(jìn)行處理，變成真分式，然后再進(jìn)行求解。于是可得3.

求的拉氏反變換。4.求下列函數(shù)的原函數(shù)。解法1：解法2：解：解：則

解：

(4)s－)+2－)2s+3=s+2

2s+3s2+5s+6+用長除法求

的原函數(shù)

f(t)。5.解：則運(yùn)算電路時(shí)域電路RRLLCi1i2U+-RRLsL1/sCI

1(s)U/sI

2(s)+-

解：6.給出下圖所示電路的運(yùn)算電路模型。已知。，由于，所以沒有附加電源，運(yùn)算電路如右圖所示。，uS1

+-2

2H-+u解：則7.

圖示電路中，

已知，求零狀態(tài)響應(yīng)u。解：uC(0-)=0,iL(0-)=01H0.5F3

_+8.圖示電路，已知，求零狀態(tài)響應(yīng)uC。9.圖示電路在零狀態(tài)下，外加電流源已知。試求電壓。，運(yùn)算電路如圖所示：+sLGCLG+_+_解：+sLGCLG+_+_203040V-+25HiL0.01FuC+-

10.圖示電路在開關(guān)閉合前處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)將開關(guān)閉合，求開關(guān)閉合

后uC(t)和iL(t)的變化規(guī)律。iL(0-)==0.8A4050uC(0-)=0.820=16V(s3+5s2+4s)UC

(s)=16s2+80s+160UC(s)=16s2+80s+160s(s+1)(s+4)IL(s)=20+40/s–UC

25s解：=20s2+124s+20025s(s+1)(s+4)120125s(0.01s++

)UC(s)40s+2025s

=0.16+UC(s)=16s2+80s+160s(s+1)(s+4)IL(s)=20s2+124s+20025s(s+1)(s+4)UC=sk1s+1k2k3s+4++k1=sUC(s)s=0=16s2+80s+160(s+1)(s+4)s=0=40iL(t)=(2–1.28e–t+0.08e–4t

)A

t0uC(t)=(40–32e–t+8e–4t

)V

t0k2=(s+1)UC(s