山西省大同市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

大同市2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期中高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)的位置.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無(wú)效.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫(xiě)在答題卡上.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.5.本試卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分100分，考試時(shí)間90分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集定義計(jì)算即可.【詳解】由題設(shè)得，故選:A.2.下列關(guān)于，的關(guān)系中，是的函數(shù)的是（）A.B.C.D.123400-61【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，不等式的解集為，不是的函數(shù)，A不是；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)與對(duì)應(yīng)，不是的函數(shù)，B不是；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)與對(duì)應(yīng)，不是的函數(shù)，C不是；對(duì)于D，對(duì)于的每一個(gè)值，都有唯一值與之對(duì)應(yīng)，是的函數(shù)，D是.故選：D3.設(shè)，，則下列不等式中不正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性判定A，B，運(yùn)用作差法判定D，運(yùn)用特殊值判定C.【詳解】解析：因?yàn)樵?,+∞上是增函數(shù)，所以，故A正確；因?yàn)樵?,+∞上是減函數(shù)，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)?；所?故D正確.故選：C.4.如圖是某高一學(xué)生晨練時(shí)離家距離與行走時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系的圖像.若用黑點(diǎn)表示該學(xué)生家的位置，則該同學(xué)散步行走的路線(xiàn)可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的圖象，結(jié)合選項(xiàng)判斷得解.【詳解】觀察函數(shù)圖象知，有一段時(shí)間該同學(xué)離家距離保持不變，選項(xiàng)ABC中，路線(xiàn)上的點(diǎn)離家距離是變化的，選項(xiàng)D中的路線(xiàn)符合要求.故選：D5.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題即可解題.【詳解】全稱(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題，所以該命題的否定為“，”.故選：C6.，若是的最小值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式，先求出當(dāng)時(shí)的函數(shù)最值，然后結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行討論即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)：，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)函數(shù)的最小值為，若，則函數(shù)的最小值為，此時(shí)不是的最小值，此時(shí)不滿(mǎn)足條件，若，則要使是的最小值，則滿(mǎn)足，即解得，，，故選：D．7.荀子曰：“故不積跬步，無(wú)以至千里：不積小流，無(wú)以成江海.”這句來(lái)自先秦時(shí)期的名言闡述了做事情不一點(diǎn)一點(diǎn)積累，就永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)成目標(biāo)的哲理.由此可得，“積跬步”是“至千里”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件定義判斷即可.【詳解】荀子的名言表明積跬步未必能至千里，但要至千里必須積跬步，故“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.故選：B.8.已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是（）A.25 B.16 C.18 D.8【答案】B【解析】【分析】利用代換1法，結(jié)合均值不等式來(lái)求最小值.【詳解】由展開(kāi)變形得，則，因?yàn)?，，所以原式，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：B.二、選擇題：本題共2小題，每小題6分，共12分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選的得0分9.若集合A具有以下性質(zhì)：①集合中至少有兩個(gè)元素；②若，則xy，，且當(dāng)時(shí)，，則稱(chēng)集合A是“緊密集合”以下說(shuō)法正確的是（）A.整數(shù)集是“緊密集合”B.實(shí)數(shù)集是“緊密集合”C.“緊密集合”可以是有限集D.若集合A是“緊密集合”，且x，，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)“緊密集合”具有的性質(zhì)逐一排除即可.【詳解】A選項(xiàng)：若，，而，故整數(shù)集不是“緊密集合”，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：根據(jù)“緊密集合”的性質(zhì)，實(shí)數(shù)集是“緊密集合”，B正確；C選項(xiàng)：集合是“緊密集合”，故“緊密集合”可以是有限集，C正確；D選項(xiàng)：集合是“緊密集合”，當(dāng)，時(shí)，，D錯(cuò)誤．故選：BC.【點(diǎn)睛】新定義題目的關(guān)鍵在于正確理解定義，從題意入手.10.一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則稱(chēng)為的“倍跟隨區(qū)間”；若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，則稱(chēng)為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（）A.若為的跟隨區(qū)間，則B.函數(shù)存在跟隨區(qū)間C.若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則D.二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”【答案】ACD【解析】【分析】A，由已知可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而可以求解的值；B，假設(shè)存在跟隨區(qū)間，則根據(jù)跟隨區(qū)間條件求解，的值，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷；C，先設(shè)跟隨區(qū)間為，則根據(jù)跟隨區(qū)間滿(mǎn)足的條件建立方程組，找出，的關(guān)系，然后統(tǒng)一變量表示出，列出關(guān)于的關(guān)系式，利用方程思想求解的取值范圍，D，若存在3倍跟隨區(qū)間，則設(shè)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，由此建立方程組，再等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可以求解．【詳解】選項(xiàng)：由已知可得函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增，則有，解得或1（舍，所以，正確；選項(xiàng)：若存在跟隨區(qū)間，又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)區(qū)間上遞減，圖象如圖示，則區(qū)間一定是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即或,則有，解得，此時(shí)異號(hào)，故函數(shù)不存在跟隨區(qū)間，不正確；選項(xiàng)：由已知函數(shù)可得：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，若存在跟隨區(qū)間，則有，即，兩式作差得：，即，又，所以，得，所以，設(shè)，則，即在區(qū)間上有一個(gè)實(shí)數(shù)根，只需：，解得，正確；選項(xiàng)：若函數(shù)存在3倍跟隨區(qū)間，設(shè)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，解得或，故存在定義域?yàn)槭沟弥涤驗(yàn)椋_，故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)新的定義求解參數(shù)或者是判斷函數(shù)是否符合新定義，考查學(xué)生的理解新知識(shí)運(yùn)用新知識(shí)的能力，解答時(shí)要能根據(jù)新定義，靈活求解，綜合性較強(qiáng).三、填空題：本題共2小題，每小題4分，共8分.11.若二次函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn)，且，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由圖象過(guò)原點(diǎn)知二次函數(shù)解析式中不含常數(shù)項(xiàng)，即可設(shè)，寫(xiě)出，用表示出后可得出其范圍．【詳解】設(shè)，∵圖象過(guò)原點(diǎn)，∴，即，∴，，，∴，又，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，解題時(shí)需把作為一個(gè)整體，用它們表示出，然后再求取范圍，如果由，得出，，然后再求的范圍，就是錯(cuò)誤的．12.已知為上的奇函數(shù)，，若對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)易得，令并判斷其單調(diào)性、奇偶性，進(jìn)而求不等式的解集.詳解】由，得，因?yàn)椋?，所以，即，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，而，則，解得；因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，則為上的偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，而，則，解得；綜上，原不等式的解集為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共48分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.13.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則將原式轉(zhuǎn)化為即可求值；（2）利用立方和公式化簡(jiǎn)因式分解再求值.【詳解】（1）原式；（2）原式.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則求代數(shù)式的值，利用整體代換，涉及因式分解.14.已知函數(shù)，且.（1）求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可得答案；（2）利用在上是增函數(shù)可得答案.小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，即，所以；【小?wèn)2詳解】由于，所以其定義域?yàn)?，又在上是增函?shù)，由可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.15.設(shè)函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值；（2）若函數(shù)的最小值為，求．【答案】（1）最大值，最小值；（2）．【解析】【分析】（1）利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值和最小值；（2）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由此可得出的表達(dá)式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，其中，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，因此，，；?）二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn).①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，故；③當(dāng)，即時(shí)，.綜上，．16.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿(mǎn)足對(duì)任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．【答案】（1）0；（2）見(jiàn)解析；（3）【解析】【詳解】試題分析：（1）抽象函數(shù)求具體指，用賦值法；（2）根據(jù)定義求證函數(shù)的奇偶性找f(－x)和f(x)的關(guān)系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2?f(|x－1|)<f(16).再根據(jù)單調(diào)性列出不等式求解即可.(1)∵對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(3)依題設(shè)有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)偶函數(shù)，∴f(x－1)<2?f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范圍是{x|－15<x<17且x≠1}．17.某公司為調(diào)動(dòng)員工工作積極性擬制定以下獎(jiǎng)勵(lì)方案，要求獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，獎(jiǎng)金不超過(guò)90萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%.即假定獎(jiǎng)勵(lì)方案模擬函數(shù)為時(shí)，該公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：當(dāng)時(shí)，①是增函數(shù)；②恒成立；③恒成立.(1)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：①；②.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？(2)已知函數(shù)符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型要求，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)模型：②符合公司要求；(2)．【解析】【分析】(1)由判斷函數(shù)模型：①不符合條件③，故不符合公司要求；一一驗(yàn)證函數(shù)模型：②滿(mǎn)足題目給出的三個(gè)條件，說(shuō)明函數(shù)模型：②符合公司要求；(2)由說(shuō)明符合條件①，再求解基本不等式及基本不等式取最值時(shí)滿(mǎn)足的條件求出a滿(mǎn)足②③的范圍，取交集即可．【詳解】(1)對(duì)于函數(shù)模型：①，驗(yàn)證條件③：當(dāng)時(shí)而即不成立，故不符合公司要求；對(duì)于函數(shù)模型：②，當(dāng)時(shí)，條件①是增函數(shù)滿(mǎn)足；∴，滿(mǎn)足條件②；對(duì)于條件③：記則∵∴當(dāng)時(shí)，∴恒成立，即條件③也成立.故函數(shù)模型：②符合公司