【高考數(shù)學(xué) 特色題型匯編】第43講 立體幾何解答題-空間點(diǎn)、線段的存在性問題（原卷及答案）（新高考地區(qū)專用）高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

立體幾何解答題—空間點(diǎn)、線段的存在性問題

1.如圖，在三棱錐S-A8C中，SA=SB=SC,BC1AC.

(I)證明：平面MBJ■平面ABC；

(2)若3C=SC,SC1SA,試問在線段SC上是否存在點(diǎn)。，使直線8。與平面SAB所

成的角為60。，若存在，請求出。點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

2.如圖，在三棱錐P-ABC中ACJ.8C,平面E4CL平面ABC,PA=PC=AC=2fBC=4,

E,尸分別是PC,依的中點(diǎn)，記平面AE尸與平面48c的交線為直線/.

(1)求證：直線/_L平面PAC；

⑵若直線,上存在一點(diǎn)。(與3都在AC的同側(cè))，且直線也與直線所所成的角為j

求平面P8Q與平面A即所成的鏡二面角的余弦值.

3.如圖，在四棱錐P—A8C。中，腐J_平面ABC。，AD//BC,ADLCD.且AO=C。,

BC=2CD,PA=y/2AD.

(1)證明：ABIPCi

(2)在線段PO上是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M-AC-。的余弦值為遮，若存在，求

17

8M與PC所成角的余弦值；若不存在，請說明理由.

4.如圖，正方形A8CQ所在的平面與菱形/W即所在的平面互相垂直，_AEF為等達(dá)三

角形.

(I)求證：AE1CF；

(2)FP=2FC(O<A<1),是否存在丸，使得平面PAE一平面OCM,若存在，求出4的

值，若不存在，請說明理由.

5.已知四棱錐尸—A8CD的底面為直角梯形，AB//DC.^DAB=90,PA±ABCD,

1P

PA=AD=DC=-AB=\.Z

(1)若點(diǎn)M是棱心上的動點(diǎn)請判斷下列條件：①直線/'\

與平面A8c。所成角的正切值為，②緇=；中哪一個(gè)/\\

條件可以推斷出產(chǎn)。〃平面ACW(無需說明理由)，并'\

用你的選擇證明該結(jié)論；DL-------------c

⑵若點(diǎn)N為棱PC上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，試探究PC上是否存在一點(diǎn)N,使得平面ADN

PN

J.平面BDN?若存在，請求出"的值，若不存在，請說明理由.

6.如圖，多面體A/2JC3E中，AB上平面BCE,AB〃CD〃EF,

BEtEC,AB=4,EF=2,EC=2BE=4.

⑴在線段BC上是否存在一點(diǎn)G,使得EG7^?AFC?如果存在，請指出G點(diǎn)位置并

證明；如果不存在，請說明理由；

(2)當(dāng)三棱錐O-AFC的體積為8時(shí)，求平面AFD與與平面AFC夾角的余弦值.

7.如圖，四棱錐P-ABCO中，底面A8CO為平行四邊形，底面ABC。，M是棱P。

⑴求證：A8J_平面PAC：

⑵棱AB上是否存在一點(diǎn)M使得直線CN與平面M4/3所成角的余弦值為姮，若存在,

5

求A蕓N的值：若不存在，說明理由.

AB

8.直三棱柱4BC-A/4/C/中，ABLAC,RAC=AB=AA/=2.

(1)求證

(2)M、N分別為棱CC/、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段4/8/上，是否存在點(diǎn)P,使平面PMV

與平面A8C所成角的余弦值為上亙，若存在，試確定點(diǎn)尸的位置，若不存在，請說明

21

理由.

9.已知四棱錐P-ABCD中，底面48co是矩形，且A￡>=2AB,△E4。是

正三角形，CZ)_L平面%。，E、F、G、。分別是PC、PD、BC、AD

的中點(diǎn).

(1)求平面EPG與平面48CQ所成的銳二面角的大??；

⑵線段叫上是否存在點(diǎn)M,使得直線GM與平面EFG所成角的大小為3

O

PM

若存在，求出方的值；若不存在，說明理由.

10.《九章算術(shù)》是中國古代張蒼，耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中

最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時(shí)世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的

出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)?商功》篇中提到“陽馬”這一

幾何體，是指底面為矩形，有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，現(xiàn)有“陽馬”-ABCD,

底面為邊長為2的正方形，側(cè)棱24_1_面488,24=2,E、F為邊,BC、CO上的點(diǎn)，

⑴若4=(，證明：面P8M_L面附”；

⑵是否存在實(shí)數(shù)義，使二面角人所一A的大小為45?如果不存在，請說明理由；如

果存在，求此時(shí)直線8M與面包廠所成角的正弦值.

11.如圖，在五面體A8COE中，已知ACLBC,EO〃AC,且4C=8C=AE=2Er>=2,

⑴求證：平面3CD_L平面A8C；

⑵線段BC上是否存在點(diǎn)F,使得二面角8-AE-/的余弦值為若存在，求CF

3

的長度：若不存在，請說明理由.

12.如圖，在四棱錐S-ABCZ）中，已知四邊形A8CD為菱形，/皿＞=60°,一SAO為正

三角形，平面S4O_L平面A8CD.

（1）求二面角S-BC-A的大??；

⑵在線段SC（端點(diǎn)S,C除外）上是否存在一點(diǎn)M,使得A〃J_/3Q?若存在，指出點(diǎn)

歷的位置；若不存在，請說明理血

13.如圖，在四棱錐P—A8CD中，B4_L平面A8CQ,ADUBC,AD工CD,且人力二1,

(1)求證：AB1PC；

(2)在線段PO上是否存在一點(diǎn)M,使二面角M-AC-D的余弦值為逅？若存在，求三

6

棱錐M-ABC體積；若不存在，請說明理由.

14.圖1是直角梯形ABC。，AB//CD,ND=90,AB=2,DC=3,AD=BCE=2ED，

以比;為折痕將一BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)G的位置，且AG="，如圖2.

(1)求證：平面平面4BE。：

⑵在棱。G上是否存在點(diǎn)P,使得G到平面PBE的距啕為漁？若存在，求出二面角

P-8￡-A的大??；若不存在，說明理由.

15.如圖，在四棱錐P-A8CD中，PA1AD,AD=^BC=y/3,尸。=6，AD//BC,

AB=AC,NBA。=150，NPDA=3O".

(1)證明：平面P48_L平面A8C￡)；

(2)在線段尸。上是否存在一點(diǎn)F,使直線CF與平面?8c所成角的正弦值等于Y?

4

16.如圖，在直三棱柱ABC-ABG中，M,N分別是線段AB,4G的中點(diǎn).

⑴求證：MNJLAA：

(2)在線段8G上是否存在一點(diǎn)p使得平面〃平面A8C,若存在，指出點(diǎn)尸的具體

位置；若不存在，請說明理由.

17.如圖，在底面是菱形的四棱錐夕一ABC。中，NABC=60。,PA=AC=a,PB=PD

=O。，點(diǎn)、E在PD上,且PE=2ED.

(1)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使8尸〃平面AEC?如存在，求方;的值；如不存在,

請說明理由：

(2)求CE與平面PAC所成角的正弦值.

18.如圖，在四楂錐P-A8CD中，四邊形A8C。為平行四邊形，戶在平面A8CD的投

影為邊AD的中點(diǎn)O,乙44c=(,BC=4,AB=\,PO=3.

(1)求證：A3_L平面尸OC；

⑵在線段榜上，是否存在一點(diǎn)E,使得平面尸OC與平面EOC的夾角的余弦值為題,

10

若存在，指明點(diǎn)E的位置，若不存在，說明理由.

19.如圖，在正四棱錐S-ABC。中，AC0BD=O,SA=&AB，尸在側(cè)棱SO上，SDA.

平面PAC.

⑴求平面SA8與平面PAC所成的銳二面角的余弦值；

(2)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得4口/平面PAC?若存在，求SE-.EC的值;若不存在,

請說明理由.

20.在三棱柱ABC-48/C/中，四邊形A428由是菱形,ABJ_AC,平面A448_L平面A8C,

平面4小。與平面八小C的交線為/.

A

(1)證明：A33c；

⑵已知N/W8尸60。，AB=AC=2./上是否存在點(diǎn)P,使A/8與平面43P所成角為30。?若

存在，求8/P的長度；若不存在，說明理由.

21.如圖，在多面體ABCDEF中,底面ABC。是平行四邊形，點(diǎn)G在AC上且|AG|=2|GC|,

Af_L平面ABC。，且工廠〃CE,|4F|=2|CE).

(I)若〃為線段。E的中點(diǎn)，證明：C”〃平面產(chǎn)GO；

(2)若底面ABC。是正方形且|AC=|A可，線段石。上是否存在點(diǎn)兒使得直線。，與平

面ME所成角的正弦值為呼，若存在，求瑞的值，若不存在，請說明理由.

22.如圖所示，在四棱錐尸-ABC。中，8C〃平面外Z),BC=^-AD,E'是尸。的中點(diǎn).

⑴求證：CE//平面以8；

(2)若M是線段CE上一動點(diǎn)，則線段AD上是否存在點(diǎn)N,使MN//平面辦B?說明理

由.

23.如圖，一張邊長為4的正方形紙片ABC。，E,尸分別是A。，BC的中點(diǎn)，將正方

形紙片沿七尸對折后豎立在水平的桌面上.

(1)求證：EF±AD；

(2)若二面角A-口-。的平面角為45。，K是線段。尸(含端點(diǎn))上一點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)

K,使得直線AK與平面CQ￡”所成角的正切值為g?若存在，求出CK的長度；若不存

在，說明理由.

24.在四棱錐尸一A8CO中，底面A8CQ為直角梯形，AD//BC,44叱=90°,Q為4。

的中點(diǎn)，△小￡)是邊長為2的正三角形，BC=1,CD=6,PB=巫.

(1)求證：平面E4DJ?底面A8CO：

⑵棱PC上是否存在點(diǎn)使二面角用-8Q-C的大小為30?若存在，確定點(diǎn)M的

位置；若不存在，說明理由.

25.如圖，在多面體ABCDMN中，四邊形A8CO為直角梯形，ABC。，卜邳=2&,

BC±DC,\HC\=\DC\=\AM\=\DM\=42f四邊形為矩形.

(1)求證：平面4)M_L平面A8c。；

(2)線段MN上是否存在點(diǎn)”，使得二面角〃一4)-加的余弦值為土叵？若不存在，請

說明理由.若存在，確定點(diǎn)〃的位置并加以證明.

26.如圖，在四棱錐尸-A8CO中，24_1_面48。。，

AD工CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點(diǎn)、，點(diǎn)、F在PC上,且二=L

PC3

⑴求證：COJ?面PAO；

(2)求二面角尸—AE—尸的正弦值；

⑶設(shè)點(diǎn)G在P8上，且黑=%.判斷是否存在這樣的尤，使得A,E,F,G四點(diǎn)共面,

若存在，求出義的值；若不存在，說明理由.

27.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面A8CO為矩形，必_1_平面4?。，|叫=|陰.

⑴若以A。為直徑的圓與8C相切于E點(diǎn)，求正與平面A8C。所成角的正弦值；

(2)^\AB\=^\AD\,在線段8c上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角A-H)-石的余弦值為

史,若存在，求二面角A-OE-P的正切值；若不存在，說明理由.

6

28.已知圓柱0Q的底面半徑為1,高為乃，A8CD是圓柱的一個(gè)軸截面.一動點(diǎn)從點(diǎn)8

出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到之點(diǎn)O,其距離最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線「如圖所示.將軸截面

A8CD繞著軸()(\逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6(0＜。＜乃)后，邊叫G與曲線「相交于點(diǎn)尸.

(I)當(dāng)夕=1時(shí)，證明：平面平面ABC。；

(2)是否存在。，使得二面角。―A/3—0的大小為JTT?若存在，求出線段3夕的長度；若

4

不存在，請說明理血

29.如圖，在四棱錐尸-A8C。中，底面A8CO為直柏梯形，ADLCDtAD//BC,

BC=gAO=l且。。=3，E為AO的中點(diǎn)，尸是棱粗的中點(diǎn)，PA=2,0￡_L底面

ABCD.

(1)證明：BF〃平面PCD；

⑵在線段PC(不含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)使得直線8M和平面8。廠所成角的正

弦值為包？若存在，求出此時(shí)尸M的長；若不存在，說明理由.

13

30.已知四邊形43co為平行四邊形，E為CO的中點(diǎn)，AB=4,二ADE為等邊三角形,

將三角形4DE沿AE折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且平面A尸E_L平面A4CE.

(1)求證：APIBE；

⑵試判斷在線段P4上是否存在點(diǎn)F,使得平面AE尸與平面AEP的夾角為45。.若存在,

試確定點(diǎn)廠的位置；若不存在，請說明理由.

31.如圖，在三棱柱—中，&A=qC,A4,=13,A8=8,8c=6,ABVBC,

。為AC中點(diǎn)，tanNBBQ=2.

⑵線段5G上是否存在一點(diǎn)E,使得4E與面BCCR的夾角的正弦值為吆色？若存在,

185

求出石點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

32.已知△A8C是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)M,N分別是邊48,AC的三等分點(diǎn)，且

AM=；AB,CN=；CA,沿MN將△AMN折起到△/'MN的位置，使ZA'M8=90。.

⑴求證：AMJ_平面M8CN；

⑵在線段BC上是否存在點(diǎn)D,使平面4ND與平面WM8所成銳二面角的余弦值為叵?

13

若存在，設(shè)8。=23c(A>0),求2的值；若不存在，說明理由.

33.如圖，四邊形ABCD為梯形，AB//CD,ZC=60°,CD=2CB=448=4,點(diǎn)E在

線段CD上，旦BE_LCD.現(xiàn)將-ADE沿AE翻折到94￡的位置，使得PC=麗.

(1)證明：AE1PB；

⑵點(diǎn)M是線段在:上的一點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，是否存在點(diǎn)“，使得二面角P-8C-M的

余弦值為如？若存在，則求出要；若不存在，請說明理由.

3PE

34.如圖，在四棱錐尸-A8CO中，底面ABCO為直角梯形，其中A力〃AC,AD=3,

AB=BC=2,PAJ_平面ABC。，且PA=3,點(diǎn)M在棱PD上，點(diǎn)N為8c中點(diǎn).

(1)證明：若DM=2MP,直線MN〃平面用仍；

(2)求二面角C-PZ)-N的正弦值：

⑶是否存在點(diǎn)使NM與平面PCO所成角的正弦值為理？若存在求出黑值：若

6PD

不存在，說明理由.

35.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，平面ABCJ?側(cè)面A84A，且AA=A8=2.

(1)求證：ABLBC,

(2)若直線AC與平面A8C所成的角為請問在線段A。上是否存在點(diǎn)E,使得二面

6

角A-8E-C的大小為斗，若存在請求出E的位置，不存在請說明理由.

參考答案:

1.(1)證明見解析

(2)不存在，理由見解析

【分析】(I)先證線面垂直，再證明面面垂直即可；

(2)先假設(shè)存在點(diǎn)。，使直線8。與平面”8所成的角為60。，然后建立空間直角坐標(biāo)系,

求出相關(guān)向量，再用夾角公式計(jì)算即可求解.

(1)

法一

證明：取A8的中點(diǎn)￡連接SECE,?:SA=SB,：,SE1AB,

因?yàn)?CJL4C所以三角形ACB為直角三角形，所以BE=EC

乂BS=SC所以ASECg△SEA所以NSEB=ZSEC=90。所以跖_LEC

又SE_LA8,ABcCE=E,二.SE_L平面ABC.

又SEu平面SAB,，平面S48_L平面A8c

法二、作SE_L平面/WC,連￡A,EC,EB,EA,EC,￡4都在平面A4C內(nèi)

所以SE_LE4,SELEC,SELEB

又SA=SB=SC所以EA=EC=EB

因?yàn)?C_LAC所以三角形ACB為直角三角形，所以E為4B的中點(diǎn)

則SEu平面S4凡???平面SA8,平面4BC.

⑵

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行AC的直線為x軸，平行8C的直線為y軸,

ES為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)AS=S4=SC=2,

SC_LS4,則AC=2拉，BC=SC=2知EC=2也,SE=1

則4-應(yīng),1,0),網(wǎng)屈-1,0),C(V2,l,0),￡(0,0,0),5(0,0,1),

???43=(2夜,一2,0),5A=(-V2J,-l),

設(shè)。(x,y,z),CD=ACS(0<Z^l),則1一血,/一1;)=4卜血,一11),

-041—4/1),BD=(-^2,2-2,/l).

設(shè)平面SAB的一個(gè)法向量為n=&,x,z,)

”?人8=2口-2y=0

取再=1,得、=(l,&,0),

nSA=-2忘%1+y-Z|=0

n-BD即-2何

sin60°=—r----~~Tf

n\\BD、國2萬+(2一"+筋

得舒+72+1=0,又〈OWK,方程無解,

???不存在點(diǎn)D,使直線BD與平面SAB所成的角為60°

2.(1)證明見解析

⑵竿

【分析】(1)先證明8C〃/,再證明8cL平面PAC,從而得到/I平面PAC；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，然后再求出相關(guān)平面的法向量，最后用夾角公式計(jì)算即可.

(1)

證明：:石，/分別是/>6,PC的中點(diǎn)，???8C〃EE,

又￡Fu平面EE4,8CU平面石勿，

〃平面石石4,又6Cu平面A6C,平面小4c平面A8C=/,/.BC//1,

又8CJLAC,平面尸AC1平面ABC=AC,平面尸AC_L平面ABC,

???8。1平面尸人。，則/3.平面產(chǎn)〃?.

⑵

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，。為無軸正方向，C3為y軸正方向，過C垂直于平面A8C的宜線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系C-,

由題意得：^(2,0,0),鳳0,4,0),P(l,O,>/3),E；,0,當(dāng)

“=(0,2,0),設(shè)Q(2,y,0),則PQ=(1,)，,一百).

3=也

依題意可得:cos(PQ-EF)|=」空1—=,即：y=±2

4+y2

又。與8都在AC的同側(cè),所以》=2,即。與2,0)

于是：產(chǎn)°=(12-百)，BQ=(2,—2,0)

設(shè)平面PBQ的法向量為〃=(.%,%,z())

PQ〃=0

則憶猿尸，—=似⑹

BQn=0

再設(shè)平面AEF的法向量為〃z=(x,y,z)?

AEm=-—x+—z=0值rr九八Q

則J22，取z=Ji，得"i=(l,0"3)

EF-tn=2y=0

于是辰二|巖卜竽

所以平面P8。與平面AM所成的銳二面角的余弦值為孚.

3.(1)證明見解析

(2)存在，且與PC所成角的余弦值為叵

【分析】(1)連接AC,證明出A8L平面P4C,利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A3、AC、AP所在直線分別為x、)，、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)其中0W7W1,利用空間向?qū)彿傻贸鲫P(guān)于4的等式，求出入的值，可得出

BM的坐標(biāo)，再利用空間向量法可求得與PC所成角的余弦值.

(1)

證明：連接AC，設(shè)AO=C/)=1,

因?yàn)榘?。_LC。，則==及，且AACO為等腰直角三角形，

因?yàn)榘薟/9C,貝|JN4C"_NC>W_45，

因?yàn)?c=28=2,由余弦定理可得A82=AC2+3C2_2AC8CCOS45=2,

所以，AC2+AB2=BC2?則A8_LAC,

?.?姑_L平面A8CD,AB\平面A8CD,:.AB±PA,

QPA\AC=At.?.人〃_1平面以。，,?。。匚平面"。，「.43_1.尸。

（2）

解：因?yàn)椤?_L平面A8cO,ABA.AC,

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AC、所在直線分別為x、丁、z軸建立如下圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

SAD=CD=1,則A（0,Q0）、5（瓶,0,0）、C（0,6。）、D-冬冬0、尸（0,0,&）,

\/

設(shè)PM=/IPQ=（-爭，爭,-&）,其中0W4W1,

則AA/=AP+PM=（-*/l,q%,a-VLi,AC=（0,72,0）,

設(shè)平面ACM的法向量為m=（x,y,z），

m-AC=\[ly=0

則，J?x/2it-i-\，取x=2-22,可得根=（2-2>1,0,丸），

m-AM=—^-/ix+-^-y+^V2-v22jz=0

易知平面AC3的一個(gè)法向量為〃=(0,0,1),

由題意可得卜os〈機(jī)，〃>卜A

m-n^4(l-2)2+2

止匕時(shí)，/1加=(—4，4，言

因?yàn)?W/IW1,解得2=5

6bd

花=(0,?/,

kBMPCIV33

匚u?、?cos<BDMW,PC>=---r-j-7=—7=—=-----

所以，|BM|-|PC|而X222,

3X

因此,在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角M-AC-。的余弦值為姮，且8M與PC

17

所成角的余弦值為恒.

22

4.(1)證明見解析

3

(2)存在，2=-

O

【分析】(1)要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，證明平面

(2)以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面小E和平面OCE/7的法向量，利用法

向量的數(shù)量積為0,即可求解.

(1)

連接班'交AE于。，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危訟E_LB/，

又正方形A8CO所在的平面1平面且平面A8CZ)】平面A8E產(chǎn)=

因?yàn)锳CLAft,所以AC1平面所以AC_LAE.

又BFr\BC=B,所以AE_L平面40,

因?yàn)閎u平面3b,所以AE_LC/；

(2)

存在.以。為原點(diǎn)，OF，?！?的方向?yàn)閤軸，)'軸,

過點(diǎn)0作菱形/W即所在的平面的垂線為Z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-X*,

則A(0,—l,0),F(x/3,O,O),E(OJ,O),。(0,-1,2),

因?yàn)镕P=4FC，設(shè)點(diǎn)

則-G,y,z)=A(-2V5,0,2),所以點(diǎn)尸(6-2VL1,(),22),

AP=(75-2V3A,1,2/1),AE=(0,2,0),設(shè)平面以E的法向量為〃2=(X,y,z),

in-AP=0221

則有可得in=/一

m-AE=02732->/32

DF=(V3,U-2),FE=(-X/3J,0),

設(shè)平面DCEF的法向量為〃=(x,y,z),

n-DF=0

則有可得〃=(g,3,3卜

n-FE=0

3

由〃z-/?=0可得4=7.

o

當(dāng)％=g時(shí)，AP=(0,1,1),AE=(0,2,0),m=(x,y,z),

，［:0,令x=l,則法向量"7=(1,0.0),

則

y=U

此時(shí)/〃?〃w0,

綜上可知：4=］成立.

8

5.（1）②，證明見解析

PN

（2）存在，—=1

【分析】（1）先連接AB、CD交于E,確定石是8。的幾等分點(diǎn)，再確定“是陽的幾等分

點(diǎn).

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，平面垂直，對應(yīng)法向量垂直，數(shù)量積為0,列出方程求解.

空=空="乂因?yàn)橐?空=《，所以BME.、BPD,故EM//PD,乂PDQ平面ACM,

BEAri2MDDE2

PM1

￡Mu平面ACM,所以P。//平面ACM.故當(dāng)——=T寸，平面ACM.

MB2

（2）以A為原點(diǎn)，AD,AB,AP分別為x軸，），軸，z軸建立如圖所示坐標(biāo)系,

則40,0,0),0(1,0,0),P(0,0,

i),C(l,1,0),8(0,2,0),設(shè)PN=2PC(0</i<l),則k對于平面/ION,設(shè)其法

向量m=(x,y,z),滿足〈墨"?，即"】「八八n,故取加=(。,與乙)對于平面

AN-n}=0[Ax+2y+(l-A)z=02

BD-H-y=0x—"2y=0

BDN，設(shè)其法向量〃2=("z),滿足鼠10,即%—+(T)z="故取

小=(2J”)，若平面ADN_L平面8QN,則mIw即與+合=。，解得入二,此時(shí)

X—1AX—I2

N為PC的中點(diǎn)，今PN=1.

6.(1)存在，BC的中點(diǎn)G,證明見解析；

釁

【分析】(I)先找到G點(diǎn)位置，由面面平行證明線面平行；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由體枳求解邊長，用空間向量求解二面角.

(1)

存在，點(diǎn)G為8C中點(diǎn)，理由如下：

取線段A8的中點(diǎn)“，連接E"、HG、EG.

D

,:AH〃EF、AH=EF=2,

???四邊形尸是平行四邊形，??.”￡〃A尸.

又???4戶u平面ART,平面AFC,

:.”E〃平面AFC.

,:H、G分別為A5、BC的中點(diǎn),

??.”G是,A8C的中位線，??.”G〃AC.

???4Cu平面AbC,”G(z平面

??.”G〃平面AFC.

.：HGcHE=H,HG、HEu平面EHG,

???平面石"G〃平面AFC

,/EG「平面EHG,

:.EG〃平面ART.

(2)

=

由％-AFC=匕-Fa產(chǎn)^B-FCD~^B-ECD7'ECCD,BE-8,

可得8=6

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EC、E8、E廠的正方向?yàn)閤、)'、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系.

由題可知，40,2,4),廣(0,0,2),C(4,0,0),。4,0,6),

設(shè)平面AFC的一個(gè)法向量為m=(x,,X,4)

E4=(0,2,2),FC=(4,0,-2)

2y\+2Z[=0

則可以取力=(1,一2⑵

4x)-2Z]=0

設(shè)平面AFD的一個(gè)法向量為〃=(彳2,%，z?)

曰=(0,2,2),尸0=(4,0,4)

2y2+2z2=0

則,可以取〃=(1』,-1)

4X2+4Z2=0

設(shè)平面ATO與平面AFC夾角為9.

則cos。=|COS(ZH,n)|=H_6,

l〃lH川3

???平面詆與平面AFC夾角的余弦值為由.

3

7.(1)證明見解析

AN_1

(2)存在,

~AB~2

【分析】(1)直接利用線面垂直的判定定理證明即可；(2)以人為原點(diǎn)，所在

直線分別為x，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和NC的坐標(biāo)，由線面

角可得點(diǎn)N坐標(biāo)，從而可得比值.

(I)

因?yàn)樵贏8C中，A8=AC=1,8C=&,所以4c?=AB?+AC?,

所以A8_LAC.又因?yàn)镻A_L底面ABC。,ABu底面A8CZ),所以

因?yàn)锳CO%=AAC,PAc平面PAC,所以AB_L平面PAC.

(2)

如圖以A為原點(diǎn)，4氏AC,4P所在直線分別為-y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),P(0,0,1),8(1,00),C(0,1,0),。(一1,1,0).

因?yàn)镸是棱加的中點(diǎn),所似M1另所以11l|,A?=(l,0,0).

222)

設(shè)〃=(x,)，,z)為平面M43的法向量,

11.I_

n-AM=0—x+v+—z=Un

所以，即22-2,所以平面M4B的法向量〃=(0」,T).

n-AB=0

x=0

因?yàn)镹是棱A4上一點(diǎn)，所以設(shè)N(x,0,0),04x41,瓶=(-x,1,0).

設(shè)直線CN與平面M4A所成角為a,因?yàn)?$。=巫，所以sina=巫.

55

n-NC

因?yàn)槠矫尕?8的法向量"=(。，1,-1)2而。=//^

\/2x\]x'+15

解得x=：,即4N=!，所以￡=：.

22AB2

8.(1)證明見解析

(2)不存在；理由見解析

【分析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量入反5c的坐標(biāo),

由數(shù)量積為。證明直線垂直；

(2)假設(shè)存在，設(shè)=4=2(200)=(240,0),0W/IW1,求出兩個(gè)平面法向量，由

法向量夾角得二面角，從而求解4,有解則存在，無解，則不存在.

(1)

如圖，以AB,AC,AA/為x,)，，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),8(2,0,0),

A(0,0,2),B|(2,0,2),C(0.2,0),

A8=(2,0,-2)，4C=(-2,2,-2),

4a4。=-4+0+4=0,所以AA_L4C,即A8_L〃C，

(2)

假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題意,

設(shè)40二義4線=2(2,0,0)=(22,0.0),0W/IW1

???夕(2幾，0,2),Ml，1，0)，”(0，2,I)

NP=(2/l-l,-l,2),MW=(-1,1,1)

設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

N尸〃=0un|(2/l-l)x-y+2z=6

,即"八令x=3,得科二(3,24+1,2—22)

NM=0(-x+y+z=0

UU

乂平面46c的一個(gè)法向量為4二(0,0,I)

-1A2k_________|2_2川_________2-2-_4際

cos<n}J%>

匐同^9+(2A+l)2+(2-2A)2V/12-4X+1421

工11萬+264+35=0,又/<0,故方程無根,

所以線段的上不存在點(diǎn)P，使平面PMN與平面的所成角的余弦值為蜉.

9.⑴日

PM3-V5

(2)存在,

~PA~4

【分析】(1)證明出QO_L平面A8CQ,OG1AD,設(shè)A8=2,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4、

0G、。戶所在宜線分別為文、>\z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得結(jié)果；

IILIUUU

(2)設(shè)PM-4PA,其中OWiWl,利用空間向量法可得出關(guān)于；.的方程，結(jié)合可

求得2的值，即可得出結(jié):侖.

(1)

解：因?yàn)椤鱍AO是正三角形，。為4。的中點(diǎn)，所以，POA.AD,

因?yàn)镃O_L平面E4。，POu平面PAD,/.POLCD,

QAD?CD力，..POJ.平面ABC。,

因?yàn)锳D//BC且AO=3C,0、G分別為A。、BC的中點(diǎn)，所以，AO〃BG且4O=BG,

所以，四邊形/WGO為平行四邊形，所以，OG〃AB,〈AB1AD,則OGJ.AQ,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04、0G、。。所在直線分別為％、V、z釉建立如下圖所示的空間直

角坐標(biāo)系,

設(shè)A8=2,則AO=4,A（2,0,（））、G（0,2,0）、。（一2,0,0）、C（—2,2,0）、P（0,0,2x/3）.

4-1,1,9、川―1,0,百j,

￡F=（0,-l,0）,EG=（l,l->/3）,

n-EF=-y=0

設(shè)平面KFG的法向量為4=(蒼y,z),則

n-EG=x+y--0

取x=JL可得〃=(6,0,1),易知平面ABC￡＞的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),

mn_1

所以，cos<m,n>=

\m\]n\2'

因此，平面￡"G與平面48co所成的銳二面角為

J

（2）

解：假設(shè)線段Q4上是否存在點(diǎn)M,使得直線GM與平面EFG所成角的大小為%

O

設(shè)PM=4PA=/l（2。-2@=（240,-2&）,其中0W2W1,

GM-GP+PM-（0,-2,26）+（22,0,—2恁）-（22,—2,2g-2&）,

由題意可得卜os<七GM>|=_________2y/3____」

仲皿2^4A2+4+12（l-2）25

整理可得4萬一64+1=0,因?yàn)?W4W1,解得九二三更.

4

因此，在線段附上是否存在點(diǎn)使得直線GM與平面EFG所成角的大小為且

6

PM3-75

~PA~~4-,

10.(1)證明見解析;

(2)存在;1=2—夜：—.

【分析】(1)證明面面垂直即證3M，面24￡線面垂直，證明線面垂直即證尸、

線線垂直；

(2)首先利用二面角人即一人的大小為45,求出C/、CE的長，然后建立空間直角坐標(biāo)

系，求平面的法向量，然后再求其線面角.

(1)

4=:時(shí)，點(diǎn)E、/為BC及CO的中點(diǎn).

連接"與8M交于點(diǎn)G,

在LABM和AZMF中，AB=AD,AM=DF,ZBAM=ZADF=90°

所以..ABMm.AA/，于是NABM=NE4T>.

而NE4O+N8A/=90。

所以ZA8W+ABAF=90°

故Z4G8=90。，即

又抬L面八BCO,BWu面ABCD,

所以.

因?yàn)?M_LP4,BMA.AF,R4u面RAF,A/u面24尸，PAr>AF=A

所以AW_L面24/.

又因?yàn)锽Wu面PHM,所以面28用_1_面~4尸.

(2)

連接AC,交EF于點(diǎn)、Q,連接PQ,記8。與AC交于點(diǎn)。，如圖：

因?yàn)镃E=2C8，CF=ACD,

所以EF//BD,

因?yàn)榘薈_L8O,

所以人CIEF從而PQtEF.

所以乙4。尸為二面角p-￡廠一A的一個(gè)平面角.

由題意，4QP=45。，從而AQ=R4=2,

所以CQ=2虛-2

于是八笠二/=卒=2-技

CBCOV2

所以CF=CE=4-，BE=DF=2&-2.

如圖，以A8方向?yàn)閤軸，A。方向?yàn)閥軸，AP方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系，.

于是尸(0,0,2),￡(2,272-2,0),尸(2點(diǎn)一2,2,0),8(200),M(0,1,0),

=(-2,1,0),PE=(C,2亞-2,-2),PF=(2>/2-2,2,-2),

設(shè)面PEF的一個(gè)法向量是〃=(x,y,z)

〃?PE=2x+(2&-2)y-2z=0x=y

由.=,，得：h

/?-PF=(2V2-2)x+2y-2z=0[z=sj2x

取4=1,則y=i,z=?,則〃=(1,1,應(yīng)).

所以直線與面莊戶所成角為仇則

sin0-cos(?,BA/)1=J：1--2+1_立

':刷叫V4xV5-io.

11.(1)證明見解析

⑵存在，CF=^

【分析】（1）證面面垂直，先證其中一個(gè)平面內(nèi)的直線AC垂直另一個(gè)平面8CQ；

（2）由第?問結(jié)論，建立合適的坐標(biāo)系，用空間向量求解即可.

（1）

取AC中點(diǎn)G,連接EG,因?yàn)镋D〃4C,CG=[AC=EO,

所以EG”?。，所以四邊形EOCG為平行四邊形，所以EG=AC=

又因?yàn)锳G=：AC=I,AE=2,所以472+反72=八爐，所以4G_LEG,

又因?yàn)镃O〃EG,所以AC_LCO.

因?yàn)锳C_L8C,BC,CO是平面4co內(nèi)的兩條相交直線.所以AC_L平面8cO,

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以平面ABC_L平面BCD

(2)

解法一:

在平面BCD內(nèi)過點(diǎn)C作BC的垂線/,因?yàn)锳C_L平面BCD,

所以/、CA,CB兩兩相互垂直，故以C為坐標(biāo)原點(diǎn).

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A（2,0,0）,8（020）,D（0,l,V2）,E（1,1,V2）,

設(shè)在線段4C上存在點(diǎn)F(DxO)(O</<2),使二面角3-A￡—尸的余弦值為半，

則==(-2,2,0),AF=(-2,/.O)

設(shè)平面AEF的法向量4二(5,X,4).

則【第"7即卜"伍”不妨令y=2,則』=’，】&z,所以

1

[AF-ny=0-2百+第=02

「何”2)1

仆=1，2,--一.

設(shè)平面AA打的一個(gè)法向量為4=(.r,,>2?22),

則卜口〃2=+%+任2=°,即卜9+%+顯2=。

AB?坦=一2占+2y2=0'-2X2+2y2=0

不妨令電=1，%印，Z2=°?所以%=(11,0)

"2|2五

（

所以I|cos'/w“7=1同J"；?同=

萬12+22+任/

2

化簡得：15產(chǎn)—68，+60=0,解得，=4或與（舍去），故尸（0，*。），所以C/

所以存在點(diǎn)F,當(dāng)C尸=$時(shí)，二面角K-AE-尸的余弦值為這.

53

解法二:

取8CMB的中點(diǎn)0、〃，連接0D,0H,

因?yàn)镺8=￡>C,。是8。中點(diǎn)，所以DO_L8C,

又因?yàn)閆X）u平面8CZ）,平面ABC_L平面8C。且交于8C,所以DOJ■平面A8C,

因?yàn)椤笆侵悬c(diǎn)，即O〃〃AC,所以O(shè)〃_L8C,

故。。，OH,8c兩兩互相垂直,

則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH，（）B，0D'為x,y,z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（2,—l,0）,8（01,0）,D（0,0,V2）,￡（1,0,弦）.

設(shè)在線段3c上存在點(diǎn)，'（0,￡,0）（-1<^<1）,使二面用3—AE—尸的余弦值為半,

則AE=（-1,1,夜），/tB=（-2,2,0）,4F=（-2j+l,0）.

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為〃1=（X,y,zj,

則A屬Etl=30叫不妨令…則…「廣中’所以

2

又因?yàn)镋O〃，4C,OH//-AC,所以O(shè)H〃DE,所以四邊形OE”O(jiān)為平行四邊形，

=2=2=

因?yàn)镈O_L平面ABC,所以K”_L平面ABC,

因?yàn)镃”u平面48C,所以EHLCH,又因?yàn)锳C=B