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文檔簡介
湖北省武漢市常青第一中學2025屆高三(最后沖刺)數(shù)學試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,且,則的值為()A. B. C. D.2.已知定點都在平面內(nèi),定點是內(nèi)異于的動點,且,那么動點在平面內(nèi)的軌跡是()A.圓,但要去掉兩個點 B.橢圓,但要去掉兩個點C.雙曲線,但要去掉兩個點 D.拋物線,但要去掉兩個點3.已知六棱錐各頂點都在同一個球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.4.△ABC中,AB=3,,AC=4,則△ABC的面積是()A. B. C.3 D.5.半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接正三棱柱,則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為()A. B. C. D.6.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B.C. D.7.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)是偶函數(shù),則實數(shù)的最小值是()A. B. C. D.8.已知,,且是的充分不必要條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是(1)對于命題使得,則都有;(2)已知,則(3)已知回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),則回歸直線方程為;(4)“”是“”的充分不必要條件.A.1 B.2 C.3 D.410.設(shè)拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A. B. C. D.11.已知拋物線和點,直線與拋物線交于不同兩點,,直線與拋物線交于另一點.給出以下判斷:①直線與直線的斜率乘積為;②軸;③以為直徑的圓與拋物線準線相切.其中,所有正確判斷的序號是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③12.中國古代用算籌來進行記數(shù),算籌的擺放形式有縱橫兩種形式(如圖所示),表示一個多位數(shù)時,像阿拉伯記數(shù)一樣,把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,其中個位、百位、方位……用縱式表示,十位、千位、十萬位……用橫式表示,則56846可用算籌表示為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,且,則實數(shù)的值是__________.14.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項積為,,(且),則__________.15.已知,,其中,為正的常數(shù),且,則的值為_______.16.設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且.(1)求;(2)若的面積為,,求的周長.18.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,∥,為等邊三角形,平面底面,為的中點.(1)求證:平面平面;(2)點在線段上,且,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19.(12分)已知橢圓的中心在坐標原點,其短半軸長為,一個焦點坐標為,點在橢圓上,點在直線上的點,且.證明:直線與圓相切;求面積的最小值.20.(12分)已知a,b∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=(I)若b=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間:(II)當x∈[0,+∞)時,f(x)的最小值為0,求a+5b的最大值.注:21.(12分)某公司為了鼓勵運動提高所有用戶的身體素質(zhì),特推出一款運動計步數(shù)的軟件,所有用戶都可以通過每天累計的步數(shù)瓜分紅包,大大增加了用戶走步的積極性,所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”,統(tǒng)計了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù),規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運動達人”,步數(shù)在8000以下的為“非運動達人”,采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個用戶,得到如下列聯(lián)表:運動達人非運動達人總計男3560女26總計100(1)(i)將列聯(lián)表補充完整;(ii)據(jù)此列聯(lián)表判斷,能否有的把握認為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”?(2)將頻率視作概率,從該公司的所有人“運動達人”中任意抽取3個用戶,求抽取的用戶中女用戶人數(shù)的分布列及期望.附:22.(10分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)當時,證明:對任意恒成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
由及得到、,進一步得到,再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為,所以,又,所以,,所以.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應用,考查學生的基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.2、A【解析】
根據(jù)題意可得,即知C在以AB為直徑的圓上.【詳解】,,,又,,平面,又平面,故在以為直徑的圓上,又是內(nèi)異于的動點,所以的軌跡是圓,但要去掉兩個點A,B故選:A【點睛】本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定,圓的性質(zhì),軌跡問題,屬于中檔題.3、D【解析】
由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結(jié)合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因為,所以,設(shè)外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的表面積的計算,其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練應用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計算能力,屬于中檔試題.4、A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面積.故選:A【點睛】本題主要考查了余弦定理的應用,三角形的面積公式,考查了學生的運算求解能力.5、B【解析】
設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為,底面邊長與高分別為,利用,可得,進一步得到側(cè)面積,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為,底面邊長與高分別為,則,在中,,化為,,,當且僅當時取等號,此時.故選:B.【點睛】本題考查正三棱柱與球的切接問題,涉及到基本不等式求最值,考查學生的計算能力,是一道中檔題.6、A【解析】
首先判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得;【詳解】解:依題意,,故函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,排除C;而,排除B;,排除D.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別,函數(shù)的奇偶性的應用,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
先求出的解析式,再求出的解析式,根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性可求實數(shù)滿足的等式,從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)解析式為,故.令,,解得,.因為為偶函數(shù),故直線為其圖象的對稱軸,令,,故,,因為,故,當時,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì),注意平移變換是對自變量做加減,比如把的圖象向右平移1個單位后,得到的圖象對應的解析式為,另外,如果為正弦型函數(shù)圖象的對稱軸,則有,本題屬于中檔題.8、D【解析】
“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”,即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知:可化簡為,,所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集,所以.【點睛】利用原命題與其逆否命題的等價性,對是的充分不必要條件進行命題轉(zhuǎn)換,使問題易于求解.9、C【解析】
由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,即可判定是正確的;(2)中,根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì),即可判定是正確的;(3)中,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程,即可判定是正確;(4)中,基本不等式和充要條件的判定方法,即可判定.【詳解】由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,可知命題使得,則都有,是錯誤的;(2)中,已知,正態(tài)分布曲線的性質(zhì),可知其對稱軸的方程為,所以是正確的;(3)中,回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程,可得回歸直線方程為是正確;(4)中,當時,可得成立,當時,只需滿足,所以“”是“”成立的充分不必要條件.【點睛】本題主要考查了命題的真假判定及應用,其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì),以及基本不等式的應用等知識點的應用,逐項判定是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由圓過原點,知中有一點與原點重合,作出圖形,由,,得,從而直線傾斜角為,寫出點坐標,代入拋物線方程求出參數(shù),可得點坐標,從而得三角形面積.【詳解】由題意圓過原點,所以原點是圓與拋物線的一個交點,不妨設(shè)為,如圖,由于,,∴,∴,,∴點坐標為,代入拋物線方程得,,∴,.故選:B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題,解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點,從而是等腰直角三角形,于是可得點坐標,問題可解,如果僅從方程組角度研究兩曲線交點,恐怕難度會大大增加,甚至沒法求解.11、B【解析】
由題意,可設(shè)直線的方程為,利用韋達定理判斷第一個結(jié)論;將代入拋物線的方程可得,,從而,,進而判斷第二個結(jié)論;設(shè)為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設(shè),到準線的距離分別為,,的半徑為,點到準線的距離為,顯然,,三點不共線,進而判斷第三個結(jié)論.【詳解】解:由題意,可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點,的坐標分別為,,則,.所.則直線與直線的斜率乘積為.所以①正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,,根據(jù)拋物線的對稱性可知,,兩點關(guān)于軸對稱,所以直線軸.所以②正確.如圖,設(shè)為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設(shè),到準線的距離分別為,,的半徑為,點到準線的距離為,顯然,,三點不共線,則.所以③不正確.故選:B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.12、B【解析】
根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對應的算籌即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意可得,各個數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個位,百位,萬位用縱式表示;十位,千位,十萬位用橫式表示,用算籌表示應為:縱5橫6縱8橫4縱6,從題目中所給出的信息找出對應算籌表示為中的.故選:.【點睛】本題主要考查學生的合情推理與演繹推理,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】∵=(1,2),=(x,1),則=+2=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4),=2﹣=2(1,2)﹣(x,1)=(2﹣x,3),∵∴3(1+2x)﹣4(2﹣x)=1,解得:x=.點睛:由向量的數(shù)乘和坐標加減法運算求得,然后利用向量共線的坐標表示列式求解x的值.若=(a1,a2),=(b1,b2),則⊥?a1a2+b1b2=1,∥?a1b2﹣a2b1=1.14、【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,進而求得,再利用對數(shù)運算求得的值.【詳解】由于,,所以,則,∴,,.故答案為:【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
把已知等式變形,展開兩角和與差的三角函數(shù),結(jié)合已知求得值.【詳解】解:由,得,,即,,又,,解得:.為正的常數(shù),.故答案為:.【點睛】本題考查兩角和與差的三角函數(shù),考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.16、【解析】
當時,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,函數(shù)為常數(shù),故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當時,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,函數(shù)為常數(shù),需滿足,且,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式,意在考查學生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理將目標式邊化角,結(jié)合倍角公式,即可整理化簡求得結(jié)果;(2)由面積公式,可以求得,再利用余弦定理,即可求得,結(jié)合即可求得周長.【詳解】(1)由題設(shè)得.由正弦定理得∵∴,所以或.當,(舍)故,解得.(2),從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長為.【點睛】本題考查由余弦定理解三角形,涉及面積公式,正弦的倍角公式,應用正弦定理將邊化角,屬綜合性基礎(chǔ)題.18、(1)見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,證得底面,由此證得,結(jié)合證得平面,由此證得:平面平面.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵為等邊三角形,為的中點,∴∵平面底面,平面底面,∴底面平面,∴又由題意可知為正方形,又,∴平面平面,∴平面平面(2)如圖建立空間直角坐標系,則,,,由已知,得,設(shè)平面的法向量為,則令,則,∴由(1)知平面的法向量可取為∴∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19、證明見解析;1.【解析】
由題意可得橢圓的方程為,由點在直線上,且知的斜率必定存在,分類討論當?shù)男甭蕿闀r和斜率不為時的情況列出相應式子,即可得出直線與圓相切;由知,的面積為【詳解】解:由題意,橢圓的焦點在軸上,且,所以.所以橢圓的方程為.由點在直線上,且知的斜率必定存在,當?shù)男甭蕿闀r,,,于是,到的距離為,直線與圓相切.當?shù)男甭什粸闀r,設(shè)的方程為,與聯(lián)立得,所以,,從而.而,故的方程為,而在上,故,從而,于是.此時,到的距離為,直線與圓相切.綜上,直線與圓相切.由知,的面積為,上式中,當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ悦娣e的最小值為1.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.20、(I)詳見解析;(II)2【解析】
(I)求導得到f'(x)=ex-a,討論a≤0(II)f12=e-12a-5【詳解】(I)f(x)=ex-ax當a≤0時,f'(x)=e當a>0時,f'(x)=ex-a=0,x=lna當x∈lna,+∞時,綜上所述:a≤0時,fx在R上單調(diào)遞增;a>0時,fx在-∞,ln(II)f(x)=ex-ax-bf12=現(xiàn)在證明存在a,b,a+5b=2e取a=3e4,b=f'(x)=ex-a-
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