河北省承德市2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

河北省承德市2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．2．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．53．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，三角形AOB的面積為，則p=（）．A．1 B． C．2 D．35．已知定義在上的函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸為直線，且，則的最小值為()A． B．0 C． D．7．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且點(diǎn)到該漸近線的距離為，則雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為A． B．C． D．8．若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，目標(biāo)函數(shù)，則z的最大值為()A． B．1 C．2 D．09．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A． B．3 C． D．210．相傳黃帝時(shí)代，在制定樂(lè)律時(shí)，用“三分損益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音調(diào)．如圖的程序是與“三分損益”結(jié)合的計(jì)算過(guò)程，若輸入的的值為1，輸出的的值為（）A． B． C． D．11．已知l，m是兩條不同的直線，m⊥平面α，則“”是“l(fā)⊥m”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知隨機(jī)變量滿足，，.若，則（）A．， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機(jī)變量的分布列如表所示，則______，______．-10114．已知函數(shù)是偶函數(shù)，直線與函數(shù)的圖象自左向右依次交于四個(gè)不同點(diǎn)A，B，C，D．若AB＝BC，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)________．15．已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F，兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|FP|=5，則點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為_(kāi)____.16．從2、3、5、7、11、13這六個(gè)質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是________（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線：（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）．（1）設(shè)與相交于，兩點(diǎn)，求；（2）若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，得到曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線距離的最小值．18．（12分）如圖，三棱柱中，平面，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)(0，2)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B，以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點(diǎn)M在橢圓C上，求直線l的方程.20．（12分）已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）[選修4-5：不等式選講]:已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）設(shè)，，且的最小值為.若，求的最小值.22．（10分）如圖,四棱錐,側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為棱上的動(dòng)點(diǎn),且.(I)求證：為直角三角形；(II)試確定的值，使得二面角的平面角余弦值為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)為等腰三角形，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，又由的斜率為可得出關(guān)系，即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖，因?yàn)闉榈妊切?，，所以?，又，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.2、C【解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的模3、A【解析】分析：設(shè)，則，把用表示，然后令，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值．詳解：設(shè)，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數(shù)，又，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值，，∴的最小值是．故選A．點(diǎn)睛：本題易錯(cuò)選B，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時(shí)學(xué)生可能不會(huì)將其中求的最小值問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題，另外通過(guò)二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò)．4、C【解析】試題分析：拋物線的準(zhǔn)線為，雙曲線的離心率為2，則，，漸近線方程為，求出交點(diǎn)，，，則；選C考點(diǎn)：1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準(zhǔn)線方程；5、D【解析】

先判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到，比較三個(gè)數(shù)的大小，然后根據(jù)函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，比較出三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)，是增函數(shù).因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，所以有，因?yàn)?，函?shù)在時(shí)，是增函數(shù)，所以，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問(wèn)題，判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】

運(yùn)用輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，由對(duì)稱軸的方程，求得的值，得出函數(shù)的解析式，集合正弦函數(shù)的最值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)為輔助角，由于函數(shù)的對(duì)稱軸的方程為，且，即，解得，所以，又由，所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，所以可設(shè)，，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，合理利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.7、B【解析】

雙曲線的漸近線方程為，由題可知．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為，故選B．8、C【解析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，目標(biāo)函數(shù)如圖：當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值為故答案選C【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)的最值:當(dāng)時(shí)，直線過(guò)可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最大，在軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)時(shí)，直線過(guò)可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最小，在軸上截距最小時(shí)，值最大.9、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長(zhǎng).【詳解】過(guò)作，垂足為，設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)循環(huán)語(yǔ)句，輸入，執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】輸入，由題意執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖，可得：第次循環(huán)：，，不滿足判斷條件；第次循環(huán)：，，不滿足判斷條件；第次循環(huán)：，，滿足判斷條件；輸出結(jié)果.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)語(yǔ)句的程序框圖，求輸出的結(jié)果，解答此類題目時(shí)結(jié)合循環(huán)的條件進(jìn)行計(jì)算，需要注意跳出循環(huán)的判定語(yǔ)句，本題較為基礎(chǔ).11、A【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m⊥平面α?xí)r，若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，則l∥α或l?α，即必要性不成立，則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：，再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量滿足，，.所以服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：，因?yàn)?，所以，由二次函?shù)的性質(zhì)可得：，在上單調(diào)遞減，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值，最后求得的值，由方差的性質(zhì)計(jì)算的值即可.【詳解】由題意可知，解得（舍去）或.則，則，由方差的計(jì)算性質(zhì)得.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列的性質(zhì)，均值的計(jì)算公式，方差的計(jì)算公式，方差的性質(zhì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、【解析】

由是偶函數(shù)可得時(shí)恒有，根據(jù)該恒等式即可求得，，的值，從而得到，令，可解得，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)可列關(guān)于的方程，解出即可．【詳解】解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以時(shí)恒有，即，所以，所以，解得，，；所以；由，即，解得；故，．由，即，解得．故，．因?yàn)椋?，即，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題．15、【解析】

設(shè)點(diǎn)為，由拋物線定義知，，求出點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線方程得到的關(guān)系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2，0)，因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y2=8x上，|FP|=5，設(shè)點(diǎn)為，由拋物線定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線-=1，得-=1，又因?yàn)閍2+b2=4，解得a=1，b=，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線為y=±x，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力；靈活運(yùn)用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.16、【解析】

依據(jù)古典概型的計(jì)算公式，分別求“任取兩個(gè)數(shù)”和“任取兩個(gè)數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù)，計(jì)算即可?！驹斀狻俊叭稳蓚€(gè)數(shù)”的事件數(shù)為，“任取兩個(gè)數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3個(gè)，所以任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是?！军c(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】

(1)將直線和曲線化為普通方程，聯(lián)立直線和曲線，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得的值；（2）可得曲線的參數(shù)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角形的最值可得答案.【詳解】解：（1）直線的普通方程為，的普通方程．聯(lián)立方程組，解得與的交點(diǎn)為，，則．（2）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），故點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)到直線的距離是，由此當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化及參數(shù)方程的基本性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式等，屬于中檔題.18、（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）連接，，則且為的中點(diǎn)，又∵為的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，故平面．（2）由平面，得，．以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，．取平面的一個(gè)法向量為，由，得：，令，得同理可得平面的一個(gè)法向量為∵平面平面，∴解得，得，又，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以，直線與平面所成角的正弦值是．19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)以及列方程，由此求得，進(jìn)而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何意義得到，由此求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)后可求得直線的斜率，由此求得直線的方程.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，所以，且解得，所以橢圓的方程為．（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)，由消去得，所以，由已知得，所以，由于點(diǎn)都在橢圓上，所以，展開(kāi)有，又，所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足，故直線的方程為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（1），；（2）【解析】試題分析：（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比，即得到結(jié)論;（2）利用分組求和法，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列前n項(xiàng)和．試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d===1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n設(shè)等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q，則q1===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=1n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1，∵數(shù)列{1n}的前n項(xiàng)和為n（n+1），數(shù)列{2n﹣1}的前n項(xiàng)和為1×=2n﹣1，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為；考點(diǎn)：1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；1.數(shù)列求和．21、（1）（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，原不等式可化為，分類討論即可求得不等式的解集；（2）由題意得，的最小值為，所以，由，得，利用基本不等式即可求解其最小值．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，原不等式可化為，①當(dāng)時(shí)，不等式①可化為，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，不