專項(xiàng)08 輔助圓及圓中最值問題

專項(xiàng)08輔助圓及圓中最值問題類型一定點(diǎn)定長(zhǎng)型模型分析平面內(nèi)，點(diǎn)O為定點(diǎn)，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，且AO長(zhǎng)度固定，則點(diǎn)A的軌跡是以點(diǎn)O為圓心，AO長(zhǎng)為半徑的圓(如圖).依據(jù)的是圓的定義：圓是所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.1.如圖，墻AB垂直于地面BC，靠墻的梯子PQ(圖①)上端P沿AB向下滑動(dòng)，同時(shí)下端Q沿BC向右滑動(dòng)，直至P到達(dá)地面時(shí)終止(圖③).PQ=4米，這個(gè)過程中，梯子PQ中點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是米.

圖① 圖② 圖③2.如圖，將矩形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在邊CD上，且DE=EF，若AD=3，則點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F處時(shí)的路徑長(zhǎng)為.

3.(2023江蘇興化月考)如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，P為AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對(duì)稱，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積為.

類型二點(diǎn)圓最值模型分析已知平面內(nèi)一定點(diǎn)D和☉O，點(diǎn)E是☉O上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)D、O、E三點(diǎn)共線時(shí)，DE有最大(小)值.設(shè)點(diǎn)O與點(diǎn)D之間的距離為d，☉O的半徑為r，則有以下三種情況：位置關(guān)系點(diǎn)D在☉O內(nèi)點(diǎn)D在☉O上點(diǎn)D在☉O外圖示最大值：d+r最小值：r-d最大值：2r最小值：0最大值：d+r最小值：d-r4.(2023河北唐山路北模擬)如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(2，0)，B(0，2)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為()A.2+1 B.2+15.(2023湖南邵陽中考)如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=7，動(dòng)點(diǎn)P在矩形的邊上沿B→C→D→A運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，將△ABP沿AP對(duì)折，得到△AB'P，連接CB'，則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，CB'的最小值為.

類型三線圓最值模型分析1.如圖，AB為☉O的一條定弦，點(diǎn)C為圓上一動(dòng)點(diǎn).(1)如圖①，若點(diǎn)C在優(yōu)弧ADB上，當(dāng)CH⊥AB且CH過圓心O時(shí)，線段CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到弦AB的最大距離.(2)如圖②，若點(diǎn)C在劣弧AB上，當(dāng)CH⊥AB且CH的延長(zhǎng)線過圓心O時(shí)，線段CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到弦AB的最大距離. 圖① 圖② 圖③ 圖④2.如圖，直線l與☉O相離，點(diǎn)P是☉O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)圓心O到直線l的距離為d，☉O的半徑為r，則點(diǎn)P到直線l的最小距離是d-r(如圖③)，點(diǎn)P到直線l的最大距離是d+r(如圖④).6.(2023山東菏澤一模)如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，☉C的半徑為2，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作☉C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為.

類型四定弦定角型模型分析如圖，在△ABC中，AB為定長(zhǎng)，∠ACB為定角，此模型稱為“定弦定角”模型.特別地，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上. 圖1 圖2 圖37.如圖，△ABC為等邊三角形，AB=2.若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為.

8.(2023浙江金華期末節(jié)選)如圖，在正方形ABCD中，AD=4，動(dòng)點(diǎn)E在邊DC上由D到C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F在BC上由C到B運(yùn)動(dòng)，它們的速度相同，連接AE和DF，交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.

9.(2022廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)中考節(jié)選)已知∠MON=α，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動(dòng)，AB=6.(1)如圖①，若α=60°，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離.(2)如圖②，若α=45°，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大？請(qǐng)說明理由，并求出△AOB面積的最大值. 圖① 圖②類型五四點(diǎn)共圓模型分析1.公共的定線段對(duì)等角，四點(diǎn)共圓，如圖1.2.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓，如圖2. ∠A=∠D ∠A+∠C=180°圖1 圖210.如圖，△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，O為AC的中點(diǎn)，過O作OE⊥OF，OE、OF分別交射線AB、BC于E、F，則EF的最小值為.

11.(2023江蘇淮安一模)綜合與實(shí)踐“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓.該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究.提出問題如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上. 圖1 圖2探究展示如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)A，C，D的☉O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E(不與A，C重合)，連接AE，CE，則∠AEC+∠D=180°(依據(jù)1).∵∠B=∠D，∴∠AEC+∠B=180°，∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上(對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓)，∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的☉O上(依據(jù)2)，∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.反思?xì)w納(1)上述探究過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：.(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，則∠4的度數(shù)為.拓展探究(3)如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)D在BC上(不與BC的中點(diǎn)重合)，連接AD.作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F，連接AE，DE.①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓.②若AB=22，AD·AF的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由. 圖3 圖4

專項(xiàng)08輔助圓及圓中最值問題答案全解全析1.π解析如圖所示，連接BO，∵O是PQ的中點(diǎn)，∠ABC=90°，∴Rt△PBQ中，BO=12PQ=2(米)，∴這個(gè)過程中，梯子PQ中點(diǎn)O經(jīng)過的路徑是DE∴梯子PQ中點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)=142.3π解析連接AC、AF，易知點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)的路徑長(zhǎng)為CF的長(zhǎng).由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BC=EF，AB=AE，∵DE=EF，∴DE=BC=AD，在Rt△ADE中，DE=AD，∴∠DAE=45°，AE=AD∴∠EAB=90°-45°=45°，即旋轉(zhuǎn)角為45°，∴∠FAC=45°，在Rt△ABC中，AC=AB2∴CF的長(zhǎng)=45π×3180=3π3.3解析由線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對(duì)稱，可得BQ=BA=1，∴點(diǎn)Q在以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖，陰影部分的面積即為線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積.在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AB=1，AD=3，∴tan∠ABD=ADAB=由對(duì)稱可知△BDQ≌△BDA，∴∠DBQ=∠ABD=60°，∴∠ABQ=120°，∴S陰影=S四邊形ABQD-S扇形ABQ=2S△BDA-S扇形ABQ=2×12歸納總結(jié)如圖，點(diǎn)E為定點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含點(diǎn)B)，將△BEF沿EF折疊得到△B'EF，則點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，以線段BE長(zhǎng)為半徑的一段圓弧上.4.B∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1，∴C在以B為圓心，半徑為1的圓上，取OD=OA=2，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM=12CD當(dāng)CD的值最大時(shí)，OM的值最大，易知當(dāng)D，B，C三點(diǎn)共線，且C在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，CD的值最大，如圖，∵OB=OD=2，∠BOD=90°，∴BD=22∴OM=12CD=25.11-2解析連接AC，在矩形ABCD中，AB=2，AD=7，∴BC=AD=7,∴AC=BC∴B'在以A為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，如圖，當(dāng)A，B'，C三點(diǎn)共線，且B'在線段AC上時(shí)，線段CB'最短，此時(shí)CB'=AC-AB'=11-2.6.22解析連接CP、CQ，∵PQ是☉C的切線，切點(diǎn)為Q，∴PQ⊥CQ，∴∠PQC=90°，∴PQ2=CP2-CQ2，∴當(dāng)CP的值最小時(shí)，PQ2的值最小，即PQ取最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP的值最小，∵AB=BC=AC=4，∴當(dāng)CP⊥AB時(shí)，AP=BP=2，∴CP=AC2-AP2=237.2解析∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2.∵∠PAB=∠ACP，∴∠PAC+∠ACP=60°，∴∠APC=120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是AC(如圖).當(dāng)O，P，B共線，且點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，PB長(zhǎng)度最小，設(shè)OB交AC于D，如圖.此時(shí)PA=PC，OB⊥AC，則AD=CD=12AC=1∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=12∠ABC=30°∴PD=AD·tan30°=33∴PB=BD-PD=3?33=8.π解析∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，∵E，F(xiàn)的速度相同，∴DE=CF，在△ADE和△DCF中，AD∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴∠DAE=∠FDC，∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠FDC=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，∴∠APD=180°-90°=90°，如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以AD為直徑的圓中的DO(易知點(diǎn)O也在以AD為直徑的圓上)，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為149.解析(1)如圖1，作△AOB的外接圓☉I，連接CI并延長(zhǎng)，交☉I于O'，交AB于D，連接O'A，O'B，當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到O'時(shí)，OC的值最大，此時(shí)△AOB是等邊三角形，∴BO'=AB=6，OC最大=CO'=CD+DO'=12 圖1 圖2(2)如圖2，作△AOB的外接圓☉I，連接AI，BI，當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到O'時(shí)，O'I的延長(zhǎng)線與AB垂直，點(diǎn)O到AB的距離最大，△AOB的面積最大，設(shè)此時(shí)O'I的延長(zhǎng)線與AB交于點(diǎn)H，連接O'A，O'B.∵∠AIB=2∠MON=90°，AB=6，∴根據(jù)勾股定理可得半徑AI=32，由垂徑定理可得AH=BH.又∵∠AIB=90°，∴IH=12AB=3,∴O'H=32+3，∴△AOB面積的最大值為110.5解析∵∠ABC=∠EOF=90°，∴∠ABC+∠EOF=180°，則B、E、O、F四點(diǎn)共圓，且EF為直徑，設(shè)圓心為M，連接OM、BM、OB，如圖，∵BM、OM為半徑，∴EF=BM+OM，∵BM+OM≥BO，∴當(dāng)B、M、O三點(diǎn)共線時(shí)，BM+OM取最小值，為BO的長(zhǎng)，∵O為AC的中點(diǎn)，∠ABC=90°，∴BO=12AC=∴EF的最小值為5，故答案為5.11.解析(1)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓.(2)45°.詳解：∵∠1=∠2，∴A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∴∠3=∠4，∵∠3=45°，∴∠4=45°.(3)①證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱，