新高考數學一輪復習第3章 第07講 利用導數研究雙變量問題 精講+精練（教師版）

第07講利用導數研究雙變量問題(精講+精練）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析高頻考點一：分離雙參，構造函數高頻考點二：糅合雙參（比值糅合）高頻考點三：糅合雙參（差值糅合）高頻考點四：變更主元法高頻考點五：指定主元法高頻考點六：利用根與系數的關系轉單變量高頻考點七：利用對數平均不等式解決雙變量問題第四部分：高考真題感悟第五部分：第07講利用導數研究雙變量問題（精練）第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶1、導數中求解雙變量問題的一般步驟：（1）先根據已知條件確定出變量SKIPIF1<0滿足的條件；（2）將待求的問題轉化為關于SKIPIF1<0的函數問題，同時注意將雙變量轉化為單變量，具體有兩種可行的方法：①通過將所有涉及SKIPIF1<0的式子轉化為關于SKIPIF1<0的式子，將問題轉化為關于自變量SKIPIF1<0（SKIPIF1<0亦可）的函數問題；②通過SKIPIF1<0的乘積關系，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0（用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0亦可），將雙變量問題替換為SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的單變量問題；（3）構造關于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的新函數，同時根據已知條件確定出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的范圍即為新函數定義域，借助新函數的單調性和值域完成問題的分析求解.2、破解雙參數不等式的方法：一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數滿足的關系式，并把含雙參數的不等式轉化為含單參數的不等式；二是巧構函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·重慶市第七中學校高二階段練習）已知函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且對SKIPIF1<0恒成立，則實數SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：設SKIPIF1<0，因為對SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時都有SKIPIF1<0恒成立，等價于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0單調遞增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：A.2．（2022·陜西·西安工業(yè)大學附中高三階段練習（文））已知函數SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由題意SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是減函數，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是減函數，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是增函數，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．3．（2022·全國·高三專題練習）若存在兩個正實數x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0成立，則實數a的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0得2x+a（y﹣2ex）lnSKIPIF1<00，即2+a（SKIPIF1<02e）lnSKIPIF1<00，即設tSKIPIF1<0，則t＞0，則條件等價為2+a（t﹣2e）lnt＝0，即（t﹣2e）lntSKIPIF1<0有解，設g（t）＝（t﹣2e）lnt，g′（t）＝lnt+1SKIPIF1<0為增函數，∵g′（e）＝lne+1SKIPIF1<01+1﹣2＝0，∴當t＞e時，g′（t）＞0，當0＜t＜e時，g′（t）＜0，即當t＝e時，函數g（t）取得極小值，為g（e）＝（e﹣2e）lne＝﹣e，即g（t）≥g（e）＝﹣e，若（t﹣2e）lntSKIPIF1<0有解，則SKIPIF1<0e，即SKIPIF1<0e，則a＜0或aSKIPIF1<0，故選：C．4．（2022·全國·高二）若函數SKIPIF1<0存在兩個極值點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D根據題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0有兩解，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：D.第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析高頻考點一：分離雙參，構造函數1．（2022·全國·高二）設函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若對任何SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍______.【答案】14,+∞##k|k≥14因為對任何SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以對任何SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點睛】恒（能）成立問題求參數的取值范圍：①參變分離，轉化為不含參數的最值問題；②不能參變分離，直接對參數討論，研究SKIPIF1<0的單調性及最值；③特別地，個別情況下SKIPIF1<0恒成立，可轉換為SKIPIF1<0（二者在同一處取得最值）.2．（2021·重慶巴蜀中學高三開學考試）SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的取值范圍為___________.【答案】SKIPIF1<0不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，所以SKIPIF1<0對于SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0對于SKIPIF1<0恒成立，可得SKIPIF1<0對于SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<03．（2021·湖南省邵東市第一中學高二期中）已知函數SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為區(qū)間SKIPIF1<0上的任意實數，且對任意SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0成立，則實數SKIPIF1<0的最小值為______________．【答案】3由題得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，原不等式即為SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，依題意，應滿足SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立．即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（i）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，故此時SKIPIF1<0（ii）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞減；故此時SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，故對于任意SKIPIF1<0，滿足題設條件的SKIPIF1<0最小值為3．故答案為：34．（2022·全國·高三專題練習）設函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線與SKIPIF1<0軸平行，求實數SKIPIF1<0的值；(2)討論函數SKIPIF1<0的單調性；(3)證明：若SKIPIF1<0，則對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案不唯一，具體見解析(3)證明見解析(1)函數SKIPIF1<0的導數為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線斜率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增．SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0及SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0單調遞增．SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0單調遞增．(3)欲證SKIPIF1<0成立，即證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設函數SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調增加，從而當SKIPIF1<0時有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0成立．5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(1)若函數SKIPIF1<0有兩個極值點，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)證明：若SKIPIF1<0，則對于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)證明見解析(1)由題意知，SKIPIF1<0，因為函數SKIPIF1<0有兩個極值點，所以SKIPIF1<0有兩個不等的正根，即SKIPIF1<0有兩個不等的正根，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)構造函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，從而當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，同理可證SKIPIF1<0．綜上，對于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<06．（2021·山東·高三階段練習）設函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線與直線SKIPIF1<0平行，求SKIPIF1<0的極小值；（2）若對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）極小值為SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線與直線SKIPIF1<0平行，此切線的斜率為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得極小值SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0；（2）對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立等價于：對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，設SKIPIF1<0，則對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0，故實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.高頻考點二：糅合雙參（比值糅合）1．（2022·貴州·模擬預測（理））已知函數SKIPIF1<0有兩個零點.(1)求a的取值范圍.(2)記兩個零點分別為x1，x2，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明見解析.(1)∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，不合題意，當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個零點，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個零點.綜上，函數SKIPIF1<0有兩個零點，SKIPIF1<0.(2)由（1）知SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【點睛】利用導數研究零點問題：（1）確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導數知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.可以通過構造函數的方法，把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；（3）利用導數硏究函數零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數形結合思想研究；③構造輔助函數硏究.2．（2022·陜西·二模（理））已知函數SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0，求函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的單調性；(2)SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【答案】(1)單調遞增(2)證明見解析(1)由題意，函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在（0，1）上單調遞增．(2)根據題意，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0的兩個零點，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．兩式相減，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題關鍵點在于對雙變量的處理，通過對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作差，化簡得到SKIPIF1<0，分別得到SKIPIF1<0后，換元令SKIPIF1<0，這樣就轉換為1個變量，再求導確定單調性即可求解．3．（2022·寧夏·銀川二中一模（理））已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求函數SKIPIF1<0的單調區(qū)間；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，無單調遞減區(qū)間(2)證明見解析(1)解：依題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函數SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，無單調遞減區(qū)間.(2)證明：要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0.依題意，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個不等實數根，不妨令SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，兩式相加可得SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，故只需證明SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，從而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故原不等式得證.【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數法：證明不等式SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）轉化為證明SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），進而構造輔助函數SKIPIF1<0；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.4．（2022·黑龍江·鶴崗一中高三期末（理））已知函數SKIPIF1<0.(1)求函數SKIPIF1<0的單調區(qū)間；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.(1)函數SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即函數SKIPIF1<0的單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0的單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，綜上可知：①當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0的單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，無單調遞增區(qū)間；②當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0(2)依題意，SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0的兩個零點，設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所證不等式即SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，從而所證不等式成立.【點睛】本題關鍵是換元SKIPIF1<0，結合已知條件可將雙變量轉換為單變量問題求解.5．（2022·山西長治·高二階段練習）已知函數SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，求實數a的取值范圍．(2)若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個不相等的實數根，證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)詳見解析(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數單調遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數單調遞減，所以函數SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個不相等的實數根，即SKIPIF1<0又2個不同實數根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，要證明SKIPIF1<0，只需證明SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令函數SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0【點睛】本題考查利用導數的單調性求參數的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導數中的雙變量問題，往往采用分析法，轉化為函數與不等式的關系，通過構造函數，結合函數的導數，即可證明.高頻考點三：糅合雙參（差值糅合）1．（2022·全國·高三專題練習）若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值屬于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0單增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單減；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單增；又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單減，即SKIPIF1<0故選：C2．（2021·內蒙古·赤峰二中高三階段練習（理））已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0為自然對數的底數．（1）若SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0的單調性；（2）已知SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0恰有兩個不同的極值點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減；當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0單調遞增；（2）證明見解析．解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（i）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減；（ii）當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減，在SKIPIF1<0遞增；綜上，當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減；當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0單調遞增；（2）證明：SKIPIF1<0，依題意，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，兩邊同除以SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．3．（2022·天津濱海新·高三階段練習）已知函數SKIPIF1<0.(1)當SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；(2)當SKIPIF1<0時，若函數SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的單調區(qū)間；(3)當SKIPIF1<0時，若函數SKIPIF1<0恰有兩個不同的極值點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案見解析；(3)證明見解析.(1)解：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)解：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，該函數的定義域為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（i）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此時函數SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0；（ii）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不恒為零，此時函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增；（iii）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此時函數SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0.綜上所述當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增；當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0的增區(qū)間為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0.(3)證明：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數SKIPIF1<0單調遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數SKIPIF1<0單調遞增，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.下面證明不等式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，構造函數SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，故函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，兩式作差可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故原不等式得證.【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數法：證明不等式SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）轉化為證明SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），進而構造輔助函數SKIPIF1<0；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.高頻考點四：變更主元法在處理導數試題的過程中，我們經常會遇到涉及兩個變量的不等式問題，比如一個變量為SKIPIF1<0，另個一變量（也可以是參數）為SKIPIF1<0.在這種情況下，我們潛意識里總會把函數看作是關于變量SKIPIF1<0的函數，希望通過利用導數研究SKIPIF1<0的性質，從而得出結論.如果說SKIPIF1<0與SKIPIF1<0具有一定的關聯，這種思維定勢會為我們的解決問題帶來方便.但在絕大多數情況下，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是沒有關聯的，這個時候這種思維定勢就會給我們的解題帶來障礙.此時，我們不妨轉換一下視角，將字母SKIPIF1<0作為主要未知數，然后來解決問題.這種選擇主要未知數（簡稱主元）的方法，我們稱之為變更主元法.1．（2021·全國·高一專題練習）當SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】SKIPIF1<0．解：由題意不等式SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，可設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的一次函數，要使題意成立只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以原不等式的解集為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．2．（2022·全國·高三專題練習）已知二次函數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的圖象經過點SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的解析式：（2）若對任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數x的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.（1）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0的圖象經過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為當SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<03．（2022·廣東·高州市長坡中學高二階段練習）已知函數SKIPIF1<0(1)求函數SKIPIF1<0的極值；(2)若函數SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0恰有三個交點，求實數SKIPIF1<0的取值范圍；(3)已知不等式SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0都成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0的極大值為SKIPIF1<0，極小值為SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0的定義域為R，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值，在SKIPIF1<0處取得極小值，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的極大值為SKIPIF1<0，極小值為SKIPIF1<0；(2)因為當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由（1）可知，要想函數SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0恰有三個交點，則要滿足SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0(3)即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由基本不等式得：SKIPIF1<0，當且