第25章 概率初步 初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊知識(shí)點(diǎn)精講精練

第二十五章概率初步知識(shí)點(diǎn)思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)一：隨機(jī)事件與概率事件的類型事件的類型定義舉例確定性事件必然事件在一定條件下，必然會(huì)發(fā)生的事件，稱為必然事件.在一個(gè)只裝有紅球的袋中摸球，摸出紅球.不可能事件在一定條件下，必然不會(huì)發(fā)生的事件，稱為不可能事件.在一個(gè)只裝有紅球的袋中摸球，摸出白球.隨機(jī)事件（不確定性事件）在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.在一個(gè)裝有紅球和白球的袋中摸球，摸出紅球.2.事件發(fā)生的可能性一般地，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大小的，不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同.必然事件：試驗(yàn)中必然發(fā)生的事件，其發(fā)生的可能性為100%或1；不可能事件：試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，其發(fā)生的可能性為0；隨機(jī)事件：試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，其發(fā)生的可能性介于0和1之間.3.概率：一般地，對于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P（A）.4.概率的計(jì)算一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）＝，0≤P（A）≤1.當(dāng)A為必然事件時(shí)，P（A）＝1；當(dāng)A為不可能事件時(shí)，P（A）＝0.5.事件發(fā)生的可能性與概率的關(guān)系事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，它的概率越接近0.6.計(jì)算簡單事件的概率的主要類型個(gè)數(shù)類型：如摸球、擲骰子等可以表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的試驗(yàn)；面積類型：如果隨機(jī)試驗(yàn)是向S區(qū)域內(nèi)擲一點(diǎn)，那么擲在區(qū)域A（A在S內(nèi)）內(nèi)的概率P＝.【例1】一個(gè)不透明的口袋中裝有只有顏色不同的5個(gè)球，其中有3個(gè)白球和2個(gè)黑球.求從中隨機(jī)取出一個(gè)黑球的概率；若往口袋中再放入x個(gè)白球和8個(gè)黑球，從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)白球的概率是，求x的值.【例1】【解析】（1）由題意知從中隨機(jī)取出一個(gè)球共有5種情況，其中是黑球的有2種可能，根據(jù)概率公式計(jì)算可得；（2）利用概率公式：，列出關(guān)于x的分式方程，解之可得.【答案】解：（1）∵口袋中共裝有5個(gè)球，其中黑球有2個(gè)，∴從中隨機(jī)取出一個(gè)黑球的概率是.（2）根據(jù)題意，得，解得x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2是分式方程的根，所以x＝2.【鞏固】1.投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，則下列事件為隨機(jī)事件的是（）兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和大于1兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和等于1兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和大于12兩枚骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)之和等于12如圖，六邊形廣場由6個(gè)大小完全相同的灰色和白色正三角形組成，一只小鳥在廣場上隨機(jī)停留，剛好落在灰色正三角形區(qū)域的概率為_____________.【鞏固答案】D知識(shí)點(diǎn)二：用直接列舉法（枚舉法）求概率當(dāng)事件涉及的對象比較單一且出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較少時(shí)，就可以直接列舉出所有等可能的結(jié)果，再利用概率公式P（A）＝（在一次試驗(yàn)中，有n種等可能的結(jié)果，事件A包含其中的m種結(jié)果）求事件發(fā)生的概率.注意：（1）直接列舉試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，要有一定的順序性，保證結(jié)果不重不漏.（2）用列舉法求概率的前提有兩個(gè)：①所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)；②每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.所求概率是一個(gè)準(zhǔn)確數(shù)，一般用分?jǐn)?shù)表示.【例2】有4根細(xì)木棒，長度分別為2cm，3cm，4cm，5cm，從中任選3根，恰好能搭成一個(gè)三角形的概率是__________.【例2】【解析】從4根細(xì)木棒中任選3根，有①2cm，3cm，4cm；②3cm，4cm，5cm；③2cm，3cm，5cm；④2cm，4cm，5cm，共4種選法，恰好能搭成一個(gè)三角形的有①②④共3種，故恰好能搭成一個(gè)三角形的概率是.【答案】【鞏固】為支援某貧困山區(qū)，小慧準(zhǔn)備通過愛心熱線捐款，她只記得號(hào)碼的前5位，后3位由5，1，2這三個(gè)數(shù)字組成，但具體順序忘記了.則她第一次就撥通正確電話的概率是（）A. B. C. D.2.小明和他的爸爸媽媽共3人站成一排拍照，他的爸爸媽媽相鄰的概率是（）A. B. C. D.【鞏固答案】CD知識(shí)點(diǎn)三：用列表法求概率列表法列表法就是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.適用條件當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，常采用列表法.具體步驟選其中的一次操作（或一個(gè)條件）為橫行，另一次操作（或另一個(gè)條件）為豎行，列出表格；運(yùn)用概率公式P（A）＝計(jì)算概率.注意：用列表法列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果時(shí)，要注意“放回”與“不放回”的區(qū)別.【例3】不透明袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，除顏色外無其他差別，隨機(jī)摸出一個(gè)小球后，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)，兩次都摸到紅球的概率為（）A. B. C. D.第一次【例3】【解析】兩次摸球的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：第一次第二次第二次紅球綠球紅球（紅球，紅球）（綠球，紅球）綠球（紅球，綠球）（綠球，綠球）由表可知，共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次都是紅球的結(jié)果只有1種，所以P（兩次都摸到紅球）＝.故選D.【答案】D【鞏固】“學(xué)雷鋒”活動(dòng)月中，“飛翼”班組織學(xué)生開展志愿者服務(wù)活動(dòng)，小晴和小霞從“圖書館、博物館、科技館”三個(gè)場館中隨機(jī)選擇一個(gè)參加活動(dòng)，兩個(gè)恰好選擇同一場館的概率是（）A. B. C. D.2.某校舉行以“激情五月，唱響青春”為主題的演講比賽，決賽階段只剩下甲、乙、丙、丁四名同學(xué)，則甲、乙同學(xué)獲得前兩名的概率是（）A. B. C. D.3.一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球，這些球除標(biāo)號(hào)外都相同，從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則摸出的小球標(biāo)號(hào)之和大于5的概率為（）A. B. C. D.【鞏固答案】1.ADC知識(shí)點(diǎn)四：用畫樹狀圖法求概率畫樹狀圖法畫樹狀圖法是用樹狀圖的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.適用條件當(dāng)一次試驗(yàn)涉及三個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有等可能的結(jié)果，通常采用畫樹狀圖法來求事件發(fā)生的概率.注意：（1）當(dāng)試驗(yàn)包含兩步時(shí)，用列表法比較方便，當(dāng)然此時(shí)也可以用畫樹狀圖法；當(dāng)試驗(yàn)包含三步或三步以上時(shí)，不能用列表法，用畫樹狀圖法比較方便.（2）樹狀圖中，從左到右（或從上往下），每一條路徑都表示一種可能的結(jié)果，并且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.【例4】小剛一家三口參加“懂法紀(jì)，知敬畏”網(wǎng)上答題活動(dòng)，每人獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，有三個(gè)彩球，分別代表特等獎(jiǎng)，一等獎(jiǎng)，謝謝參與，隨機(jī)點(diǎn)擊其中一個(gè)，翻開即為所得獎(jiǎng)項(xiàng).三人都隨機(jī)點(diǎn)擊其中一個(gè)，則三人獲得的獎(jiǎng)項(xiàng)都不相同的概率是（）A. B. C. D.【例4】【解析】用A、B、C分別表示特等獎(jiǎng)，一等獎(jiǎng)和謝謝參與，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有27種等可能的結(jié)果，三人獲得的獎(jiǎng)項(xiàng)都不相同的結(jié)果有6種，∴P（三人獲得的獎(jiǎng)項(xiàng)都不相同）＝＝.故選D.【答案】D【鞏固】經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能左轉(zhuǎn)或右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，那么兩輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口時(shí)，恰好選擇同一方向的概率是（）A. B. C. D.2.小明與兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，用“手心、手背”游戲確定出場順序.設(shè)每人每次出手心、手背的可能性相同.若有一人與另外兩人不同，則此人最后出場.三人同時(shí)出手一次，小明最后出場比賽的概率為___________.【鞏固答案】C2.知識(shí)點(diǎn)五：用頻率估計(jì)概率頻率：試驗(yàn)中，某事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的比值叫做頻率.用頻率估計(jì)概率：從長期實(shí)踐中，人們觀察到，對一般的隨機(jī)事件，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性.因此，我們可以通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計(jì)它的概率.適用對象：當(dāng)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，可通過事件發(fā)生的頻率來估計(jì)概率.計(jì)算方法：一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果時(shí)間A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)p，那么估計(jì)事件A發(fā)生的概率P（A）＝p.頻率與概率的關(guān)系區(qū)別：頻率是試驗(yàn)值或使用時(shí)的統(tǒng)計(jì)值，與試驗(yàn)人、試驗(yàn)時(shí)間、試驗(yàn)地點(diǎn)等有關(guān)；概率是理論值，與其他外界因素?zé)o關(guān).聯(lián)系：試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越趨向于概率.【例5】某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能是（）袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中隨機(jī)取一個(gè)，取到紅球 擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)反面先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，兩次向上的面的點(diǎn)數(shù)之和是7或超過9【例5】【解析】A項(xiàng)，取到紅球的概率為；B項(xiàng)，向上的面的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率為；C項(xiàng)，先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，等可能的結(jié)果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4種，所以兩次都出現(xiàn)反面的概率為；D項(xiàng)，列表如下：第一次和第一次和第二次第二次123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表可知共有36種等可能的結(jié)果，其中兩次向上的面的點(diǎn)數(shù)之和為7或超過9的結(jié)果有12種，所以所求概率為.結(jié)合題圖可知選D.【答案】D【鞏固】不透明的盒子中有白球和黃球若干個(gè)，它們除了顏色外其他完全相同，某同學(xué)進(jìn)行了如下試驗(yàn)：每次摸出一個(gè)小球，記下顏色后放回盒中，如此重復(fù)400次，其中摸出白球100次.由此估計(jì)摸出黃球的概率為