2024年高考數(shù)學終極押題密卷3（北京卷）含答案

2024年高考數(shù)學終極押題密卷3（北京卷）

一,選擇題（共10小題）

1.已知集合A={M38={0,1,2,3,4},則AA8=（）

A.{3,4}B.{2,3,4}C.{0,1}D.{0,1,2}

2.已知復數(shù)z上"，則z的共施復數(shù)W）

Z2-i

A

,4B.2+iC.D.i

3.在（3乂2去）3的展開式中，常數(shù)項是）

B

A。14C.9D.4

2

4.設{。〃}是等差數(shù)列，下列結論中正確的是（）

A.若。|+〃2>0,則。2+。3>（）

B.若41+如<0,則山+a2Vo

C.若m<0,則（42-41）（42-43）>0

D.若OVmVs,則@2>〃的3

5.已知數(shù)列{曲}為等比數(shù)列，其前〃項和為S”，。1>0,則“公比q>0”是“對于任意〃EN\S〃>0”的

（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

6.在平面直角坐標系xOy中，已知P是圓C：（廠3）2+（y-4）2=1上的動點，若A（-〃，0）,B（?,

0）,〃#0,則|而+而|的最小值為（）

A.12B.8C.6D.4

7.已知函數(shù)f（%）=2sin（CD.V+（P）（co>0,|（p|<—）的部分圖象如圖所示，則/（?TT）的值是（）

2

A.V3B.1C.-1D.-y/~3

8.設a=203,/?=sin—,c=ln2,則()

12

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

1,x>0

9.已知符號函數(shù)sgn（x）=<0,x=0,則函數(shù)/（x）=sg〃（2加x）-/〃（2x-1）的零點個數(shù)為（）

T，x<0

A.1B.2C.3D.4

IO.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱''垂直貫穿”構成的多面體，其中一個四棱柱的每一條

側棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側棱交于兩點，另外兩條相

對的側棱交于一點（該點為所在棱的中點）若某“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2,高為3企的正四

棱柱構成，則下列說法正確的是（）

A.一個正四棱柱的某個側面與另一個正四棱柱的兩個側面的交線互相垂直

B.該“十字貫穿體”的表面枳是32^

C.該“十字貫穿體”的體積是主迤

3

D.一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點A出發(fā)，沿表面到達頂點4的最短路線長為

二.填空題（共5小題）

11.已知二項式（a/7上）5（a>0，b>0）關于x展開式中，所有項的系數(shù)之和為32,設展開式中

和的系數(shù)分別為小，〃，若"1=2，】,貝IJ。=,b=

22

12.直線y=Ex是雙曲線與-27=1的一條漸近線，雙曲線的離心率是.

ab

13.若關于X的方程|2r+4-A-2|=<7恰有三個不同實數(shù)解.，則實數(shù)。的值為.

x3+3ax,

14.設函數(shù)/(X)=.

3x+a2,x〉l.

①若/(x)有兩個零點，則實數(shù)。的一個取值可以是

②若/(x)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

15.黎曼函數(shù)在高等數(shù)學中有著廣泛應用，其一種定義為：在［0,1］時，R(x)=

X—(P，N*，R為既約真分數(shù))n_1*〃山七-皿人在、人

<qqq.若數(shù)列a=RQ'),n€N?給出下列四個結論：

0,x=0,1和(0,1)內的無理數(shù)nn

?^>=—:

n

③分心/

④￡ai>liry^-

i=l乙

其中所有正確結論的序號是.

三,解答題(共6小題)

16.在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知2〃sinA-J§a=O.

(I)求角B的大??；

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

17.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2?.

(I)求證：CO_L平面PAD；

(H)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求平面P8C與平面以。所成銳二面角的

大小.

條件①：AB=小

條件②：BC〃平面附D.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(H)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一

(II)已知直線丫=履?2與橢圓。有兩個不同的交點4B,。為x軸上一點.是否存在實數(shù)&,使得

△2W是以點。為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出〃的值及點。的坐標；若不存在，說明

理由.

20.設函數(shù)/(x)=ln(OI-+1)-x,t/GR,曲線y=/(x)在原點處的切線為x軸.

(1)求〃的值;

2

(2)求方程f(x)的解：

DCiOA2023.5

(3)證明：e＜羋支)

、2023)

21.設〃是正整數(shù)，集合A至少有兩個元素，且4GN".如果對于A中的任意兩個不同的元素％,y,都有

卜-31#匕則稱A具有性質Pa).

(1)試判斷集合B=[1,2,3,4}和。={1,4,7,10}是否具有性質P(2)?并說明理由;

(2)若集合人={41,a2,…，412叵{1,2,20),求證：A不可能具有性質P(3)；

(3)若集合AG{1,2,…，2023},且同時具有性質P(4)和P(7),求集合A中元素個數(shù)的最大值.

2024年菁優(yōu)高考數(shù)學終極押題密卷3(北京卷)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共1。小題)

1.已知集合A={M38={0,1,2,3,4},則AA3=()

A.{3,4}B.{2,3,4)C.(0,I)D.{0,I,2}

【考點】交集及其運算.

【專題】轉化思想；轉化法；集合；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】根據交集的定義，即可求解.

【解答】解：???A={MvV2},8={0,1,2,3,4},

?'?A門8={0,1}.

故選：C.

【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

2.已知復數(shù)z上臣?，則z的共規(guī)復數(shù)；=()

Z2-i

A.」B.2+iC.-iD.i

2

【考點】共挽復數(shù)：虛數(shù)單位i、復數(shù).

【專題】計算題.

【答案】C

【分析】將Z=L生化為：z=i,從而可得z的共飄復數(shù)；.

2-i

【解答】解：???z=ltgL=(I+2i)(2+?=旦0,

2-i(2-i)(2+i)5

z=-/?

故選：C.

【點評】本題考查復數(shù)的基本概念，將z=li生化為z=i是關鍵,屬于基礎題.

2-i

3.在(3乂2」)3的展開式中，常數(shù)項是()

2x

A.9B.C.—

442

【考點】二項式定理.

【專題】計算題：轉化思想；綜合法；二項式定理：邏輯推理：數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】直接利用二項式的展開式和組合數(shù)求出結果.

【解答】解：利用二項式的展開式Tr+LCg-eAj（「=。，1，2,3）；

r2

當r=2時，常數(shù)項為cj畤，（］）2=旦.

24

故選：A.

【點評】本題考查的知識要點：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題.

4.設｛?〃｝是等差數(shù)列，下列結論中正確的是（）

A.若4|+42>0，則42+。3>0

B.若41+〃3<0，貝|J2Vo

C.若41V0,則（02-41）（。2-〃3）>0

D.若0VaiVa2,則

【考點】等差數(shù)列的通項公式.

【專題】探究型；函數(shù)思想；分析法；等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【答案】D

【分析】利用等差數(shù)列的通項公式及性質逐一核對四個選項得答案.

【解答】解：對于4,*.e47|+?2>0.?2+?3=+2d,d的正負無法判斷，42+。3正負無法判斷，

故A錯誤；

對于6,,.?小+。3V0,.，?（。1+<2:+dVO,m+〃2正負無法判斷,故5錯誤;

對于C,（42-41）（42-43）=-CpWO,故C錯誤；

對于Q,???0VmVa2=m+d,.">0,則/-@的3=（力+心2-41（力+2（1）>0,即，a2>Ja1a3?

故。正確.

故選：D.

【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的性質，是中檔題.

5.已知數(shù)列｛m｝為等比數(shù)列，其前〃項和為S〃，?i>0,則''公比q>0”是“對于任意〃EN*,S〃:>0”的

（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件與必要條件；等比數(shù)列的性質.

【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】根據等比數(shù)列的通項公式以及前〃項和公式，分別驗證充分性以及必要性即可得到結果.

【解答】解：若/>0,且公比令>0,則an二a]qnT>0，

所以對于任意冊N*,S〃>()成立，故充分性成立，

若m>0,且0二二，

q2

1n

.-inn[11

則sn=----------------------=yai[l-(-y)]節(jié)殘111-(-1)“義(5)]>0,

1-(-萬)

所以由對于任意〃WN*,S“>0,推不出g>0,故必要性不成立；

所以“公比它0”是“對于任意〃WN*,S〃>0”的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的前〃項和公式，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.

6.在平面直角坐標系xOy中，已知P是圓C：(x-3)2+(y-4)2=1上的動點，若4(-小0),B(a,

0),〃#0,則|而+而|的最小值為()

A.12B.8C.6D.4

【考點】直線與圓的位置關系.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】根據題意得到|五+而l=2iporiP0k/?=ioci-1,即可得到答案.

【解答】解：因為IPA+PB1=2瓦|而加〃=QC|-1=7S2+42?1=4.

所以I威+五|的最小值為8.

故選:B.

【點評】本題主要考查了向量數(shù)量積的性質在最值求解中的應用，還考查了圓的性質的應用，屬于基礎

題.

7.已知函數(shù)/?(%)=2sin(ou+(p)(3>0,|(p|<2L)的部分圖象如圖所示，則/(-TT)的值是()

2

A.V3B.IC.-ID.-A/3

【考點】由y=Asin(a)x+(p)的部分圖象確定其解析式.

【專題】計算題；數(shù)形結合；數(shù)形結合法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】根據函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，從而可得函數(shù)值.

【解答】解：由圖象可得工=匹-(一旦L)=匹，

212122

所以r=7T,所以3="=2,

T

由五點作圖法可得2X?L+(P=?L,所以叩=三，

1223

所以f(x)=2sin(2r+—),

3

所以/(-TT)=2sin(-2TT+—^-)=2sin-^-=V3-

33

故選：A.

【點評】本題主要考查由)，=加而(3戶叩)的部分圖象確定其解析式，考查運算求解能力，屬于基礎題.

8.設a=203,/?=sin—,c=ln2,則()

12

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【考點】對數(shù)值大小的比較.

【專題】綜合題：函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用：數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】根據函數(shù)的單調性可比較得結果.

0,3=

【解答】解：a=2>2°bb=sin^sinl5°<sin?O°$而爪<2v。,則/<1也<1，

嗚<c〈l，

所以b<c<a.

故選:B.

【點評】本題主要考查利用單調性比較兩個數(shù)的大小，屬于中檔題.

1?x>0

9.已知符號函數(shù)sgn(x)=0,,則函數(shù)/(X)=sg〃(2/〃x)-歷(2x-1)的零點個數(shù)為()

T，X<0

A.1B.2C.3D.4

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系.

【專題】新定義；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】先分段寫出(2/ZLV)的解析式，然后分類求方程(2/ZLV)=ln(2v-1)的根即可.

【解答】解：令/(x)=0,則(2/ZLV)=ln(2x7),

1,x>1

y=sgn(2//ir)=<0,x=l,

-1,0<x<1

當x>1時，若及(2x-l)=1,得工=上坦，符合；

2

當x=l時，若歷(2x-1)=0,得x=l,符合：

當0<%<1時，若/〃(2x-I)=-I,得1=，?+?1,符合；

2e2

故函數(shù)/(x)=sgn(2/zu)-In(Zv-1)的零點個數(shù)為3.

故選：C.

【點評】本題屬于新概念題，考查了函數(shù)的零點、對數(shù)函數(shù)的性質，屬于基礎題.

10.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構成的多面體，其中一個四棱柱的每一條

側棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側棱交于兩點，另外兩條相

對的側棱交于一點(該點為所在棱的中點)若某“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2,高為3五的正四

棱柱構成，則下列說法正確的是()

A.一個正四棱柱的某個側面與另一個正四棱柱的兩個側面的交線互相垂直

B.該“十字貫穿體”的表面枳是32＞技

C.該“十字貫穿體”的體積是至運

3

D.一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點4出發(fā)，沿表面到達頂點8的最短路線長為4加

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；棱柱的結構特征；棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積.

【專題】轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；直觀想象；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】4項，驗證是否滿足勾股定理.；B項，該“十字貫穿體”由4個正方形和16個與梯形BDOG

全等的梯形組成，由此即可得；。項，兩個正四棱柱的重疊部分為多面體CDGOST,可以分成8個全等

的三棱錐C-GO/,由此計算可得；。項，平面展開圖即可求最短路線長.

【解答】解：依題意，不妨設該幾何體中心對稱,

對于A：在梯形BOOG中，BD百良士巨工2，BG=2,0G」3企,

222

DC=2?則oc=OD=)2+22=V6?所以。

即一個正四棱柱的某個側面與另一個正四棱柱的兩個側面的交線不互相垂直，A錯誤:

對于從該“十字貫穿體”由4個正方形和16個與梯形8O0G全等的梯形組成,

(2y-+^-)X2=32V2+16*

故表面積S=4義2X2+16X得X8錯誤;

對于C兩個正四棱柱的重疊部分為多面體CQGOS7,取CS的中點/,

則多面體C7X7OS7可以分成8個全等的三棱錐C-

則SaGo/=~^x2X2=2，且C/~L平面GOhC/=V2?則VCGOI=—X2XV2=,我，

233

則該“十字貫穿體”的體積為V=2X2X2x3V2-8VC-G0/=24A/2-_1^巨=至6巨.

33

對于。：將面ACO,而ECON,面NF。。繞著面與面之間的交線旋轉到與面。OG8共面,

如圖：則tan/D0G=3a2祀班〉1，

~22~

所以NN0G=2NQ0G為鈍角，連接A8,

則線段人A的長為一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點人出發(fā)，沿表面到達頂點"的最短路線長,

根據對稱性可得人BJ_NO,因為tan/D0G=V5，

所以tanZNOG=tan2ZDOG=^=-2V2,又tanNBCG=§方二,

2

-272獸巨r

乙Y乙RQA/O

所以tan/NOB=tan(ZNOG-ZBOG)=----------/-

1+(-3)父n率§

O

8V2

所以sin/NOB=I2

V52+(8V2)

V17

又OB=A22+

而

所以BP=OBsinNNOB=^^^X號,則。借誤.

故選：C.

【點評】本題考查多面體的綜合計算，屬于難題.

二,填空題（共5小題）

11.己知二項式（@心上V&>0，b>0）關于x展開式中，所有項的系數(shù)之和為32,設展開式中x

x

和的系數(shù)分別為〃?，〃，若機=2”,則a=4,b=2.

【考點】二項式定理.

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)據分析.

【答案】見試題解答內容

【分析】由題意利用二項式系數(shù)的性質，求得所有項的系數(shù)之和為（a-b）5=32①，再根據通項公式

求得a=2b②，

由①?求得。、人的值.

【解答】解：已知二項式（a4衛(wèi)）5（a>0，b>0）關于工展開式中，所有項的系數(shù)之和為（?！鋈耍?/p>

x

5=32①，

5-3r

設展開式中的通項公式為THI=%?（?力）x2，

令5-3r=1,求得r=],可得x的系數(shù)為m=-5b*a4.

2

令5-3r=_2,求得「=3,不得x”的系數(shù)為〃=-]（）力3.。2,若〃?=2〃，

2

則-5。?。4=-20b^a2,即a=2b②.

則由①②求得a=4,b=2,

故答案為：4；2.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于中檔題.

-22

12,直線y二6x是雙曲線與-的一條漸近線，雙曲線的離心率是一2.

a2b2

【考點】雙曲線的性質.

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據題意，由雙曲線的標準方程可得其漸近線方程，結合題意可得上=4§,即卜=心,由

a

雙曲線的性質可得c=2〃，進而由雙曲線的離心率公式計算可得答案.

【解答】解：根據題意，雙曲線的方程為2；一工;=1則其漸近線方程為），=±上?

又由直線片愿x是雙曲線￡-==1的一條漸近線，則有上=?,即"=?小

a2b2a

則c=Va2+b2=2a>

則雙曲線的離心率e=￡=2；

a

故答案為：2.

【點評】本題考查雙曲線的標準方程以及幾何性質，關鍵是掌握雙曲線的離心率的計算公式.

13.若關于x的方程億計4-矽=〃恰有三個不同實數(shù)解.，則實數(shù)a的值為J.

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系.

【專題】數(shù)形結合；數(shù)形結合法；函數(shù)的性質及應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】問題等價于函數(shù)y=|2x+4-7|的圖象和），=“恰有三個不同公共點，數(shù)形結合可得.

【解答】解：問題等價于函數(shù)），=2什4-』|的圖象和），=〃恰有三個不同公共點，

y=|2r+4?f|的圖象可由尸2什4?f=?（x-1）2+5的圖象A?軸上方的不動，x軸下方的對稱上去,

如圖數(shù)形結合可得〃=5

【點評】本題考查根的存在性和個數(shù)的判斷，轉化為函數(shù)圖象的交點并準確作圖是解決問題的關鍵，屬

中檔題.

x3+3ax,

14.設函數(shù)f(x)=.

3x+a2,x〉l.

①若/（X）有兩個零點，則實數(shù)〃的一個取值可以是7（答案不唯一）

②若/（x）是R上的增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是￡2,^00）

【考點】分段函數(shù)的應用.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用：導數(shù)的綜合應用；直觀想象；數(shù)學運算.

【答案】-1(答案不唯一)；[0,1]U⑵+8).

【分析】由題意可得了(工)=/+3”必有兩個零點，利用導求解即可第一空答案：

利用導數(shù)判斷出函數(shù)在(?8,1]和(1,+8)上均單調遞增，再由1+3〃W3+J求解即可得第二空答

案.

【解答】解：①因為當x>l時，/(x)=3/。2>3,此時函數(shù)沒有零點，

要使函數(shù)有兩個零點，則/(x)=/+3orGWl)必有兩個零點，

又因為f(x)=3/+3小

所以當-1時，則，(A)=3?-3,

令/(x)=0,則x=1或-1,

故/(x)在(-8,-|)單調遞增，在(-1,I)單調遞減，

/(-2)=-8+6=-2<0；/(-1)=-1+3=2>0,

故f(外在(-2,-1)內有一個零點，在(-1,1)內也有一個零點，故有2個零點，

則。=-1滿足條件；

②根據題意可得，當xWl時，,r(x)=3』+3。20,

所以?/，

又因為xWl,所以?/<0,

故心0；

當x>l時，,1(x)=3>0,

BPx>l時，f(x)單調遞增恒成立，

要使/(、)在R上為增函數(shù)，

故在x=l時，f(l)=l+3aW3+J,解得〃力2或aWl,

故。的取值范圍為[0,1]U[2,+8).

故答案為：-I(答案不唯一)；[0,l]U[2,+8).

【點評】本題考查了函數(shù)的零點、導數(shù)的綜合運用，屬于中檔題.

15.黎曼函數(shù)在高等數(shù)學中有著廣泛應用，其一種定義為：.同0,1]時，R(x)=

5,X^(p,qCN*，孕既約真分數(shù))若數(shù)列…R(j廷屋給出下列四個結論:

0,x=0,1和(0,1)內的無理數(shù)nn

n

②a〃+2Va〃+i：

ni

④Eai>lir^-

i=lz

其中所有正確結論的序號是②③④.

【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合.

【專題】轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；數(shù)學運算.

【答案】②③④.

【分析】由黎曼函數(shù)的定義和數(shù)列的裂項相消求和、函數(shù)g(x)="-x-l的性質，可得結論.

【解答】解：對于①，〃WN+,，〃=1時，a1=R(0)=0卉；，故①錯誤：

對于②，〃〃+[=—1—,a41，，4〃+1>4〃+2，故②正確：

n+1n+2n+2

對于③，Vaiai+\=a\a2+a2a^a3ci4+...+anan+i=-y<-A+AxA+...+A*―

M2334nn+1

=—―-ji-+---4^一]<1，故③正確；

2334nn+12n+12

n

對于④，VCli=aI+?2+?3+...+：ln=—+—+...+A(欄2),

々I23n

構造函數(shù)g(x)=^-x-1(x>0),

則g，(x)=ex-l>0.g(x)單調遞增,Jg(x)>g(0)=0,

eM+1,

即當x>0時,>x+l,可得QEAJL+I,e7>

e2n

1.1.1

則當中…十>旦X匹X...Xm1=止1

e23n223n2

nn—

當〃=1時，z%=町=0,rai〉ln(*)，故④正確.

i=li=l/

故選：②③④.

【點評】本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，以及數(shù)列的裂項相消求和、累乘法，考查轉化思想和運算能力,

屬于中檔題.

三,解答題(共6小題)

16.在銳角△A8C中，角A,3,。所對的邊分別為a,b,c.己知2加inA-J§a=O.

(I)求角B的大??；

(II)求cos4+cosB+cosC的取值范圍.

【考點】正弦定理；兩角和與差的三角函數(shù).

【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉化法；解三角形；數(shù)學運算.

【答案】見試題解答內容

【分析】(I)根據正弦定理可得sin3=近，結合角的范修，即可求出，

2

(H)根據兩角和差的余弦公式，以及利用正弦函數(shù)的性質即可求出.

【解答】解:(I)V2MnA=V3??

2sin3sinA=V^sinA,

VsinA^O,

???sinB=近，

2

?「△ABC為銳角三角形，

3

(II)為銳角三角形，B=—t

3

???C=12L-A,

3

cosA+cosB+cosC=cos>4+cos(2工-A)+cos-^-=cosA--^cosA+^-?-sinA+—=iosA+^-l-sinA+—=

33222222

sin(A+W-),

62

△ABC為銳角三角形，0<AV?L,0<C<—,

22

解得？L<AV?L,

62

..<A+<———，

363

/.^-?-<sin(4+~2L)Wl,

26

.\X3_+A<sin(4+—)+_lw3,

22622

，cosA+cos8+cosC的取值范圍為—].

22

【點評】本題考查了正弦定理，三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的性質，考查了運算求解能力和轉化與化歸

能力，屬于中檔題.

17.如圖，在四棱錐P-A8CD中，以，平面A8CO,PA=AD=CD=2fBC=3,PC=243.

（I）求證：COJ■平面PAD.

（ID再從條件①、條件②這兩個條件中選擇?個作為己知，求平面尸與平面孫。所成銳二面角的

大小.

條件①：后：

條件②：8c〃平面附。.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（H）問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一

個解答計分.

【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直.

【專題】數(shù)形結合：向量法：綜合法：立體幾何：邏輯推理：數(shù)學運算.

【答案】（I）證明過程見解答；（II）工.

4

【分析】（I）連接AC,由題目條件可推得△AOC為等腰直角三角形，且/ACD二工，ZADC=—?

42

即CO_LAO,再E4J_CD,由線面垂直的判定定理即可證明；

（II）選條件①或選條件②均可證明RC上CD,建立以A為原點的空間直角坐標系，求出平面PBC與

平面陶。的法向量，由二面角求解即可.

【解答】解：（I）如圖，連接AC,因兩JL平面ABCD,AC,CQu平面ABCD,則PA1AC,PA1

又PC=2?，%=2,貝iJAC=2?，

因為AD=OC=2,所以△AOC為等腰直角三角形，其中NACD=2L，ZADC=—?所以⑦上月。，

42

又因為見_LCQ,AD,BAu平面見D,ADOPA=A,所以CD_L平面以D：

(II)若選條件①,由余弦定理可得:ACAB8+9-5災

COSZACB=2^BC2X272X3-2

結合NAC8為三角形內角，得/ACB二二，

4

又NACD=4則/BCD二g即3C_LCD

42

若選條件②，因8c〃平面以D,3Cu平面A8C。，平面A3COG平面以。=40,則《C〃AO,

又NADO3則NBCD^，即3C_LCD

乙乙

故建立以4為坐標原點，如圖所示空間直角坐標系(x軸所在直線與。。平行)，

又必=4O=CO=2,灰?=3,AB=V5，

則4(0,(),0),B(2,-I,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

所以皮二(0,3,0)，CP=(-2,-2,2>DC=(2,0,0)，

由題知，平面以。法向量為五=*,0,0),

設平面P8C法向量為；=(x,_v，z),

則回青3y=0

n*CP=-2x-2y+2z=0

令x=1,則y=0,z=l,所以n=(1,0,1),

設面PBC與平面PAD所成銳二面角為仇

所以cosB=IcosC，氏〉1:卜片；；'I當'所以9號?

【點評】本題考查線面平行證明和二面角的求法，還考查空間想象能力和運算求解能力，屬于中檔題.

18.每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書口”，又稱“世界圖書和版權日”.為了解某

地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了5（X）名高一學生進行在線調查，得到了這500

名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據分成[0,2],（2,4],（4,6],（6,8],（8,10],

（10,12],（12,14],（14,161，（16,18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（II）為進一步了解這500名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時

間在（12,141，（14,16],（16,18]三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人.現(xiàn)從這10

人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在（14,16]內的學生人數(shù)為X,求X的分布列；

（III）以調查結果的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取20名學生，用“尸20（A）”表示

這20名學生中恰有A名學生日平均閱讀時間在（10,12]（單位：小時）內的概率，其中2=0,1,2,…，

20.當P20（攵）最大時，寫出攵的值.（只需寫出結論）

【考點】離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變最的期望與方差；頻率分布直方圖.

【專題】轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；邏輯推理；數(shù)學運算.

【答案】見試題解答內容

【分析】（I）由頻率分布直方圖列出方程，能求出。的值.

（II）由頻率分布直方圖求出這50。名學生中日平均閱讀時間在（12,141，（14,16],（16,18]三組內

的學生人數(shù)分別為50人，40人，10人，采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從FI平均閱讀時間在（14,

16]內的學生中抽取4人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，則X的可能取值為（），1,2,3,分別求出相

應的概率，由此能求出X的分布列.

（III）當尸20（左）最大時，攵=4.

【解答】解：(I)由頻率分布直方圖得：

2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+?+0.05+0.04+0.01)=1,

解得4=0.10.

(11)由頻率分布直方圖得:

這500名學生中日平均閱讀時間在(12,14],(14,16],(16,18]三組內的學生人數(shù)分別為:

500X0.10=50人，500X0.08=40人，500X0.02=10人，

若采用分層抽樣的方法抽取了10人,

則從日平均閱讀時間在(14,16]內的學生中抽?。阂恍┮籜10=4人,

50+40+10

現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，則X的可能取值為0,1,2,3,

3

C6_

P(X=0).20一

3120

C10

C4C6_60

P(X=l)

7

c?o訪

r2ri

u

P(X=2)4^6_36-3

C3I20Io,

b10

3

C4.

P(X=3)4.,1

312030

C10

???X的分布列為:

X0123

P_131

7~2"1030

(III)當尸20⑷最大時,k=4.

【點評】本題考查頻率、離散型隨機變量的分布列、實數(shù)值的運算，考查頻率分布直方圖、超幾何分布、

排列組合等某礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

22

19.橢圓C：三三=i(a>b>0)的離心率為乂之，F(xiàn)i,廣2是橢圓的左、右焦點，以為為圓心、區(qū)為

a2b222

半徑的圓與以廣2為圓心、3為半徑的圓的交點在橢圓C上.

2

(I)求橢圓C的方程和長軸長；

(II)已知直線2與柄圓C有兩個不同的交點A,B,尸為x軸上一點.是否存在實數(shù)匕使得

△辦8是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及點P的坐標；若不存在，說明

理由.

【考點】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的標準方程；橢圓的性質.

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算.

【答案】見試題解答內容

【分析】（I）根據橢圓的離心率有工巫，根據橢圓的定義有2〃=4,即可求出橢圓方程與長軸長：

a2

（II）設A（xi,yi）,B（X2,”），聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，設中點G（xo,加）,

即可表示出G的坐標，假設存在A和點尸（〃?，0）,使得△%8是以P為直角頂點的等腰直角三角形，

則PGL43,故kpG?kAB=-1,求出m用k表示,再利用瓦?訪=0列方程，將m代入即可求出k的值,

從而求出P的坐標;

【解答】解：（I）由題意,—提4=2a，解得。=2，c=?，

a22乙

所以序=/-<?2=4-3=1,

2

所以橢圓c的方程為*+y2=],長軸長為2〃=4.

y=kx-2

（II）聯(lián)立，Y2.，消去），整理得：（4F+1）16近+12=0.

T+y=1

由A=256F4(4A^H)X12>0,解得卜2〉3,

4

12

設A(xi,yi),B(X2,”)，則Xi+x/-呼XiX=-2-

4k2+124k2+1

設48中點G（燉，和）,

xi+x

則2_8k

4k2+1'No-2信

8k-2

故Gf)?

4k2+l4k2+1

假設存在A和點P（〃?，0）,使得ARW是以P為直角頂點的等腰直角三角形,

則PGA-AB,故kpG*kAB=-1,

-2

-2-

所以叫Xk*l,解得垣一^，故P(—

+10).

—4k2+14k2+1

4k.1

又因為/APB：%，所以瓦?而迅

2

所以(XI-tn,yi)*(x2-m9yi)=0,即(xi-m)(X2-m)+y\y2=0.

整理得(k2+l)xix-(2k+m)(x1+x)+m2+4=0,

■L乙2X2w

所以42+1)-煤一-(2k+m)?—號」+血2+4=0，

4k'+l4k'+l

2

將m二合代入得(k+l)，—y-—(2k+?”皇+(6,)2+^

4kz+l4k，l4kz+l4k，l4kz+l

2222222

pn12(k+l)(4k+l)-128k(k+l)+36k+4(4k+l)八

即---------------------------------5-------------------=0*

(4k2+l)2

所以1616k所以&4=i,即左=±1,

(4k2+l)2

當左=1時，尸點坐標為（晟，0）；當女=?i時，戶點坐標為（得，0）,

此時，△加8是以P為直角頂點的等腰直角三角形.

【點評】本題考查了橢圓的方程及性質，考杳了直線與橢圓的綜合，考查了方程思想及數(shù)學運算能力,

屬于中檔題.

20.設函數(shù)/（I）=ln（or+1）-x,t/GR,曲線y=/（x）在原點處的切線為x軸.

（1）求〃的值;

2

（2）求方程f（x）f的解：

DCiOA2023.5

（3）證明：e＜心"）

、2