帶電粒子在有界磁場中運動的臨界極值問題

帶電粒子在有界磁場中運動的臨界極值問題①速度較小時，作半圓運動后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時，粒子作部分圓周運動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出SBPSSQPQQ①速度較小時，作圓周運動通過射入點；②速度增加為某臨界值時，粒子作圓周運動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出圓心在過入射點跟跟速度方向垂直的直線上圓心在過入射點跟邊界垂直的直線上圓心在磁場原邊界上量變積累到一定程度發(fā)生質變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)P①速度較小時，作圓弧運動后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時，粒子作部分圓周運動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出oBdabcθB圓心在磁場原邊界上圓心在過入射點跟速度方向垂直的直線上①速度較小時粒子作半圓運動后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內時從側面邊界飛出；③速度較大時粒子作部分圓周運動從對面邊界飛出。①速度較小時粒子做部分圓周運動后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內從上側面邊界飛；③速度較大時粒子做部分圓周運動從右側面邊界飛出；④速度更大時粒子做部分圓周運動從下側面邊界飛出。量變積累到一定程度發(fā)生質變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)例1、真空中寬為d的區(qū)域內有強度為B的勻強磁場，方向如圖所示，質量m帶電量-q的粒子以與CD成角θ的速度v0垂直射入磁場中．要使粒子必能從EF射出，則初速度v0應滿足什么條件？1.速度極值問題如圖所示，當入射速度很小時電子會在磁場中轉動一段圓弧后又從同一側射出，速率越大，軌道半徑越大，當軌道與邊界相切時，電子恰好不能從另一側射出，當速率大于這個臨界值時便從右邊界射出，依此畫出臨界軌跡?！痉治觥咳鐖D所示，當入射速度很小時電子會在磁場中運動一段圓弧后又從同一側射出，速率越大，軌道半徑越大，當軌道與邊界相切時，電子恰好不能從另一側射出，當速率大于這個臨界值時便從右邊界射出，依此畫出臨界軌跡?！痉治觥考磁R界軌跡為過點A并與EF相切的圓弧，作出A、P點速度的垂線相交于O即為該臨界軌跡的圓心。【分析】【分析】即臨界軌跡為過點A并與EF相切的圓弧，作出A、P點速度的垂線相交于O即為該臨界軌跡的圓心?！窘馕觥吭O臨界半徑R0，由R0(1+cos

)=d得：R0=；故粒子必能穿出EF的實際運動軌跡半徑R≥R0,即：R=≥

得：v0≥R0d問題2：

EF上有粒子射出的區(qū)域？由于粒子不可能從P點下方射出EF，即只能從P點上方某一區(qū)域射出；又由于粒子從點A進入磁場后所受洛倫茲力必使其向右下方偏轉，故粒子不可能從AG直線上方射出；由此可見EF中有粒子射出的區(qū)域為PGPG=R0sin+dcot=+dcotR0d例2.如圖所示，垂直紙面向里的勻強磁場分布在正方形abcd區(qū)域內，O是ad邊中點，一帶正電的粒子僅在磁場力的作用下，從O點沿紙面以垂直于ad邊的速度射入正方形內，經過時間t0剛好從a點射出磁場?，F(xiàn)設法使該粒子從O點沿紙面以與ad邊成θ=300

的方向，以大小不同的速率射入正方形內，那么下列說法正確的是（）A.若該帶電粒子從bc邊射出，它經歷的時間可能為t0B.若該帶電粒子從ab邊射出，它經歷的時間可能為5t0/3C.若該帶電粒子從ad邊射出，它經歷的時間可能為5t0/3D.若該帶電粒子從cd邊射出，它經歷的時間可能為t0/3V0Oabcd2.時間極值問題V0Oadθ300600●●cb規(guī)律方法:1．解決此類問題關鍵是找準臨界點，審題應抓住題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語作為突破口，挖掘隱含條件，分析可能的情況，如有必要則畫出幾個不同半徑相應的軌跡圖，從而分析出臨界條件．2．要重視分析時的尺規(guī)作圖，規(guī)范而準確的作圖可突出幾何關系，使抽象的物理問題更形象、直觀．練習1.核聚變反應需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內（否則不會發(fā)生核反應），通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）。如圖所示，環(huán)狀勻強磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內。設環(huán)狀磁場的內半徑為R1=0.5m，外半徑R2=1.0m，磁感強度B=1.0T，若被束縛帶電粒子的荷質比為q/m=4×107C/kg，中空區(qū)域內帶電粒子具有各個方向的速度。求:（1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁場的最大速度。qvB=mv2/rov=qBr/mrrR1R2（2）r′≤(R2-R1)2=0.25m（1）(R2-r)2=R21+r2v′≤

1.0×107m/sv=

1.5×107m/s速度極值問題●逆向思維：能穿越的最小速度●●例3.如圖，半徑為R=3×10-2m的圓形區(qū)域內，有一勻強磁場B=0.2T，一帶正電粒子以速度v0=106m/s的從a點處射入磁場，該粒子荷質比為q/m=108C/kg，不計重力則：（1）粒子在磁場中勻速圓周運動的半徑是多少？（2）若要使粒子飛離磁場時有最大的偏轉角，其入射時粒子的方向應如何（以v0與ab的夾角θ表示）？最大偏轉角多大？

3.偏角極值問題ba6cmv0半徑確定時，軌跡弧越長，圓心角越大，偏轉角越大。而弧小于半個圓周時，弦越長則弧越長。θ=37°規(guī)律總結1.解決此類問題的關鍵是:找準臨界點.2.找臨界點的方法是:以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語為突破口,借助半徑R和速度v（或磁場B）之間的約束關系進行動態(tài)運動軌跡分析,確定軌跡圓和邊界的關系,找出臨界點,然后利用數(shù)學方法求解極值,常用結論如下:（1）剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切.（2）當速度v一定時,弧長（或弦長）越長,圓周角越大,則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長.（3）當速率v變化時,圓周角大的,運動時間越長.例4.如圖所示，一質量為m、帶電量為q的粒子以速度v0從A點沿等邊三角形ABC的AB方向射入強度為B的垂直于紙面的圓形勻強磁場區(qū)域中，要使該粒子飛出磁場后沿BC射出，求圓形磁場區(qū)域的最小面積．4.磁場面積極值問題【分析】由題中條件求出粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為一定，故作出粒子沿AB進入磁場而從BC射出磁場的運動軌跡(圖中虛線圓所示)，只要軌跡那段圓弧PQ能處于磁場中即能完成題中要求；故由直徑是圓的最大弦可得圓形磁場的最小區(qū)域必為以直線PQ為直徑的圓，如圖中實線圓所示．【解析】由題意知，圓形磁場區(qū)域的最小面積為圖中實線所示的圓的面積．因為△ABC為等邊三角形，故圖中a=30°則：2r=PQ=2Rcosa=故最小磁場區(qū)域的面積為：S=πr2

=.【評析】根據軌跡確定磁場區(qū)域，把握住“直徑是圓中最大的弦”練習2.如圖所示，邊長為L的等邊三角形ABC內有垂直于紙面向里的勻強磁場,三角形外接圓圓心O處有一放射源，放射出質量為m、帶電量為+q的粒子，其最