2025屆北京市東城區(qū)第二中高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆北京市東城區(qū)第二中高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形2.已知,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.3.已知函數(shù),,若對,且,使得,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.根據(jù)散點圖,對兩個具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x,y進(jìn)行回歸分析,設(shè)u=lny,v=(x-4)2,利用最小二乘法,得到線性回歸方程為=0.5v+2,則變量y的最大值的估計值是()A.e B.e2 C.ln2 D.2ln25.等差數(shù)列中,已知,且,則數(shù)列的前項和中最小的是()A.或 B. C. D.6.中,點在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.7.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或8.已知函數(shù),若,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C. D.10.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或11.已知定義在R上的函數(shù)(m為實數(shù))為偶函數(shù),記,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.12.已知集合,則的值域為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域為,其圖象如圖所示.函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),滿足,且當(dāng)時,.給出下列三個結(jié)論:①;②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個零點;③不等式的解集為.其中,正確結(jié)論的序號是________.14.設(shè)滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_.15.已知雙曲線C:()的左、右焦點為,,為雙曲線C上一點,且,若線段與雙曲線C交于另一點A,則的面積為______.16.某校為了解家長對學(xué)校食堂的滿意情況,分別從高一、高二年級隨機(jī)抽取了20位家長的滿意度評分,其頻數(shù)分布表如下:滿意度評分分組合計高一1366420高二2655220根據(jù)評分,將家長的滿意度從低到高分為三個等級:滿意度評分評分70分70評分90評分90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意假設(shè)兩個年級家長的評價結(jié)果相互獨立,根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二年級各隨機(jī)抽取1名家長,記事件:“高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級”,則事件發(fā)生的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知點,若以線段為直徑的圓與軸相切.(1)求點的軌跡的方程;(2)若上存在兩動點(A,B在軸異側(cè))滿足,且的周長為,求的值.18.(12分)2019年入冬時節(jié),長春市民為了迎接2022年北京冬奧會,增強(qiáng)身體素質(zhì),積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項目中隨機(jī)選出100名參與者,并由專業(yè)的評估機(jī)構(gòu)對他們的鍛煉成果進(jìn)行評估打分(滿分為100分)并且認(rèn)為評分不低于80分的參與者擅長冰上運(yùn)動,得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)求的值;(2)將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運(yùn)動進(jìn)行統(tǒng)計,請將下列列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率在不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系?擅長不擅長合計男性30女性50合計1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中)19.(12分)(1)已知數(shù)列滿足:,且(為非零常數(shù),),求數(shù)列的前項和;(2)已知數(shù)列滿足:(?。θ我獾模唬áⅲθ我獾?,,且.①若,求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證:數(shù)列是等比數(shù)列,其中.20.(12分)在如圖所示的多面體中,四邊形是矩形,梯形為直角梯形,平面平面,且,,.(1)求證:平面.(2)求二面角的大小.21.(12分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點為,過點的直線與橢圓分別交于,若直線、、的斜率成等差數(shù)列,請問的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請說明理由.22.(10分)在四棱錐中,是等邊三角形,點在棱上,平面平面.(1)求證:平面平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值的最大值;(3)設(shè)直線與平面相交于點,若,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結(jié)合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,兩角差的正弦公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將與對比,即可求出結(jié)論.【詳解】由題知,,則.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小,注意與特殊數(shù)的對比,屬于基礎(chǔ)題..3、D【解析】

先求出的值域,再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)值域,由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為,故,當(dāng)時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞減;當(dāng)時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時,令,解得,故在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.又,且當(dāng)趨近于零時,趨近于正無窮;對函數(shù),當(dāng)時,;根據(jù)題意,對,且,使得成立,只需,即可得,解得.故選:D.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題,涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題,屬綜合困難題.4、B【解析】

將u=lny,v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2,利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計值.【詳解】解:將u=lny,v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得:,即,當(dāng)時,取到最大值2,因為在上單調(diào)遞增,則取到最大值.故選:B.【點睛】本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題,考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值,是基礎(chǔ)題,.5、C【解析】

設(shè)公差為,則由題意可得,解得,可得.令

,可得

當(dāng)時,,當(dāng)時,,由此可得數(shù)列前項和中最小的.【詳解】解:等差數(shù)列中,已知,且,設(shè)公差為,

則,解得

,.

,可得,故當(dāng)時,,當(dāng)時,,

故數(shù)列前項和中最小的是.故選:C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用,屬于中檔題.6、B【解析】

由平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,又,,,,..故選:.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

因為,所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.8、B【解析】

對分類討論,代入解析式求出,解不等式,即可求解.【詳解】函數(shù),由得或解得.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

首先求得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對選項逐一分析,由此確定正確選項.【詳解】由題意知復(fù)數(shù),則,所以A選項不正確;復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,所以B選項不正確;,所以C選項不正確;,所以D選項正確.故選:D【點睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想.10、D【解析】

根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因為,,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.11、B【解析】

根據(jù)f(x)為偶函數(shù)便可求出m=0,從而f(x)=﹣1,根據(jù)此函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可作出判斷.【詳解】解:∵f(x)為偶函數(shù);∴f(﹣x)=f(x);∴﹣1=﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,并且a=f(||)=f(),b=f(),c=f(2);∵0<<2<;∴a<c<b.故選B.【點睛】本題考查偶函數(shù)的定義,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間[0,+∞)上,根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大?。?2、A【解析】

先求出集合,化簡=,令,得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由,得,,令,,,所以得,在上遞增,在上遞減,,所以,即的值域為故選A【點睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法,換元法要注意新變量的范圍,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①③【解析】

利用奇函數(shù)和,得出函數(shù)的周期為,由圖可直接判斷①;利用賦值法求得,結(jié)合,進(jìn)而可判斷函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù),可判斷②的正誤;采用換元法,結(jié)合圖象即可得解,可判斷③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù),所以,又,所以,即,所以,函數(shù)的周期為.對于①,由于函數(shù)是上的奇函數(shù),所以,,故①正確;對于②,,令,可得,得,所以,函數(shù)在區(qū)間上的零點為和.因為函數(shù)的周期為,所以函數(shù)在內(nèi)有個零點,分別是、、、、,故②錯誤;對于③,令,則需求的解集,由圖象可知,,所以,故③正確.故答案為:①③.【點睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),涉及奇偶性、周期性和零點等知識點,考查學(xué)生分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合能力,屬于中等題.14、【解析】

根據(jù)滿足約束條件,畫出可行域,將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點,此時,目標(biāo)函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點此時,目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為故答案為:-1【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由已知得即,,可解得,由在雙曲線C上,代入即可求得雙曲線方程,然后求得直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點A坐標(biāo),借助,即可解得所求.【詳解】由已知得,又,,所以,解得或,由在雙曲線C上,所以或,所以或(舍去),因此雙曲線C的方程為.又,所以線段的方程為,與雙曲線C的方程聯(lián)立消去x整理得,所以,,所以點A坐標(biāo)為,所以.【點睛】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線方程的求解,考查求三角形面積,考查學(xué)生的計算能力,難度較難.16、0.42【解析】

高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況,分別求出三種情況的概率,再利用加法公式即可.【詳解】由已知,高一家長滿意等級為不滿意的概率為,滿意的概率為,非常滿意的概率為,高二家長滿意等級為不滿意的概率為,滿意的概率為,非常滿意的概率為,高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況:1.高一家長滿意,高二家長不滿意,其概率為;2.高一家長非常滿意,高二家長不滿意,其概率為;3.高一家長非常滿意,高二家長滿意,其概率為.由加法公式,知事件發(fā)生的概率為.故答案為:【點睛】本題考查獨立事件的概率,涉及到概率的加法公式,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)設(shè),則由題設(shè)條件可得,化簡后可得軌跡的方程.(2)設(shè)直線,聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達(dá)定理化簡并求得,結(jié)合焦半徑公式及弦長公式可求的值及的長.【詳解】(1)設(shè),則圓心的坐標(biāo)為,因為以線段為直徑的圓與軸相切,所以,化簡得的方程為.(2)由題意,設(shè)直線,聯(lián)立得,設(shè)(其中)所以,,且,因為,所以,,所以,故或(舍),直線,因為的周長為所以.即,因為.又,所以,解得,所以.【點睛】本題考查曲線方程以及拋物線中的弦長計算,還涉及到向量的數(shù)量積.一般地,拋物線中的弦長問題,一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程,再把已知等式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式,該關(guān)系中含有或,最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為某一個變量的方程.本題屬于中檔題.18、(1)(2)填表見解析;不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系【解析】

(1)利用頻率分布直方圖小長方形的面積和為列方程,解方程求得的值.(2)根據(jù)表格數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表,計算出的值,由此判斷不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系.【詳解】(1)由題意,解得.(2)由頻率分布直方圖可得不擅長冰上運(yùn)動的人數(shù)為.完善列聯(lián)表如下:擅長不擅長合計男性203050女性104050合計3070100,對照表格可知,,不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系.【點睛】本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖計算小長方形的高,考查列聯(lián)表獨立性檢驗,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2)①;②證明見解析.【解析】

(1)由條件可得,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,運(yùn)用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì),即可得到所求充要條件;②當(dāng),,,由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),化簡變形,即可得到所求結(jié)論.【詳解】解:(1),,且為非零常數(shù),,,可得,可得數(shù)列的首項為,公差為的等差數(shù)列,可得,前項和為;(2)①若,可令,,且,即,,,,對任意的,,可得,可得,,數(shù)列是等比數(shù)列,則,,可得,,即,又,即有,即,數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為;②證明:對任意的,,,,,當(dāng),,,可得,即以為首項、為公比的等比數(shù)列;同理可得以為首項、為公比的等比數(shù)列;對任意的,,可得,即有,所以對,,,可得,,即且,則,可令,故數(shù)列,,,,,,,,,是以為首項,為公比的等比數(shù)列,其中.【點睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用,考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式的運(yùn)用,考查分類討論思想方法和推理、運(yùn)算能力,屬于難題.20、(1)見解析;(2)【解析】

(1)根據(jù)面面垂直性質(zhì)及線面垂直性質(zhì),可證明;由所給線段關(guān)系,結(jié)合勾股定理逆定理,可證明,進(jìn)而由線面垂直的判定定理證明平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),并求得平面和平面的法向量,由空間向量法求得兩個平面夾角的余弦值,結(jié)合圖形即可求得二面角的大小.【詳解】(1)證明:∵平面平面ABEG,且,∴平面,∴,由題意可得,∴,∵,且,∴平面.(2)如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)平面的法向量是,則,令,,由(1)可知平面的法向量是,∴,由圖可知,二面角為鈍二面角,所以二面角的大小為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定,面面垂直及線面垂直的性質(zhì)應(yīng)用,空間向量法求二面角的大小,屬于中檔題.21、(1);(2)是,【解析】

(1)根據(jù)及可得,再將點代入橢圓的方程與聯(lián)立解出,即可求出橢圓的方程;(2)可設(shè)所在直線的方程為,,,,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,用根與系數(shù)的關(guān)系求出,然后將直

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