《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》提升版第三章第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性

第3講函數(shù)的奇偶性與周期性[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.2.了解周期性的概念和幾何意義．1．函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有eq\x(\s\up1(01))－x∈I且eq\x(\s\up1(02))f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且eq\x(\s\up1(03))f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)圖象特點(diǎn)關(guān)于eq\x(\s\up1(04))原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于eq\x(\s\up1(05))y軸對(duì)稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有eq\x(\s\up1(06))x＋T∈D，且eq\x(\s\up1(07))f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期，同時(shí)nT(n∈Z，n≠0)也是這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)eq\x(\s\up1(08))最小的正數(shù)，那么這個(gè)eq\x(\s\up1(09))最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．1．函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集．(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量的值互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量的值也互為相反數(shù)．2．周期性的三個(gè)常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a≠0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a≠0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a≠0)．3．對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(2)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱．1．(2023·北京豐臺(tái)區(qū)三模)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝lnx B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝3－|x|答案B解析對(duì)于A，y＝lnx為非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；對(duì)于B，y＝|x|＋1是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于C，y＝－x2＋1是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于D，y＝3－|x|是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合題意．故選B.2．(人教B必修第一冊(cè)習(xí)題3－1BT8改編)已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案B解析顯然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3).3.(人教A必修第一冊(cè)3.2.2練習(xí)T1改編)設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，若當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為_(kāi)_______．答案[－5，－2)∪(2，5]解析由圖象可知，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f(x)＞0；當(dāng)2＜x≤5時(shí)，f(x)＜0.又f(x)是偶函數(shù)，∴當(dāng)－2＜x＜0時(shí)，f(x)＞0；當(dāng)－5≤x＜－2時(shí)，f(x)＜0.綜上，不等式f(x)＜0的解集為[－5，－2)∪(2，5]．4．(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題3.2T11改編)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x＋1，則f(x)的解析式為_(kāi)_______．答案f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0))解析當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－x＋1，又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，∵f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0.))5．(2024·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋4)＝f(x)．當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－x2，則f(2023)＝________．答案－1解析因?yàn)閒(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.考向一函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x＞0，,x2＋2x－1，x＜0；))(3)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1，4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(5)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2).解(1)f(x)的定義域?yàn)閧－1，1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)解法一(定義法)：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)為奇函數(shù)．解法二(圖象法)：作出函數(shù)f(x)的圖象，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(3)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇－1，4]不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(4)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(5)由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2>0，所以f(x)＝eq\f(\r(1－x2),x)，定義域?yàn)閇－1，0)∪(0，1]．所以f(－x)＝eq\f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq\f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法(2)圖象法(3)性質(zhì)法在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．1.函數(shù)f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在函數(shù)f(x)的圖象上的是()A．(a，－f(a)) B．(a，f(－a))C．(－a，－f(a)) D．(－a，－f(－a))答案B解析∵f(－x)＝|－x3＋1|＋|－x3－1|＝|x3－1|＋|x3＋1|＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，∵(a，f(a))一定在函數(shù)f(x)的圖象上，而f(a)＝f(－a)，∴(a，f(－a))一定在函數(shù)f(x)的圖象上．故選B.2．(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析解法一：因?yàn)閒(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝－1＋eq\f(2,x＋1)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，－1)中心對(duì)稱，將其圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)(0，0)中心對(duì)稱，所以f(x－1)＋1為奇函數(shù)．故選B.解法二：因?yàn)閒(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq\f(1－（x－1）,1＋（x－1）)＝eq\f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq\f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)＝eq\f(－x,x＋2).對(duì)于A，F(xiàn)(x)＝f(x－1)－1＝eq\f(2－x,x)－1＝eq\f(2－2x,x)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不滿足F(x)＝－F(－x)，故F(x)不是奇函數(shù)；對(duì)于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq\f(2－x,x)＋1＝eq\f(2,x)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足G(x)＝－G(－x)，故G(x)為奇函數(shù)；對(duì)于C，f(x＋1)－1＝eq\f(－x,x＋2)－1＝－eq\f(2x＋2,x＋2)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，f(x＋1)＋1＝eq\f(－x,x＋2)＋1＝eq\f(2,x＋2)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)．故選B.考向二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2(1)(2024·南昌二中月考)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－log2x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝()A．－eq\f(1,4) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(5,4)答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－log2x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－log2\f(1,2)))＝－eq\f(5,4).故選D.(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·lneq\f(2x－1,2x＋1)為偶函數(shù)，則a＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,2) D．1答案B解析解法一：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，即(1＋a)lneq\f(1,3)＝(－1＋a)ln3，解得a＝0.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)，由(2x－1)·(2x＋1)>0，解得x>eq\f(1,2)或x<－eq\f(1,2)，則其定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．f(－x)＝(－x)lneq\f(2（－x）－1,2（－x）＋1)＝(－x)lneq\f(2x＋1,2x－1)＝(－x)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))eq\s\up12(－1)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，故此時(shí)f(x)為偶函數(shù)．故選B.解法二：設(shè)g(x)＝lneq\f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，且g(－x)＝lneq\f(－2x－1,－2x＋1)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝－lneq\f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)．若f(x)＝(x＋a)lneq\f(2x－1,2x＋1)為偶函數(shù)，則y＝x＋a也應(yīng)為奇函數(shù)，所以a＝0.故選B.(3)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－2x＋a，則a＝________；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝________．答案－1－2－x－2x＋1解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－2x－1，設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－2－x－2x＋1.已知函數(shù)奇偶性可以解決的四個(gè)問(wèn)題求函數(shù)值利用函數(shù)奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解求解析式將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用函數(shù)奇偶性求出求參數(shù)利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的方程(組)求得參數(shù)畫(huà)圖象利用奇偶性可畫(huà)出對(duì)稱區(qū)間上的圖象并解決單調(diào)性等相關(guān)問(wèn)題1.(2023·茂名模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a,ex)))cos3x是偶函數(shù)，則a＝________．答案－1解析因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a,ex)))cos3x是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)恒成立，所以(e－x－aex)cos3x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a,ex)))cos3x，整理得(a＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,ex)))＝0恒成立，所以a＝－1.2．(2024·襄陽(yáng)五中階段考試)已知函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，f(x)＋g(x)＝2×3x，則函數(shù)f(x)＝________．答案3x＋3－x解析因?yàn)閒(x)＋g(x)＝2×3x，所以f(－x)＋g(－x)＝2×3－x，又f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝2×3－x，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＋g（x）＝2×3x，,f（x）－g（x）＝2×3－x，))兩式相加，得2f(x)＝2×3x＋2×3－x，所以f(x)＝3x＋3－x.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________．答案2解析顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)＝1＋eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，設(shè)g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，則g(－x)＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.考向三函數(shù)的周期性例3(1)(2023·武漢二模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2，則下列是周期函數(shù)的是()A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋xC．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x答案D解析依題意，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期為1的周期函數(shù)．故選D.(2)(2022·新高考Ⅱ卷改編)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1.①證明：函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；②證明：函數(shù)f(x)為周期函數(shù)；③求eq\o(∑,\s\up7(22),\s\do7(k=1))f（k）.解①證明：因?yàn)閒（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），令x＝1，y＝0，可得2f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2，令x＝0，可得f（y）＋f（－y）＝2f（y），即f（y）＝f（－y），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù).②證明：令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）f（1）＝f（x），即有f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1），從而可得f（x＋2）＝－f（x－1），f（x－1）＝－f（x－4），故f（x＋2）＝f（x－4），即f（x）＝f（x＋6），所以函數(shù)f（x）是周期為6的周期函數(shù).③令x＝y(tǒng)＝1，可得f（2）＝[f（1）]2－f（0）＝1－2＝－1，令x＝2，y＝1，可得f（3）＝f（2）f（1）－f（1）＝－1×1－1＝－2，f（4）＝f（－2）＝f（2）＝－1，f（5）＝f（－1）＝f（1）＝1，f（6）＝f（0）＝2，所以一個(gè)周期內(nèi)的f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0.由于22除以6余4，所以eq\o(∑,\s\up7(22),\s\do7(k=1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用1.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x都有f(x＋2)＝eq\f(13,f（x）)且f(2)＝2，則f(2024)＝________．答案eq\f(13,2)解析因?yàn)閒(x＋2)＝eq\f(13,f（x）)，所以f(2)＝eq\f(13,f（0）)，又f(2)＝2，所以f(0)＝eq\f(13,2)，因?yàn)閒(x＋4)＝eq\f(13,f（x＋2）)＝eq\f(13,\f(13,f（x）))＝f(x)，所以f(x)的周期為4，所以f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝eq\f(13,2).2．(2024·成都模擬)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案7解析因?yàn)楫?dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)＝0，則f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)有7個(gè)．考向四函數(shù)圖象的對(duì)稱性例4(1)(2024·河南部分學(xué)校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,x2－6x＋18)，則()A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱 D．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3，1)對(duì)稱答案D解析由f(－x)＝eq\f(x2,x2＋6x＋18)，易知A，B不正確；由題意得f(2)＝eq\f(2,5)，f(4)＝eq\f(8,5)，故f(2)≠f(4)，故C不正確；f(x)＝eq\f(x2,（x－3）2＋9)，故f(6－x)＋f(x)＝eq\f(（6－x）2,（3－x）2＋9)＋eq\f(x2,（x－3）2＋9)＝eq\f(2x2－12x＋36,（x－3）2＋9)＝2，故f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3，1)對(duì)稱，故D正確．故選D.(2)(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱B．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱C．4為f(x)的周期D．y＝f(x＋4)為偶函數(shù)答案ACD解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故A正確，B錯(cuò)誤；∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴4為f(x)的周期，故C正確；∵4為f(x)的周期且f(x)為偶函數(shù)，故y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，故D正確．故選ACD.1．由函數(shù)奇偶性延伸可得到一些對(duì)稱性結(jié)論，如函數(shù)f(x＋a)為偶函數(shù)(奇函數(shù))，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱)．2．函數(shù)圖象自身對(duì)稱的兩個(gè)結(jié)論(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．特別地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(2)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，即f(x)＋f(2a－x)＝2b，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱．提醒：函數(shù)圖象自身對(duì)稱性滿足的等式與函數(shù)周期性容易混淆，區(qū)別是前者和為常數(shù)，后者差為常數(shù)．(2023·海口模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)＝|x－2|·f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，若f(－1)＝－1，則g(3)＝()A．5 B．1C．－1 D．－5答案B解析因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，則g(x＋2)＝|x|f(x＋2)是偶函數(shù)，g(2－x)＝|－x|f(2－x)＝|x|f(2－x)，所以|x|f(2－x)＝|x|f(x＋2)對(duì)任意的x∈R恒成立，所以f(2－x)＝f(2＋x)，因?yàn)閒(－1)＝－1且f(x)為奇函數(shù)，所以f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝－f(－1)＝1，因此g(3)＝|3－2|f(3)＝1.故選B.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·丹東模擬)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝lgx B．y＝eq\r(3,x)C．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x) D．y＝eq\f(x2,x＋1)答案C解析函數(shù)y＝lgx的定義域?yàn)?0，＋∞)，定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A不符合題意；函數(shù)y＝eq\r(3,x)的定義域?yàn)镽，則f(－x)＝eq\r(3,－x)＝－eq\r(3,x)＝－f(x)，故該函數(shù)為奇函數(shù)，故B不符合題意；函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)的定義域?yàn)镽，則f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)＝f(x)，故該函數(shù)為偶函數(shù)，故C符合題意；函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋1)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1，＋∞)，故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故D不符合題意．故選C.2．(2023·成都二模)若函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝eq\f(x,4－2x)，則f(23)＝()A．－1 B．－eq\f(1,2)C．0 D.eq\f(1,2)答案B解析依題意，因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，所以f(23)＝f(4×5＋3)＝f(3)．又因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(1)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝eq\f(x,4－2x)，所以f(1)＝eq\f(1,4－2×1)＝eq\f(1,2)，所以f(3)＝－f(1)＝－eq\f(1,2).故選B.3．(2023·上饒一模)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3，若f(a)＝－1，則f(－a)＝()A．3 B．5C．6 D．7答案D解析函數(shù)f(x)＝sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－eq\f(1,x)＋3＋sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3＝－sinx－x3－eq\f(1,x)＋sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋6＝6，若f(a)＝－1，則f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故選D.4．已知函數(shù)f(x)＝x(x－a)＋b，若函數(shù)y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(1)＝0，則b的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2答案C解析解法一：由f(x＋1)＝(x＋1)(x＋1－a)＋b＝x2＋(2－a)x＋1－a＋b為偶函數(shù)，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，所以b＝1.故選C.解法二：由y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，知y＝f(x＋1)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，而y＝f(x＋1)的圖象是由y＝f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，因而y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，故f(x)＝x(x－a)＋b圖象的對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(a,2)＝1，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，故b＝1.故選C.5．(2023·晉中二模)已知函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(16,2x)(x∈R)，則f(x)的圖象()A．關(guān)于直線x＝2對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱C．關(guān)于直線x＝0對(duì)稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱答案B解析f(x)＝2x－24－x，則f(4－x)＝24－x－24－(4－x)＝24－x－2x，所以f(x)＋f(4－x)＝0，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱．故選B.6．(2024·安慶、池州、銅陵三市開(kāi)學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ln(2x＋eq\r(4x2＋a))為奇函數(shù)，則f(eq\r(2))＝()A．ln(eq\r(2)－1) B．ln(eq\r(2)＋1)C．2ln(eq\r(2)－1) D．2ln(eq\r(2)＋1)答案D解析由已知f(－x)＝ln(－2x＋eq\r(4x2＋a))＝lneq\f(（－2x＋\r(4x2＋a)）（2x＋\r(4x2＋a)）,2x＋\r(4x2＋a))＝lneq\f(a,2x＋\r(4x2＋a))，因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，所以f(x)＋f(－x)＝ln(2x＋eq\r(4x2＋a))＋lneq\f(a,2x＋\r(4x2＋a))＝lna＝0，所以a＝1，故f(x)＝ln(2x＋eq\r(4x2＋1))，所以f(eq\r(2))＝ln(2eq\r(2)＋3)＝2ln(eq\r(2)＋1)．7．(2023·張家口一模)下列函數(shù)是奇函數(shù)，且函數(shù)值恒小于1的是()A．f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1) B．f(x)＝－x2＋xC．f(x)＝|sinx| D．f(x)＝xeq\f(1,3)＋x－eq\f(1,3)答案A解析對(duì)于A，f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，則f(x)是奇函數(shù)，f(x)＝eq\f(2x＋1－2,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)<1，故A正確；對(duì)于B，f(－x)＝－x2－x≠－f(x)，f(x)不是奇函數(shù)，不滿足條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，f(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|＝f(x)，f(x)是偶函數(shù)，不滿足條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，f(x)＝eq\r(3,x)＋eq\f(1,\r(3,x))，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，f(8)＝eq\r(3,8)＋eq\f(1,\r(3,8))＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)>1，不滿足條件，故D錯(cuò)誤．故選A.8．(2023·南通二模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，y＝f(x)＋ex是偶函數(shù)，y＝f(x)－3ex是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的最小值為()A．e B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．2e答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)＋ex是偶函數(shù)，則f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－f(－x)＝e－x－ex①，又因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)－3ex是奇函數(shù)，則f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x②，聯(lián)立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2eq\r(ex·2e－x)＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)ex＝2e－x，即x＝eq\f(1,2)ln2時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)f(x)的最小值為2eq\r(2).故選B.二、多項(xiàng)選擇題9．(2023·臨沂一模)已知f(x)＝x3g(x)為定義在R上的偶函數(shù)，則函數(shù)g(x)的解析式可以是()A．g(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x) B．g(x)＝3x－3－xC．g(x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1) D．g(x)＝ln(eq\r(x2＋1)＋x)答案BD解析因?yàn)閒(x)＝x3g(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函數(shù)．對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)?－1，1)，A不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)镽，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，B符合題意；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)镽，g(－x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2－x＋1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2x,1＋2x)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,1＋2x)≠－g(x)，C不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)镽，g(－x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)＋ln(eq\r(x2＋1)＋x)＝0，D符合題意．故選BD.10．(2024·衡水模擬)已知函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝3，則函數(shù)f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝x＋eq\f(1,x＋3) B．f(x)＝ex－3＋e3－xC．f(x)＝x4－18x2 D．f(x)＝|x2－6x|答案BD解析若函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝3，則f(6－x)＝f(x)．對(duì)于A，f(6－x)＝6－x＋eq\f(1,9－x)≠f(x)，A不符合題意；對(duì)于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，B符合題意；對(duì)于C，∵f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648，∴f(0)≠f(6)，即f(6－x)＝f(x)不恒成立，C不符合題意；對(duì)于D，f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x)，D符合題意．故選BD.11．(2023·襄陽(yáng)二模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：x為整數(shù)時(shí)，f(x)＝2024；x不為整數(shù)時(shí)，f(x)＝0，則()A．f(x)是奇函數(shù) B．f(x)是偶函數(shù)C．?x∈R，f(f(x))＝2024 D．f(x)的最小正周期為1答案BCD解析對(duì)于A，f(1)＝2024，f(－1)＝2024，f(－x)＝－f(x)不恒成立，則f(x)不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若x為整數(shù)，則－x也是整數(shù)，則有f(x)＝f(－x)＝2024，若x不為整數(shù)，則－x也不為整數(shù)，則有f(x)＝f(－x)＝0，綜上可得f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函數(shù)，B正確；對(duì)于C，若x為整數(shù)，f(x)＝2024，x不為整數(shù)時(shí)，f(x)＝0，總之f(x)是整數(shù)，則f(f(x))＝2024，C正確；對(duì)于D，若x為整數(shù)，則x＋1也為整數(shù)，若x不為整數(shù)，則x＋1也不為整數(shù)，總之有f(x＋1)＝f(x)，f(x)的周期為1，若t(0＜t＜1)也是f(x)的周期，而x和x＋t可能一個(gè)是整數(shù)，另一個(gè)不是整數(shù)，則有f(x)≠f(x＋t)，故f(x)的最小正周期為1，D正確．故選BCD.三、填空題12．(2024·湖北部分名校模擬)已知函數(shù)y＝f(x)，對(duì)任意x∈R，都有f(x＋3)f(x)＝k(k為常數(shù))，且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)＝x2＋1，則f(2023)＝________．答案2解析因?yàn)閷?duì)任意x∈R，都有f(x＋3)f(x)＝k，k為常數(shù)，所以f(x＋6)f(x＋3)＝k，從而f(x＋6)＝f(x)，即f(x)的周期為6，所以f(2023)＝f(1)＝2.13．(2024·金華一中質(zhì)檢)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈(－1，1]時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋m，－1<x<0，,\r(x)，0≤x≤1，))其中m∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，則m的值是________．答案1解析由題意得，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋m＝－eq\f(3,4)＋m，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝eq\r(\f(1,16))＝eq\f(1,4)，所以eq\f(1,4)＝－eq\f(3,4)＋m，解得m＝1.14．(2024·上海市七寶中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，給出下列命題：①若對(duì)任意x∈R，均有|f(x)|＝1，則f(x)一定不是奇函數(shù)；②若對(duì)任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，則f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)；③若對(duì)任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，則f(x)必為偶函數(shù)；④若對(duì)任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，且f(x)為R上的增函數(shù)，則f(x)必為奇函數(shù)．其中為真命題的是________(請(qǐng)寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))．答案①③解析對(duì)于①，對(duì)任意x∈R，均有|f(x)|＝1，則|f(0)|＝1，但奇函數(shù)中f(0)＝0，矛盾，所以f(x)一定不是奇