第02講 三角恒等變換（和差公式、倍角公式、升降冪公式、輔助角公式）（教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復(fù)習考點幫

Page第02講三角恒等變換（和差公式、倍角公式、升降冪公式、輔助角公式）（14類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第4題,5分用和、差角的余弦公式化簡、求值三角函數(shù)的化簡、求值同角三角函數(shù)基本關(guān)系2024年新I卷，第13題,5分用和、差角的正切公式化簡、求值同角三角函數(shù)基本關(guān)系2023年新I卷，第8題,5分用和、差角的正弦公式化簡、求值二倍角的余弦公式三角函數(shù)求值2023年新Ⅱ卷，第7題,5分半角公式、二倍角的余弦公式無2023年新Ⅱ卷，第16題,5分由圖象確定正(余)弦型函數(shù)解析式特殊角的三角函數(shù)值2022年新Ⅱ卷，第6題,5分用和、差角的余弦公式化簡、求值用和、差角的正弦公式化簡、求值無2021年新I卷，第6題,5分二倍角的正弦公式正、余弦齊次式的計算三角函數(shù)求值2021年新I卷，第10題,5分逆用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的余弦公式數(shù)量積的坐標表示坐標計算向量的模2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等或偏難，分值為5-11分【備考策略】1.推導(dǎo)兩角差余弦公式，理解兩角差余弦公式的意義2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式3.能推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運用公式解決相關(guān)的求值與化簡問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式變形應(yīng)用和半角公式變形應(yīng)用，需加強復(fù)習備考知識講解正弦的和差公式余弦的和差公式正切的和差公式正弦的倍角公式 余弦的倍角公式升冪公式：，降冪公式：，正切的倍角公式半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).以上稱之為半角公式，符號由eq\f(α,2)所在象限決定．萬能公式和差化積與積化和差公式推導(dǎo)公式輔助角公式，，其中，考點一、正弦兩角和與差的基本應(yīng)用1．（福建·高考真題）等于（）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】由題得原式=，再利用和角的正弦公式化簡計算.【詳解】由題得原式=.故選C【點睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式和和角的正弦公式的運用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2．（全國·高考真題）=A． B．C． D．【答案】D【詳解】原式===，故選D.考點：本題主要考查誘導(dǎo)公式與兩角和與差的正余弦公式.3．（2020·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.4．（2024·全國·高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.【答案】【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得，再縮小的范圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【詳解】法一：由題意得，因為，，則，，又因為，則，，則，則，聯(lián)立，解得.法二：因為為第一象限角，為第三象限角，則,，，則故答案為：.1．（2024高三·全國·專題練習）．【答案】【分析】先利用誘導(dǎo)公式得，再利用兩角和的正弦公式求解.【詳解】．故答案為：2．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出角的正余弦值，再利用差角的正弦公式計算即得.【詳解】由題意，.則.故選：D.3．（2024高三·全國·專題練習）化簡：．【答案】/【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式和特殊角的三角函數(shù)值得出答案；【詳解】原式．故答案為：.4．（2024·河南·三模）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦的差角公式結(jié)合弦切關(guān)系分別計算，再根據(jù)和角公式計算即可.【詳解】因為，又，即，則，所以，故.故選：D5．（2024·云南·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用兩角和與差的三角函數(shù)，準確運算，即可求解.【詳解】由，即，所以.故選：A.考點二、余弦兩角和與差的基本應(yīng)用1．（高考真題）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化，原式=sin163°?sin223°+cos163°cos223°再通過兩角和公式化簡，轉(zhuǎn)化成特殊角得出結(jié)果．【詳解】原式=sin163°?sin223°+cos163°cos223°=cos（163°-223°）=cos（-60°）=.故選A.【點睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式應(yīng)用及兩角和與差的余弦公式．要熟記公式是關(guān)鍵．2．（2024·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關(guān)系，結(jié)合的值可求前者，故可求的值.【詳解】因為，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.3．（2023·全國·高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.【詳解】因為，而，因此，則，所以.故選：B【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．1．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，，再由兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】因為，即，即角的終邊經(jīng)過點，所以，，所以.故選：D2．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平方關(guān)系求出，然后由余弦的兩角差公式可得.【詳解】因為，，，，所以，所以.故選：A3．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先對進行化簡整理，得到，求得結(jié)果.【詳解】，所以.故選：A.4．（23-24高三下·江蘇揚州·開學考試）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角余弦的和差公式結(jié)合二倍角公式求解即可.【詳解】由題意得，又，則，解得，，故，則，故選：C5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)二倍角的正弦公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再根據(jù)兩角差的余弦公式即可得解.【詳解】因為，所以，因為，所以，，，所以.故選：B．考點三、正切兩角和與差的基本應(yīng)用1．（2019·全國·高考真題）tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+【答案】D【分析】本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計算，進一步應(yīng)用兩角和的正切公式計算求解．題目較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．【詳解】詳解：=【點睛】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運算求解能力．2．（重慶·高考真題）若,則A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，故選A.考點：兩角和與差的正切公式．3．（2024·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以，，所以，故選：B.4．（2020·全國·高考真題）已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.5．（2022·全國·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.1．（2024·山西呂梁·二模）已知角的頂點在原點，始邊在軸的正半軸上，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，即可利用和差角公式求解，或者根據(jù)特殊角得，代入求解.【詳解】方法一；由角終邊經(jīng)過點，可得，所以.故選：A.方法二：角終邊經(jīng)過點，故為第二象限角，，則，則.故選:A.2．（2024·重慶·三模）已知，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式得到，即可求出，再由兩角和的正切公式展開計算可得.【詳解】因為，所以，即，所以，則，解得.故選：B3．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B．7 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)已知及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系弦化切，再根據(jù)正切的和角公式計算即可.【詳解】因為，整理得，所以，又.故選：B4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和差的正余弦公式展開，兩邊同除，得到.再利用兩角差的正切公式展開，將換成，化簡即可得到答案.【詳解】，所以，兩邊同除，得到，即.，.故選：C.5．（2024·貴州黔東南·二模）已知，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】找出和的關(guān)系，求出和即可求解.【詳解】，，①，，，②，由①②解得或，，，，.故選：C.考點四、拼湊角思想在三角恒等變換中求值1．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，，求出，計算，再利用兩角差的正弦公式得到展開即可.【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以，所以由兩角差的正弦公式得，所以.故選：C.2．（浙江·高考真題）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，則cos（α+）=（）A． B．﹣ C． D．﹣【答案】C【詳解】∵0＜a＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故選C3．（23-24高三下·浙江金華·階段練習）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知結(jié)合兩角差的余弦公式可先求出，然后結(jié)合二倍角公式及和差化積公式進行化簡即可求解．【詳解】由得，又，所以，所以．故選：C．4．（22-23高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】注意到，后結(jié)合，，利用二倍角，兩角和的正弦公式可得答案.【詳解】因，則，又，則，得.因，則.又，則，結(jié)合，則，得，則.又注意到，則.故選：B1．（2024·河北石家莊·三模）已知角滿足，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】借助對已知化簡，可求出的值，再由可解.【詳解】因為，即，所以，整理得，變形得，所以.故選：C2．（2024·山西·三模）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)結(jié)合的范圍分析可得，，再根據(jù)結(jié)合的范圍分析可得，由結(jié)合兩角和差公式分析求解.【詳解】因為，則，且，則，可得，，又因為，則，且，可得，，所以.故選：D.3．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知都是銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得，再由的單調(diào)性，求得，利用兩角差的余弦公式，求得，結(jié)合余弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由與均為銳角，且，所以，因為，可得，，又因為在上單調(diào)遞減，且，所以，因為，所以，所以，則.故選：A.考點五、拼湊角思想在三角恒等變換中求角1．（23-24高三上·貴州銅仁·階段練習）已知，且和均為鈍角，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)角度范圍求解，再求解，結(jié)合角度范圍判斷即可.【詳解】∵和均為鈍角，∴，．∴．由和均為鈍角，得，∴．故選：D2．（2024高三·全國·專題練習）已知,,且,,則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的正切公式求出,再根據(jù)結(jié)合兩角和的正切公式求得,根據(jù)求出,從而可得的范圍,即可得出的范圍,即可得解.【詳解】因為,所以,故,由,所以,又,所以,故,所以.故選：A.3．（22-23高三·全國·期末）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用三角函數(shù)恒等變換進行湊角化簡，再根據(jù)，的范圍即可求出結(jié)果.【詳解】由已知可將，，則，，，即或．又，所以，所以，所以選項A，B錯誤，即，則，所以．則C錯，D對，故選：D1．（2023高三·全國·專題練習）已知，，且，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可求得，利用兩角和差余弦公式可求得，結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】，，，，，又，.故選：B.2．（22-23高三上·山東青島·期中）已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角差的正弦公式求出的值，即可得解.【詳解】因為，則，因為，則，可得，因為，則，，所以，，，所以，，所以，.故選：A.3．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，，，，則（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】求出、的范圍，利用平方關(guān)系求出、，再由求出，結(jié)合的范圍可得答案.【詳解】因為，所以，所以，因為，，所以，所以，又由知又因為，所以.故選：B.考點六、正弦倍角公式的應(yīng)用1．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合倍角公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求出結(jié)果.【詳解】，故選：A.2．（2024·河南·二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對已知等式兩邊平方結(jié)合平方關(guān)系、二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可運算求解.【詳解】.故選：D.3．（2024·四川自貢·三模）已知角滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題意運用倍角公式和化正弦余弦為正切，即可求解.【詳解】由得，即，.故選：D.1．（2024·山東濟南·三模）若，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由同角的三角函數(shù)和二倍角公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)計算可得.【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B2．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知，則（

）A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】由已知可得，利用，可求值.【詳解】因為，所以，所以．故選：D.考點七、余弦倍角公式的應(yīng)用1．（山東·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)余弦二倍角公式計算即可得到答案.【詳解】.故選：D【點睛】本題主要考查余弦二倍角公式，屬于簡單題.2．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】因為.對于A選項，當時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項，當時，，則在上不單調(diào)，B錯；對于C選項，當時，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項，當時，，則在上不單調(diào)，D錯.故選：C.3．（2021·全國·高考真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.4．（全國·高考真題）函數(shù)的最小正周期是A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)利用平方差公式及二倍角公式化成最簡，在代入公式求周期．【詳解】，∴函數(shù)的最小正周期.選B【點睛】本題關(guān)鍵是把函數(shù)化成的形式，屬基礎(chǔ)題．1．（2020·全國·高考真題）若，則．【答案】【分析】直接利用余弦的二倍角公式進行運算求解即可.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024·北京順義·三模）已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù)且周期為 B．為奇函數(shù)且在上有最小值C．為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減 D．為奇函數(shù)且為一個對稱中心【答案】C【分析】由二倍角公式得，再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：因為，所以，函數(shù)為偶函數(shù)且周期為，在上單調(diào)遞減.所以，ABD選項錯誤，C選項正確.故選：C3．（2022·浙江·高考真題）若，則，．【答案】【分析】先通過誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來再求．【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.故答案為：；.[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程∵，∴，即，又，將代入得，解得，則.故答案為：；.考點八、升冪公式與降冪公式的應(yīng)用1．（浙江寧波·期末）=A． B． C． D．【答案】A【分析】利用降次公式求得所求表達式的值.【詳解】依題意.故選：A【點睛】本小題主要考查降次公式，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若，則．【答案】【分析】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角余弦公式的應(yīng)用.根據(jù)，，解得，結(jié)合二倍角余弦公式進行解答即可．【詳解】因為可得，因為，可得，解得或（舍去）所以．故答案為:．3．（2024·浙江·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡等式，在利用二倍角公式計算得到結(jié)果；【詳解】∵，∴，∴，故選：A．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為銳角，滿足，則，．【答案】//【分析】由，利用兩角和與差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出；再用余弦的二倍角公式求出.【詳解】因為，所以，又，所以，因為為銳角，所以為銳角，又，所以，又，所以，所以．故答案為：；.1．（2024·浙江紹興·二模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由降冪公式求出，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可．【詳解】由已知得，，即，則，故選：D．2．（2024·安徽合肥·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由輔助角公式得，再利用誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式即可求解.【詳解】由得，即，所以，故選：D3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知，則．【答案】【分析】先將條件式化簡可得，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式將所求式子變形得解.【詳解】由，得，即，所以，所以.故答案為：.4．（2024·黑龍江·三模）已知，則.【答案】/【分析】已知，由兩角和的余弦公式求得，再由兩角和的余弦公式求，倍角公式求.【詳解】因為，而，因此，則，所以.故答案為：.5．（2024·湖南長沙·二模）已知，則【答案】/【分析】由，結(jié)合兩角和的余弦公式化簡條件可求得，再利用二倍角的余弦公式求即可.【詳解】因為，所以，所以，所以所以.故答案為：考點九、正切倍角公式的應(yīng)用1．（2024高三·全國·專題練習）若，則．【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡已知，得，再利用二倍角公式求解.【詳解】因為，則，所以．故答案為：2．（2024·安徽合肥·三模）已知，則.【答案】【分析】利用兩角和差的正切公式計算，再使用二倍角的正切公式即可.【詳解】由，且，得，整理得，解得（舍）或，所以．故答案為：.3．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用倍角公式，化簡得到，求得，再結(jié)合正切的倍角公式，即可求解.【詳解】因為，可得，因為，可得，所以，即，可得，即，所以，則，即，解得或因為，可得，所以.故選：B.1．（2024高三·全國·專題練習）．【答案】【分析】利用二倍角公式計算可得.【詳解】.故答案為：2．（2024·遼寧沈陽·二模）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)結(jié)合可得與，進而可得.【詳解】則，即，又因為，故，，，故，因為，則，結(jié)合可得，，則.故.故選：C3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．13【答案】B【分析】根據(jù)題意及二倍角公式、誘導(dǎo)公式、兩角差的正切公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解．【詳解】由，則，所以，所以．又因為，則，，所以，則．故選：B．考點十、半角公式的應(yīng)用1．（2023·全國·高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因為，而為銳角，解得：．故選：D．2．（2024·湖南邵陽·二模）已知為銳角，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平方關(guān)系以及半角公式（二倍角公式）運算即可求解.【詳解】已知為銳角，若，則，所以.故選：A.3．（2023·浙江·二模）數(shù)學里有一種證明方法叫做Proofwithoutwords，也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時被認為比嚴格的數(shù)學證明更為優(yōu)雅與有條理.如下圖，點為半圓上一點，，垂足為，記，則由可以直接證明的三角函數(shù)公式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形中的定義寫出，用表示出，然后分析可得．【詳解】由已知，則，，又，，，，因此，故選：C．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知角是第二象限角，且終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求出和的值，再利用求解即可.【詳解】∵角是第二象限角，且終邊經(jīng)過點，∴，，∴.故選：C．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是銳角，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)倍角公式的變形求出，，再由兩角和的余弦公式求解.【詳解】因為是銳角，所以，因為，，所以，，所以．故選：D．3．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與半角公式求解即可【詳解】因為，，所以，因為，所以，，所以，，所以，則，故選：B.考點十一、輔助角公式的應(yīng)用1．（2024·全國·高考真題）函數(shù)在上的最大值是．【答案】2【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.【詳解】，當時，，當時，即時，.故答案為：22．（2020·北京·高考真題）若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個取值為．【答案】（均可）【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得，可得，即可解出.【詳解】因為，所以，解得，故可取.故答案為：（均可）.【點睛】本題主要考查兩角和的正弦公式，輔助角公式的應(yīng)用，以及平方關(guān)系的應(yīng)用，考查學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．（全國·高考真題）設(shè)當時，函數(shù)取得最大值，則.【答案】；【詳解】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，當x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時，函數(shù)f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.4．（2024高三·湖北·二模）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則當取得最大值時，.【答案】【分析】由正弦定理可求出的外接圓半徑，借助于正弦定理進行邊化角運算可得，在中，，由兩角和的正弦公式展開代入的正余弦值計算，由輔助角公式即可求出結(jié)果.【詳解】解：，，設(shè)外接圓半徑為．則，得，則，其中，，．當．即時，取得最大值，此時．所以.故答案為：1．（2024·湖北·二模）函數(shù)，當取得最大值時，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由輔助角公式、誘導(dǎo)公式直接運算即可求解.【詳解】，其中，而，等號成立當且僅當，此時.故選：B.2．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)．設(shè)時，取得最大值．則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用輔助角公式求出，再利用誘導(dǎo)公式以及正弦的和差角公式可得答案.【詳解】，其中；所以當時，，取得最大值，由題意，即..故選：C3．（2024·山東·模擬預(yù)測）若函數(shù)的最大值為，則常數(shù)的一個取值為．【答案】（答案不唯一，滿足即可）【分析】利用和（差）角公式化簡，再判斷，利用輔助角公式化簡，再結(jié)合函數(shù)的最大值，求出.【詳解】因為，若，則，所以或，顯然不滿足的最大值為，所以，則，（其中），依題意可得，即，所以，所以，解得.故答案為：（答案不唯一，滿足即可）4．（2024·河北保定·三模）已知銳角，（）滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用輔助角公式化簡已知函數(shù)，得到正弦型函數(shù)，再利用自變量的范圍得到函數(shù)是不單調(diào)的，所以自變量不相等但函數(shù)值相等的情形就是兩角互補，從而就可以通過運算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，其中，，，當時，，此時在，有增有減，又因為，且，所以，所以，所以.故選：D.考點十二、萬能公式的綜合應(yīng)用1．（21-22高三上·四川成都·階段練習）已知為銳角且，則的值是．【答案】/-0.6【分析】由題意首先求得的值，然后利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求得三角函數(shù)式的值即可.【詳解】由，得，解得，或.因為為銳角，故.故答案為:.2．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）已知，則．【答案】【分析】由條件等式右邊含有，可聯(lián)想到中分離出來處理，設(shè)，待求表達式中用表示，結(jié)合萬能公式進行求解.【詳解】設(shè)，于是，整理可得，根據(jù)萬能公式，，整理可得，由可得，，故，根據(jù)誘導(dǎo)公式，，根據(jù)兩角和的正切公式，，故.故答案為：1．（2022·四川眉山·模擬預(yù)測）若，，則的值為（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】結(jié)合二倍角公式化簡可求，再結(jié)合萬能公式可求.【詳解】因為，，所以且，解得，所以.故選：D2．（2024高三·全國·專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角恒等變換公式化簡求解即可.【詳解】由可得，得，則，，故．故選：C.考點十三、積化和差與和差化積公式的綜合應(yīng)用1．（2024高三·全國·專題練習）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)和差化積公式化簡，得到，再利用正切二倍角公式求出答案.【詳解】由和差化積公式，得，，所以．所以．故選：A．2．（2024·安徽阜陽·一模）已知，則，.【答案】【分析】第一空，將已知條件兩邊同時平方兩式相加，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系與余弦函數(shù)的和差公式即可求解；第二空，利用三角函數(shù)的和差公式得到，再利用倍角公式化簡轉(zhuǎn)化即可得解.【詳解】由可得，即，由可得，即，兩式相加可得，即，解得；因為，，所以，所以．故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)半角公式的轉(zhuǎn)化，從而得解.3．（2024·廣東·一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用余弦的二倍角及積化和差公式，得到，從而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，得到，又，所以，所以，故選：B.1．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)結(jié)合兩角和差的余弦公式化簡即可得解.【詳解】，，所以.故選：D.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知角，，滿足，且，則()()()=（

）A．0 B．1C． D．【答案】A【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式與和差化積公式進行求值.【詳解】因為.由和差化積公式得：.所以或或.若，則；同理，當或時，都有.故選：A考點十四、三角恒等變換的綜合應(yīng)用1．（23-24高二上·湖南長沙·期末）函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求最大值，也可以利用萬能公式統(tǒng)一三角函數(shù)名，再利用換元法結(jié)合四元基本不等式求解即可.【詳解】法一：不妨設(shè)，則，整理得到:,當時，；當時，，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，而，，故的最大值為.法二：由萬能公式得，，代入原式并化簡得，令，因為題設(shè)中欲求最大值，故可設(shè),故原式轉(zhuǎn)化為，當且僅當時取等，顯然最大值為.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求三角函數(shù)的最大值，解題關(guān)鍵是利用萬能公式統(tǒng)一三角函數(shù)名，然后再用四元基本不等式求解，本題也可以直接利用導(dǎo)數(shù)計算.2．（2024·新疆·一模）已知:，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等變換計算即可.【詳解】由，則.故選：D【點睛】思路點睛：利用等式條件及正弦的和差角公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系得出，再根據(jù)特殊角及正弦的差角公式與誘導(dǎo)公式計算即可.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知角滿足：，其中，，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】利用和差化積公式和二倍角公式求解即可.【詳解】因為，，所以，又，于是由可得，即，所以或．因為，所以，所以，即，所以，即，所以，即.故選：B．4．（2024·遼寧丹東·一模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先結(jié)合二倍角公式、半角公式以及角的范圍將已知等式變形為，解得，兩邊平方即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，即，所以，即，所以.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得出，由此即可順利得解.1．（2024·安徽阜陽·一模）已知，則，.【答案】【分析】第一空，將已知條件兩邊同時平方兩式相加，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系與余弦函數(shù)的和差公式即可求解；第二空，利用三角函數(shù)的和差公式得到，再利用倍角公式化簡轉(zhuǎn)化即可得解.【詳解】由可得，即，由可得，即，兩式相加可得，即，解得；因為，，所以，所以．故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)半角公式的轉(zhuǎn)化，從而得解.2．（2024·重慶·三模）已知函數(shù)滿足.若是方程的兩根，則=.【答案】0【分析】法一：令，根據(jù)三角變換得，則，從而，利用韋達定理得，即可求得.法二：利用韋達定理得，設(shè)，則可取，代入解析式利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可.【詳解】法一：令，則，于是，則，即，又是方程的兩根，所以，故.法二：是方程的兩根，所以，設(shè)，則可取，于是.故答案為：0【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用巧妙的換元，結(jié)合誘導(dǎo)公式，或者二倍角公式，整體代入求解.3．（2024·湖北荊州·三模）設(shè)，，，若滿足條件的與存在且唯一，則，.【答案】1【分析】由得到，再結(jié)合，利用，得到，，從而，再由滿足條件的與存在且唯一，得到唯一，從而，求得m即可.【詳解】解：由，得，即，因為，，所以，，又，所以，從而，所以，所以，所以，因為，所以，因為滿足條件的與存在且唯一，所以唯一，所以，所以，經(jīng)檢驗符合題意，所以，則，解得，所以.故答案為：，1【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是結(jié)合已知得出，求出，由此即可順利得解.4．（2024·四川成都·三模）若為銳角三角形，當取最小值時，記其最小值為，對應(yīng)的，則.【答案】160【分析】令，則，，代入中，通過構(gòu)造，利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值和最小值成立的條件.【詳解】為銳角三角形，，，令，則，，令，則.前兩個“”取“=”的條件是，在時，所有“”全部取“=”，所以當且僅當時，取最小值40，即，所以.故答案為：160.【點睛】關(guān)鍵點點睛：令，構(gòu)造成是關(guān)鍵，可利用基本不等式和二次函數(shù)性質(zhì)求最小值，而且等號成立的條件相同.1．（2024·上?！じ呖颊骖}）下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對A，，周期，故A正確；對B，，周期，故B錯誤；對于選項C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤；對于選項D，，周期，故D錯誤，故選：A．2．（2024·河北保定·二模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角基本關(guān)系式和二倍角公式求解.【詳解】由，得，即，解得或（舍），所以.故選：D.3．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦的二倍角公式求解．【詳解】∵，∴，，又，則，所以，故選：C．4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩角和差公式、二倍角公式逆用可得，進一步結(jié)合兩角和的正切公式即可得解.【詳解】由題意，即，即，所以.故選：B.5．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）若，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用切化弦可得，再由兩角和差公式先求，最后由同角基本關(guān)系式求解.【詳解】因為，則，則，所以，而，則，所以.故選：C6．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切二倍角公式和和角公式得到，化簡得到，齊次化代入求值.【詳解】，即，所以，因為，所以，所以故，解得或（舍去），故選：C二、填空題7．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）計算：.【答案】/【詳解】由題意可得：．故答案為：．8．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知，，則．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角的余弦公式計算即得.【詳解】由，得，由，得，則，所以.故答案為：9．（2024·江蘇蘇州·三模）函數(shù)的值域是.【答案】【分析】首先分析函數(shù)的周期，再分，求出函數(shù)的取值范圍，即可得到函數(shù)的值域.【詳解】因為，所以是以為周期的周期函數(shù)，當時，由，則，所以，則；當時，由，則，所以，則；綜上可得的值域為.故答案為：10．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知，，則.【答案】/-0.125【分析】根據(jù)兩角和的正切公式，即可求得答案.【詳解】因為，，故，故答案為：1．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用兩角差的余弦公式處理條件，結(jié)合兩角差的正弦公式，可得，再利用二倍角公式可得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，可求.【詳解】由，所以，所以.故選：B2．（2024·河北衡水·三模）已知，則m，n的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化簡，結(jié)合已知列出方程即可求解.【詳解】依題意，，，則，即，即.故選：D3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩角和差的余弦公式化簡，再根據(jù)結(jié)合兩角差的余弦公式化簡即可得解.【詳解】由，得，故所以.故選：C.4．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）設(shè)，則“”是“，”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】先利用三角函數(shù)恒等變換公式對已知式化簡，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】由，得，所以，所以，，所以，，所以”是“，”的必要不充分條件，故選：B5．（2024·福建泉州·二模）若，且與存在且唯一，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】由，得，由，得，，則有，與存在且唯一，得，解得，即，再由，可求出，計算的值即可.【詳解】，由，得，即，所以，有，所以，，所以，因為，所以，因為滿足條件的與存在且唯一，所以唯一，若，有兩解，其中一解中有鈍角，此情況不存在.所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以，因為，所以，所以，則，解得，所以．故選：B．6．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角差的正弦公式求出，最后由兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以，因為，則．故選：B．7．（2024·山西呂梁·三模）設(shè)函數(shù).若存在實數(shù)使得對任意恒成立，則（

）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再利用差角的正弦公式變形等式，借助恒成立建立關(guān)系，并分析計算可得答案.【詳解】函數(shù)，依題意，對任意的恒成立，即對恒成立，因此對恒成立，于是，顯然，否則且，矛盾，則，顯然，否則且，矛盾，從而，解得，所以.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：把給定的等式利用差角的正弦公式按角展開，借助恒等式建立方程組是解決本問題的關(guān)鍵.8．（2024·重慶·模擬預(yù)測）（多選）在中，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．【答案】AC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，得到，可判定A正確；由，化簡得到，求得，可判定D不正確；結(jié)合兩角和與差的余弦公式，得到和，可判定B錯誤；結(jié)合誘導(dǎo)公式和正弦的倍角公式，可判定C正確.【詳解】由，因為，可得，所以，所以A正確；又由，可得，則，可得，整理得，可得，所以，所以D不正確；由，可得，可得，當，可得；當，可得，所以或，所以B錯誤；若，即，可得，當且僅當時，即時，此時，顯然等號取不到；若，即，可得，當且僅當時，即時，此時，等號成立，綜上可得，的最大值為，所以C正確.故選：AC.9．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知，，，則．【答案】2【分析】對角進行配湊，利用和差角的正弦公式，結(jié)合同角公式計算即得.【詳解】由，得，即，整理得，由，得，則，，于是，又，所以.故答案為：210．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知，則.【答案】【分析】利用兩角和的余弦公式化簡，再將含的三角函數(shù)弦化切，通過變形即可求出.【詳解】因為，所以，得，所以，則.故答案為：.1．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結(jié)合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

2．（2021·北京·高考真題）函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當時，取最大值.故選：D.3．（2021·浙江·高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數(shù)的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數(shù)式不可能均大于，再結(jié)合特例可得三式中大于的個數(shù)的最大值.【詳解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選：C.【點睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.4．（2020·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.5．（2020·全國·高考真題）已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.6．（2020·浙江·高考真題）已知，則；．【答案】【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根據(jù)兩角差正切公式得【詳解】，，故答案為：【點睛】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7．（2020·江蘇·高考真題）已知=，則的值是.【答案】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結(jié)果.【詳解】故答案為：【點睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬