第04講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第04講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（5類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第10題,6分求已知函數(shù)的極值點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2024年新Ⅱ卷，第11題,6分極值與最值的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間2024年新Ⅱ卷，第16題,15分根據(jù)極值求參數(shù)求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性2023年新I卷，第11題,5分函數(shù)極值點(diǎn)的辨析函數(shù)的性質(zhì)、奇偶性的定義與判斷2023年新I卷，第22題,12分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)基本(均值)不等式的應(yīng)用、求平面軌跡方程、求直線與地物線相交所得弦的弦長2023年新Ⅱ卷，第11題,5分根據(jù)極值求參數(shù)根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍2023年新Ⅱ卷，第22題,12分根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2022年新I卷，第8題,5分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)錐體體積的有關(guān)計(jì)算球的體積的有關(guān)計(jì)算多面體與球體內(nèi)切外接問題2022年新I卷，第10題,5分求已知函數(shù)的極值點(diǎn)求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2022年新I卷，第22題,12分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2021年新I卷，第15題,5分由導(dǎo)數(shù)求函的最值(不含參)無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為5-13-15分【備考策略】1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件2能夠利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值3體會(huì)導(dǎo)數(shù)與極大(小)值、最大(小)值的關(guān)系【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，會(huì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值或給定區(qū)間上的最值，熱點(diǎn)內(nèi)容，需綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的極小值與極小值點(diǎn)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)，右側(cè)，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值．(2)函數(shù)的極大值與極大值點(diǎn)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)，右側(cè)，則點(diǎn)b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)的極大值．（3）極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)，即：是為極值點(diǎn)的必要非充分條件函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．考點(diǎn)一、求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)1．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．2．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．3．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．1．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)（）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若集合有且只有一個(gè)元素，求的值.2．（2024·浙江溫州·三模）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且.（參考數(shù)據(jù)：）3．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)證明：函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)二、根據(jù)函數(shù)極值或極值點(diǎn)求參數(shù)值或范圍1．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．2．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.4．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．1．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的一個(gè)極值為．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18，求實(shí)數(shù)與的值．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知(1)若在處的切線平行于x軸，求a的值；(2)若存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍．3．（2023·湖南郴州·一模）已知函數(shù).(1)若曲線在處切線與軸平行，求；(2)若在處取得極大值，求的取值范圍.4．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值1．（2024·安徽·三模）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求函數(shù)在上的最值.2．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．1．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù).(1)討論的最值；(2)若，且，求的取值范圍.2．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.3．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．考點(diǎn)四、由函數(shù)最值求參數(shù)值或范圍1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．2．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求的值.3．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的值；(2)若函數(shù)的最小值為，求的值．1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有最大值，求實(shí)數(shù)的值．2．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若的最小值為1，求．3．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若的最小值為6，求實(shí)數(shù)的值．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)和函數(shù)有相同的最大值.(1)求a的值；(2)設(shè)集合，（b為常數(shù)）.證明：存在實(shí)數(shù)b，使得集合中有且僅有3個(gè)元素.考點(diǎn)五、選填小題中極值的應(yīng)用與求解1．（2022·全國·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心4．（2022·全國·高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是．1．（2021·全國·高考真題）函數(shù)的最小值為.2．（2023·全國·高考真題）（多選）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．3．（2024·全國·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，4．（2022·全國·高考真題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線一、單選題1．（2024·河北承德·二模）設(shè)為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值，則（

）A．1 B． C．0 D．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）若函數(shù)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極值點(diǎn)為B．的極值點(diǎn)為1C．直線是曲線的一條切線D．有兩個(gè)零點(diǎn)三、填空題4．（2024·安徽·二模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)的最大值與最小值的和為．四、解答題5．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都有，求的取值范圍．6．（2024·山東濰坊·二模）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．7．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．8．（2024·河南·三模）已知函數(shù)，且在處的切線方程是．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．9．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若函數(shù)在處取到極小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．10．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在時(shí)取得極值.(1)求實(shí)數(shù)；(2)若，求的單調(diào)區(qū)間和極值.一、單選題1．（2024·福建泉州·一模）已知，是函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，記的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，則（

）A． B．C．在上單調(diào)遞減 D．4．（2024·重慶·三模）若函數(shù)既有極小值又有極大值，則（）A． B． C． D．三、填空題5．（2024·新疆喀什·三模）已知函數(shù)和（）有相同的最大值．則的最小值為．四、解答題6．（2024·廣東茂名·二模）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.7．（2024·河南開封·三模）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．8．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若的最小值為0，(1)求的值;(2)若，證明:存在唯一的極大值點(diǎn)，且.9．（2024·福建泉州·一模）設(shè)函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若的值域?yàn)椋C明：．10．（2024·青海西寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；(2)若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.1．（2023·全國·高考真題）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)2．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．3．（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．4．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點(diǎn)；（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).5．（2019·江蘇·高考真題）設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．6．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)，則的最小值是