第04講 平面向量系數(shù)和（等和線、等值線）問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第04講平面向量系數(shù)和（等和線、等值線）問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（5類核心考點(diǎn)精講精練）

平面向量與代數(shù)、幾何融合考查的題目綜合性強(qiáng)，難度大，考試要求高。平面向量是有效連接代數(shù)和幾何的橋梁，已成為高考數(shù)學(xué)的一個(gè)命題熱點(diǎn)。近年，高考、?？贾杏嘘P(guān)“系數(shù)和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學(xué)生在解決此類問題時(shí)，往往要通過(guò)建系或利用角度與數(shù)量積處理，結(jié)果因思路不清、解題繁瑣，導(dǎo)致得分率不高，而向量三點(diǎn)共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題，將系數(shù)和的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時(shí)也為相關(guān)問題的解決提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用知識(shí)講解如圖，為所在平面上一點(diǎn)，過(guò)作直線，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根據(jù)點(diǎn)的位置分幾種情況來(lái)考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時(shí)，則射線與無(wú)交點(diǎn)，由知，存在實(shí)數(shù)，使得而，所以，于是=2\*GB3②若時(shí)，（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過(guò)作，交射線于兩點(diǎn)，則，不妨設(shè)與的相似比為由三點(diǎn)共線可知：存在使得：所以（ii）當(dāng)在左側(cè)時(shí)，射線的反向延長(zhǎng)線與有交點(diǎn)，如圖1作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時(shí)，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過(guò)對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來(lái)刻畫。因?yàn)槿切蔚母呔€相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線來(lái)刻畫相似比，在圖中，過(guò)作邊的垂線，設(shè)點(diǎn)在上的射影為，直線交直線于點(diǎn)，則(的符號(hào)由點(diǎn)的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍考點(diǎn)一、“x+y”或“λ+μ”型綜合1．（全國(guó)·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A【法一：系數(shù)和】，分析：如圖，由平面向量基底等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)故選.【法二：坐標(biāo)法】詳見解析版2，（衡水中學(xué)二模）邊長(zhǎng)為2的正六邊形中，動(dòng)圓的半徑為1，圓心在線段(含短點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，是圓上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量，則的取值范圍是（）分析:如圖，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最小值；同理，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最大值.綜上可知.在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為()如圖，正六邊形，是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是____________如圖在直角梯形中，，，，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，且與直線相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)則的取值范圍是____________3．在中，，，，M是外接圓上一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．24．（22-23高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在中，，，，點(diǎn)在該三角形的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，若（，為實(shí)數(shù)），則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（22-23高一下·廣東珠海·期末）在中，，，，是的外接圓上的一點(diǎn)，若，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．考點(diǎn)二、“+”或“+”型綜合已知是內(nèi)一點(diǎn),且,點(diǎn)在內(nèi)(不含邊界),若,則的取值范圍是A.B.C.D.已知為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是__________若點(diǎn)在以為圓心,6為半徑的弧上,且,則的取值范圍為______設(shè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別是,點(diǎn)是內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn),設(shè),則的取值范圍是_________1．在矩形ABCD中，，，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且若，則的最大值為A． B． C． D．2．（2023·安徽淮南·一模）已知是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線與，交于點(diǎn)，且，，，則的最小值是A． B． C． D．3．已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B． C． D．4．（22-23高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）在中，，，過(guò)的外心O的直線(不經(jīng)過(guò)點(diǎn))分別交線段于，且，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三、“-”或“-”型綜合如圖,已知為銳角三角形的外心,,且,求的取值范圍？1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在矩形ABCD中，，，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最小值為（

）A． B．1 C．-1 D．考點(diǎn)四、“-”或“-”型綜合1．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022春·安徽六安·高三階段練習(xí)）在直角梯形中，，∥，，、分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上變動(dòng)，（如圖所示），若，其中，則的取值范圍是．1．（2023·四川·校聯(lián)考三模）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A． B． C． D．考點(diǎn)五、系數(shù)和（等和線）的綜合應(yīng)用1．如圖所示，△ABC中，AC＝3，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，且PN＝2PM，則△ABC面積的最大值為．5．5．2．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.已知為線段的中點(diǎn)，設(shè)為中間小正方形內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界）.若，則的取值范圍為.3．（2023·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則；為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，且，軸上點(diǎn)滿足，，則的最小值為．1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，，，，H為的垂心．若，則．2．（22-23高二下·廣東汕尾·期末）如圖，在中，點(diǎn)D在線段上，且，E是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（不含點(diǎn)A），且（）．若，且，則的面積的最大值為．

3．（20-21高一·江蘇·課后作業(yè)）已知△ABC中，，若點(diǎn)P為四邊形AEDF內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)且，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為.1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在正方形中，與交于點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），，則的最小值為.2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)P是(含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為．3．（22-23高一下·四川眉山·階段練習(xí)）已知點(diǎn)G是的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與兩邊相交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M，N與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)，，則的最小值為．4．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點(diǎn)，若，則2x＋2y的最大值為

5．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，為邊上不同于，的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足.若，則的最小值為.

6．（22-23高一下·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，．則的取值范圍為．

7．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為．8．（23-24高一下·天津·期中）如圖，在中，與BE交于點(diǎn)，，則的值為；過(guò)點(diǎn)的直線分別交于點(diǎn)設(shè)，則的最小值為.

9．（21-22高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在扇形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為曲邊區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)（含邊界），若，則的最大值為．10．（22-23高三下·上海寶山·開學(xué)考試）如圖所示，，圓M與AB，AC分別相切于點(diǎn)D，E，AD=1，點(diǎn)P是圓M及其內(nèi)部任意一點(diǎn)，且，則的取值范圍是11．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中，，且，，若，則.12．（22-23高二上·上海寶山·階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓弧上運(yùn)動(dòng)（包含、兩個(gè)端點(diǎn)），，且，則的取值范圍為.13．（19-20高一上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，扇形的半徑為1，圓心角，點(diǎn)P在弧BC上運(yùn)動(dòng)，，則的最大值為.14．（22-230高三上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，已知正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)（x，），則的最大值為.15．（22-23高三·浙江·階段練習(xí)）已知，與所成角為，點(diǎn)P滿足，若，則的最大值為.16．（22-23高一下·重慶萬(wàn)州·期中）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則的取值范圍是．17．（21-22高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，D是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且，其中，則的最大值為．18．（22-23高一下·湖北孝感·期中）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)，若，則的值為