第08講 正余弦定理解三角形（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第08講正余弦定理解三角形（10類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2024年新I卷，第15題,13分正弦定理解三角形余弦定理解三角形三角形面積公式及其應用正弦的和差公式2024年新Ⅱ卷，第15題,13分正弦定理解三角形正弦定理邊角互化的應用輔助角公式2023年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應用用和、差角的正弦公式化簡、求值2023年新Ⅱ卷，第17題,10分三角形面積公式及其應用余弦定理解三角形數(shù)量積的運算律2022年新I卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應用基本不等式求和的最小值2022年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應用余弦定理解三角形無2021年新I卷，第19題,12分正弦定理邊角互化的應用幾何圖形中的計算2021年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應用三角形面積公式及其應用余弦定理解三角形無2020年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無2020年新Ⅱ卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較中等，分值為13-15分【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關變形應用2會用三角形的面積公式解決與面積有關的計算問題.3會用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應用，同時也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識點進行綜合考查，需重點復習。知識講解正弦定理基本公式：（其中為外接圓的半徑）變形三角形中三個內(nèi)角的關系，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，，余弦定理邊的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面積公式考點一、正弦定理邊角互化解三角形1．（2023·全國·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南永州·三模）已知在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，則.3．（2024·四川涼山·二模）設的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則．4．（2024·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．1．（2024·江西九江·三模）在中，角所對的邊分別為，已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河北滄州·模擬預測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則.3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，記角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)已知點在邊上，且，，，求的面積．考點二、利用正弦定理判斷三角形解的個數(shù)1．（2023·浙江·模擬預測）在中，角所對的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，則能使同時滿足條件的三角形不唯一的a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東茂名·三模）（多選）中，角所對的邊分別為.以下結(jié)論中正確的有（

）A．若，則必有兩解B．若，則一定為等腰三角形C．若，則一定為直角三角形D．若，且該三角形有兩解，則的范圍是1．（23-24高二下·浙江·期中）在中，，且滿足該條件的有兩個，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽·模擬預測）（多選）在中，，若滿足條件的三角形有兩個，則邊的取值可能是（

）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.83．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）（多選）在中，角、、的對邊分別為、、，且已知，則（

）A．若，且有兩解，則的取值范圍是B．若，且，則恰有一解.C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是考點三、余弦定理求值1．（2023·北京·高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．33．（2023·全國·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．4．（2023·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．1．（2021·安徽安慶·二模）在中，分別是，，的對邊.若，且，則的大小是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則（

）A．1 B． C． D．23．（2023·廣東廣州·三模）在中，點D在邊上，，，，，則的長為．4．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.考點四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀1．（22-23高三·吉林白城·階段練習）已知中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．（22-23高三上·河北·階段練習）在中，角對邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形3．（2024高三·全國·專題練習）設△的三邊長為，，，若，，則△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形1．（2024高三·全國·專題練習）在中，若，則的形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形2．（22-23高三·河南商丘·階段練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則△ABC是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．的三角形3．（22-23高三·階段練習）設的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形4．（2023·四川涼山·二模）在中，角A，B，C對邊分別為a，b，c．命題，命題為等腰三角形．則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點五、三角形面積的應用1．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.2．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．3．（2024·全國·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．4．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．1．（2024·北京大興·三模）中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，，.(1)求的大小；(2)若，求的面積.2．（2024·福建莆田·三模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)證明：.(2)若，，求的面積.3．（2024·浙江·模擬預測）已知中，角所對的邊分別為已知.(1)求的取值范圍；(2)求最大時，的面積.4．（2024·安徽滁州·三模）在中，角的對邊分別為．(1)求的大??；(2)若，且邊上的中線長為，求的面積．考點六、外接圓、內(nèi)切圓半徑問題1．（2024·貴州六盤水·三模）在中，，，，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．2．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在平面內(nèi)的四個動點，，，構(gòu)成的四邊形中，，，，.(1)求面積的取值范圍；(2)若四邊形存在外接圓，求外接圓面積.3．（2023·湖北·二模）已知在中，其角、、所對邊分別為、、，且滿足．(1)若，求的外接圓半徑；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑1．（2024·河南信陽·模擬預測）設的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧大連·一模）在中,(1)求點到邊的距離:(2)設為邊上一點，當取得最小值時，求外接圓的面積.3．（2024·山西晉城·一模）在中，，，．(1)求A的大小；(2)求外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．4．（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，求內(nèi)切圓半徑取值范圍．考點七、雙正弦1．（2024·福建泉州·一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，點D是BC上靠近C的三等分點(1)若的面積為，求AD的最小值；(2)若，求．2．（2024·山東日照·二模）的內(nèi)角的對邊分別為．分別以為邊長的正三角形的面積依次為，且．(1)求角；(2)若，，求．3．（2024·山東菏澤·模擬預測）在中，為邊的中點．(1)若，，求的長；(2)若，，試判斷的形狀．4．（2024·河北衡水·模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，設.(1)若，求的長；(2)若，求.1．（2024·河北滄州·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求證：；(2)若的角平分線交AC于點D，且，，求BD的長．2．（2024·河南·三模）已知是內(nèi)一點，.(1)若，求；(2)若，求.3．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角的對邊，且．(1)求A；(2)若，將射線BA和CA分別繞點B，C順時針方向旋轉(zhuǎn)，，旋轉(zhuǎn)后相交于點D（如圖所示），且，求AD．考點八、雙余弦1．（2024·全國·模擬預測）記的內(nèi)角的對邊分別為，，．(1)求；(2)若點在邊上，且，，求的面積．1．（2024·山東濟南·二模）如圖，已知平面四邊形中，.(1)若四點共圓，求；(2)求四邊形面積的最大值.2．（2024·河北·二模）已知中，角的對邊分別為的面積為.(1)若為等腰三角形，求它的周長；(2)若，求.考點九、解三角形中的證明問題1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足．(1)求證：；(2)求的最大值．2．（2024·全國·模擬預測）在中，點D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點，且點D在B，E之間，．(1)求證：．(2)若，求證：．3．（23-24高三上·河南信陽·階段練習）設的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．(1)證明：．(2)求的取值范圍．1．（23-24高三上·廣東·階段練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D是邊上一點，，，，且．(1)若，證明：；(2)在（1）的條件下，且，求的值．2．（22-23高一下·山東棗莊·期中）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.3．（23-24高三上·江蘇·開學考試）如圖，在△ABC內(nèi)任取一點P，直線AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點D、E、F．

(1)試證明：(2)若P為重心，，求的面積．考點十、解三角形中的實際應用1．（2021·全國·高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2024·陜西西安·模擬預測）在高的樓頂處，測得正西方向地面上兩點與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點之間的距離為（

）．A． B． C． D．3．（2024·江蘇揚州·模擬預測）《海島算經(jīng)》是魏晉時期數(shù)學家劉徽所著的測量學著作，書中有一道測量山上松樹高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學打算用學到的解三角形知識測量某建筑物上面一座信號塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點A，B，測得，在點A處測得點C，D的仰角分別為，，在點B處測得點D的仰角為，則塔高CD為m．1．（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學實踐探究課中，同學們用鏡而反射法測量學校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（

）

A． B． C． D．2．（2024·湖南·模擬預測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（

）（，精確到）A． B． C． D．3．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺，在的正東方.某次演習時，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點，則炮臺與彈著點的距離為（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里一、單選題1．（2024·浙江·模擬預測）在中，分別為角的對邊，若，，，則（

）A．2 B．3 C． D．2．（2024·重慶·模擬預測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·重慶·三模）在中，角的對邊為若，則的面積可以是（

）A． B．3 C． D．三、填空題4．（2024·山東威海·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則=．5．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，則，.四、解答題6．（2024·陜西西安·模擬預測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求；(2)若，求的面積.7．（2024·河北·一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角C的大??；(2)若，，求的面積．8．（2024·貴州黔東南·二模）在中，角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若，求的面積.9．（2024·江西新余·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且的面積.(1)求角B；(2)若的平分線交于點D，，，求的長.10．（2024·陜西西安·一模）在中，角所對的邊分別為，，.(1)求角；(2)若，求的周長.一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則角（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西·模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若的面積為，周長為，則AC邊上的高為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·江蘇宿遷·三模）在中，角所對的邊分別為．若，且邊上的中線長為，則（

）A． B．的取值范圍為C．面積的最大值為 D．周長的最大值為三、填空題4．（2024·湖北武漢·二模）在中，角A，，所對的邊分別為，，，．且，則．5．（2024·陜西安康·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則的最大值為.四、解答題6．（2024·福建泉州·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，已知且均為整數(shù)．(1)證明：；(2)設的中點為，求的余弦值．7．（2024高三下·全國·專題練習）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且______．(1)求角的大?。?2)已知，是邊的中點，且，求的長．8．（2024·全國·模擬預測）記的內(nèi)角的對邊分別為.已知．(1)求；(2)若為的中點，且，求．9．（2023·黑龍江佳木斯·三模）中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知.(1)求∠A；(2)若，滿足，，四邊形是凸四邊形，求四邊形面積的最大值．10．（2024·河北·二模）若內(nèi)一點滿足，則稱點為的布洛卡點，為的布洛卡角．如圖，已知中，，，，點為的布洛卡點，為的布洛卡角．(1)若，且滿足，求的大?。?2)若為銳角三角形．（ⅰ）證明：．（ⅱ）若平分，證明：．1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，,存在點A滿足，則(精確到0.1度)2．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．3．（2024·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．4．（2022·浙江·高考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積．5．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.6．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：7．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．8．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．9．（2021·天津·高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．10．（2021·北京·高考真題）在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在