第08講 正余弦定理解三角形（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第08講正余弦定理解三角形（10類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第15題,13分正弦定理解三角形余弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用正弦的和差公式2024年新Ⅱ卷，第15題,13分正弦定理解三角形正弦定理邊角互化的應(yīng)用輔助角公式2023年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值2023年新Ⅱ卷，第17題,10分三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形數(shù)量積的運(yùn)算律2022年新I卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用基本不等式求和的最小值2022年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形無(wú)2021年新I卷，第19題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用幾何圖形中的計(jì)算2021年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形無(wú)2020年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無(wú)2020年新Ⅱ卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等，分值為13-15分【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用2會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題.3會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來(lái)命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)講解正弦定理基本公式：（其中為外接圓的半徑）變形三角形中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，，余弦定理邊的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面積公式考點(diǎn)一、正弦定理邊角互化解三角形1．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南永州·三模）已知在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，則.3．（2024·四川涼山·二模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則．4．（2024·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長(zhǎng)．1．（2024·江西九江·三模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，則.3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，記角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，，，求的面積．考點(diǎn)二、利用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，則能使同時(shí)滿(mǎn)足條件的三角形不唯一的a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東茂名·三模）（多選）中，角所對(duì)的邊分別為.以下結(jié)論中正確的有（

）A．若，則必有兩解B．若，則一定為等腰三角形C．若，則一定為直角三角形D．若，且該三角形有兩解，則的范圍是1．（23-24高二下·浙江·期中）在中，，且滿(mǎn)足該條件的有兩個(gè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在中，，若滿(mǎn)足條件的三角形有兩個(gè)，則邊的取值可能是（

）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.83．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且已知，則（

）A．若，且有兩解，則的取值范圍是B．若，且，則恰有一解.C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是D．若，且為銳角三角形，則的取值范圍是考點(diǎn)三、余弦定理求值1．（2023·北京·高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．33．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，，的角平分線(xiàn)交BC于D，則．4．（2023·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．1．（2021·安徽安慶·二模）在中，分別是，，的對(duì)邊.若，且，則的大小是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·一模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，則（

）A．1 B． C． D．23．（2023·廣東廣州·三模）在中，點(diǎn)D在邊上，，，，，則的長(zhǎng)為．4．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.考點(diǎn)四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀1．（22-23高三·吉林白城·階段練習(xí)）已知中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．（22-23高三上·河北·階段練習(xí)）在中，角對(duì)邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)△的三邊長(zhǎng)為，，，若，，則△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，若，則的形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形2．（22-23高三·河南商丘·階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則△ABC是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．的三角形3．（22-23高三·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形4．（2023·四川涼山·二模）在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c．命題，命題為等腰三角形．則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)五、三角形面積的應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.2．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．3．（2024·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．4．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．1．（2024·北京大興·三模）中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，，.(1)求的大?。?2)若，求的面積.2．（2024·福建莆田·三模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)證明：.(2)若，，求的面積.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角所對(duì)的邊分別為已知.(1)求的取值范圍；(2)求最大時(shí)，的面積.4．（2024·安徽滁州·三模）在中，角的對(duì)邊分別為．(1)求的大小；(2)若，且邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為，求的面積．考點(diǎn)六、外接圓、內(nèi)切圓半徑問(wèn)題1．（2024·貴州六盤(pán)水·三模）在中，，，，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，構(gòu)成的四邊形中，，，，.(1)求面積的取值范圍；(2)若四邊形存在外接圓，求外接圓面積.3．（2023·湖北·二模）已知在中，其角、、所對(duì)邊分別為、、，且滿(mǎn)足．(1)若，求的外接圓半徑；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑1．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧大連·一模）在中,(1)求點(diǎn)到邊的距離:(2)設(shè)為邊上一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求外接圓的面積.3．（2024·山西晉城·一模）在中，，，．(1)求A的大?。?2)求外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，求內(nèi)切圓半徑取值范圍．考點(diǎn)七、雙正弦1．（2024·福建泉州·一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，點(diǎn)D是BC上靠近C的三等分點(diǎn)(1)若的面積為，求AD的最小值；(2)若，求．2．（2024·山東日照·二模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．分別以為邊長(zhǎng)的正三角形的面積依次為，且．(1)求角；(2)若，，求．3．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）在中，為邊的中點(diǎn)．(1)若，，求的長(zhǎng)；(2)若，，試判斷的形狀．4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，設(shè).(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求.1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求證：；(2)若的角平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，且，，求BD的長(zhǎng)．2．（2024·河南·三模）已知是內(nèi)一點(diǎn)，.(1)若，求；(2)若，求.3．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且．(1)求A；(2)若，將射線(xiàn)BA和CA分別繞點(diǎn)B，C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，旋轉(zhuǎn)后相交于點(diǎn)D（如圖所示），且，求AD．考點(diǎn)八、雙余弦1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，．(1)求；(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求的面積．1．（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖，已知平面四邊形中，.(1)若四點(diǎn)共圓，求；(2)求四邊形面積的最大值.2．（2024·河北·二模）已知中，角的對(duì)邊分別為的面積為.(1)若為等腰三角形，求它的周長(zhǎng)；(2)若，求.考點(diǎn)九、解三角形中的證明問(wèn)題1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足．(1)求證：；(2)求的最大值．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點(diǎn)，且點(diǎn)D在B，E之間，．(1)求證：．(2)若，求證：．3．（23-24高三上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知．(1)證明：．(2)求的取值范圍．1．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D是邊上一點(diǎn)，，，，且．(1)若，證明：；(2)在（1）的條件下，且，求的值．2．（22-23高一下·山東棗莊·期中）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線(xiàn).（i）證明：；（ii）若，求的最大值.3．（23-24高三上·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，直線(xiàn)AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點(diǎn)D、E、F．

(1)試證明：(2)若P為重心，，求的面積．考點(diǎn)十、解三角形中的實(shí)際應(yīng)用1．（2021·全國(guó)·高考真題）魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線(xiàn)上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，稱(chēng)為“表距”，和都稱(chēng)為“表目距”，與的差稱(chēng)為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在高的樓頂處，測(cè)得正西方向地面上兩點(diǎn)與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點(diǎn)之間的距離為（

）．A． B． C． D．3．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）《海島算經(jīng)》是魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測(cè)量學(xué)著作，書(shū)中有一道測(cè)量山上松樹(shù)高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識(shí)測(cè)量某建筑物上面一座信號(hào)塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點(diǎn)C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點(diǎn)A，B，測(cè)得，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C，D的仰角分別為，，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)D的仰角為，則塔高CD為m．1．（2024·廣東·二模）在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場(chǎng)的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時(shí)測(cè)量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復(fù)之前的操作，再次測(cè)量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（

）

A． B． C． D．2．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）湖南省衡陽(yáng)市的來(lái)雁塔，始建于明萬(wàn)歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時(shí)常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.為測(cè)量來(lái)雁塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇C點(diǎn)和一建筑物DE的樓頂E為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，已知點(diǎn)A為塔底，在水平地面上，來(lái)雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測(cè)得，在C點(diǎn)處測(cè)得E點(diǎn)的仰角為30°，在E點(diǎn)處測(cè)得B點(diǎn)的仰角為60°，則來(lái)雁塔AB的高度約為（

）（，精確到）A． B． C． D．3．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺(tái)，在的正東方.某次演習(xí)時(shí)，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)，則炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里一、單選題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，分別為角的對(duì)邊，若，，，則（

）A．2 B．3 C． D．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·重慶·三模）在中，角的對(duì)邊為若，則的面積可以是（

）A． B．3 C． D．三、填空題4．（2024·山東威?！ざ＃┰谥?，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．則=．5．（2024·北京西城·三模）在中，若，，，則，.四、解答題6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)若，求；(2)若，求的面積.7．（2024·河北·一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足．(1)求角C的大?。?2)若，，求的面積．8．（2024·貴州黔東南·二模）在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若，求的面積.9．（2024·江西新余·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且的面積.(1)求角B；(2)若的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，，，求的長(zhǎng).10．（2024·陜西西安·一模）在中，角所對(duì)的邊分別為，，.(1)求角；(2)若，求的周長(zhǎng).一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則角（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，若的面積為，周長(zhǎng)為，則AC邊上的高為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·江蘇宿遷·三模）在中，角所對(duì)的邊分別為．若，且邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為，則（

）A． B．的取值范圍為C．面積的最大值為 D．周長(zhǎng)的最大值為三、填空題4．（2024·湖北武漢·二模）在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，．且，則．5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則的最大值為.四、解答題6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知且均為整數(shù)．(1)證明：；(2)設(shè)的中點(diǎn)為，求的余弦值．7．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并解答．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且______．(1)求角的大??；(2)已知，是邊的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知．(1)求；(2)若為的中點(diǎn)，且，求．9．（2023·黑龍江佳木斯·三模）中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求∠A；(2)若，滿(mǎn)足，，四邊形是凸四邊形，求四邊形面積的最大值．10．（2024·河北·二模）若內(nèi)一點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．如圖，已知中，，，，點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．(1)若，且滿(mǎn)足，求的大?。?2)若為銳角三角形．（?。┳C明：．（ⅱ）若平分，證明：．1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，,存在點(diǎn)A滿(mǎn)足，則(精確到0.1度)2．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．3．（2024·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．4．（2022·浙江·高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱(chēng)為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積．5．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.6．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：7．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．8．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．9．（2021·天津·高考真題）在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．10．（2021·北京·高考真題）在中，，．（1）求；（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在