第16講 拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)基本問題2能理解拉格朗日中值定理及其幾何意義3能運用拉格朗日中值定理解題【命題預(yù)測】近幾年，以高等數(shù)學(xué)為背景的高考命題成為熱點.許多省市模擬卷及高考試卷有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文為高階拓展內(nèi)容，利用拉格朗日中值定理解題，能體現(xiàn)高觀點解題的好處，需學(xué)生靈活學(xué)習(xí)知識講解1.拉格朗日（Lagrange）中值定理若函數(shù)f（x）滿足如下條件：（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)．則在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得．2.拉格朗日中值定理的幾何意義如圖所示，在滿足定理條件的曲線上至少存在一點P（ξ，f（ξ）），該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端的連線．需要注意的地方（逆命題不成立）

拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線,并不一定存在割線,使割線斜率等于

切線斜率,如fx=x3在拉格朗日公式還有下面幾種等價形式，，．注：拉格朗日公式無論對于還是都成立，而ξ則是介于a與b之間的某一常數(shù)．顯然，當(dāng)時，．考點一、拉格朗日中值定理的認(rèn)知及簡單應(yīng)用1．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值點”，根據(jù)這個定理，判斷函數(shù)在區(qū)間上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為.2．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，其定理陳述如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為m，函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為n，則有（

）（參考數(shù)據(jù)：.）A．1 B．2 C．0 D．3．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知，，(1)若在處取得極值，試求的值和的單調(diào)增區(qū)間；(2)如圖所示，若函數(shù)的圖象在連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖象上任意兩點的連線斜率不小于．1．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個定理，具體如下．如果函數(shù)滿足如下條件．（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)的；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo)則在開區(qū)間上至少存在一點ξ，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被稱為“拉格朗日中值”．則在區(qū)間上的“拉格朗日中值”．2．（2024·河北衡水·三模）已知．(1)求的單調(diào)區(qū)間和最值；(2)定理：若函數(shù)在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，則存在，使得．該定理稱為“拉格朗日中值定理”，請利用該定理解決下面問題：若，求證：．3．（2024·山西·三模）微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點”.已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”；(2)若，求證:函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點，連線的斜率不大于；(3)若，且，求證:.考點二、拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)中的綜合應(yīng)用設(shè),求證:當(dāng)時,對任意,有設(shè),當(dāng)時,若對任意的成立,求的取值范圍設(shè),若對任意,都有,求的范圍1．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求圖象上點處的切線方程；(2)若在時恒成立，求的值；(3)若，證明．2．（2024·山東濟寧·一模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，證明：對任意，存在唯一的實數(shù)，使得成立；(3)設(shè)，，數(shù)列的前項和為．證明：．3．（高三上·遼寧撫順·階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè),證明.1．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，證明：對任意，，．2．（21-22高二下·廣東深圳·期中）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)任取兩個正數(shù)，當(dāng)時，求證：.3．（22-23高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，證明：4．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)，若有且只有兩個極值點，且，證明：.5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.6．（2023·山東淄博·二模）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，是函數(shù)的兩個極值點，且，求證：.7．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)，時，證明：.8．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┮阎瘮?shù)，．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：．9．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，且有兩個極值點，分別為和，求的最大值.10．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是．對任意兩個不相等的正數(shù)、，證明：(1)當(dāng)時，；(2)當(dāng)時，．11．（21-22高二下·安徽合肥·期中）已知函數(shù)（為常數(shù)）(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)存在兩個極值點，且，求的范圍.12．（22-23高二下·河南洛陽·期末）已知函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)若函數(shù)是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，（），求的范圍．13．（2023·湖南常德·一模）已知函數(shù)（）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若兩個極值點，，且，求的取值范圍.14．（21-22高二下·天津·期中）已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；(2)當(dāng)時，討論f（x）的單調(diào)性；(3)設(shè)f（x）存在兩個極值點且，若求證：.15．（2023·天津河西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；(2)已知.（i）證明：；（ii）若，證明：.16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在處取得極大值．(1)求的值與的單調(diào)區(qū)間．(2)如圖，若函數(shù)的圖像在連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表達(dá)式〔用含的式子表示〕．(3)利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖像上任意兩點的連線斜率不大于．17．（2024·湖北襄陽·三模）柯西中值定理是數(shù)學(xué)的基本定理之一，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.定理內(nèi)容為：設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)滿足:①圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線；②在內(nèi)可導(dǎo);③對，，則，使得.特別的，取，則有：，使得，此情形稱之為拉格朗日中值定理.(1)設(shè)函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明：函數(shù)在上為增函數(shù).(2)若且，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（2024·廣東·二模）拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)存在點，使得成立．設(shè)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．易知，在實數(shù)集上有唯一零點，且．(1)證明：當(dāng)時，；(2)從圖形上看，函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)．直接求解的零點是困難的，運用牛頓法，我們可以得到零點的近似解：先用二分法，可在中選定一個作為的初始近似值，使得，然后在點處作曲線的切線，切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；在點處作曲線的切線，切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過程，得的近似值序列．①當(dāng)時，證明：；②根據(jù)①的結(jié)論，運用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：為遞減數(shù)列，且．請以此為前提條件，證明：．19．（23-24高二下·重慶·期中）柯西中值定理是數(shù)學(xué)的基本定理之一，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．定理內(nèi)容為：設(shè)函數(shù)，滿足①圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線；②在內(nèi)可導(dǎo)；③對，．則，使得．特別的，取，則有：，使得，此情形稱之為拉格朗日中值定理．(1)設(shè)函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增，判斷函數(shù)在的單調(diào)性并證明；(2)若且，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，求證：．20．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)、，的圖象在處的切線與軸平行．(1)求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；(2)證明：對任意實數(shù)，關(guān)于的方程：在,恒有實數(shù)解；(3)結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間,上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點，使得．如我們所學(xué)過的指、對數(shù)