二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的四種考法（解析版）（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題04二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的四種考法類型一、銷售利潤問題例．2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某旅游商店以每件50元的價(jià)格購進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件80元的價(jià)格出售，每日可售出200件．從7月份起，商場決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價(jià)1元，日銷售量就會(huì)增加20件．(1)設(shè)定價(jià)為x元，日銷售量為y件．試用含x的式子表示y，；(2)當(dāng)該吉祥物售價(jià)為多少元時(shí)，日銷售利潤達(dá)7500元？(3)請(qǐng)你測算一下，該商場如何定價(jià)，可使日銷售利潤最多？【答案】(1)(2)元(3)每件售價(jià)為元時(shí)【分析】（1）銷售量降價(jià)前每日銷售量降價(jià)所增加的銷售量，據(jù)此即可求解；（2）每件所獲利潤日銷售量元，據(jù)此即可求解；（3）設(shè)日銷售利潤為元，日銷售利潤每件所獲利潤日銷售量，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：，故答案：；（2）解：由題意得，整理得：，解得：，，降價(jià)促銷，舍去，答：該吉祥物售價(jià)為元時(shí)，日銷售利潤達(dá)7500元．（3）解：設(shè)日銷售利潤為元，由題意得，，當(dāng)時(shí)，（元）；答：每件售價(jià)為元時(shí)，可使日銷售利潤最多．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)在銷售問題的應(yīng)用，一元二次方程在銷售問題中應(yīng)用，二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．某商店經(jīng)銷一種學(xué)生用雙肩包，已知這種雙肩包的成本價(jià)為每個(gè)60元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若雙肩包定價(jià)為110元，則一個(gè)月的銷售量為300個(gè)，若每降價(jià)1元，則每個(gè)月可以多銷售10個(gè)．設(shè)這種雙肩包的單價(jià)為元，一個(gè)月的銷售利潤為元．(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)這種雙肩包銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？(3)該商店熱心公益事業(yè)，決定從這種雙肩包每月的利潤中捐出1750元給希望工程，為了保證捐款后每月剩余利潤不低于12000元，求銷售單價(jià)的范圍．【答案】(1)(2)銷售單價(jià)定為100元時(shí)，每月的銷售利潤最大，最大利潤為16000元(3)【分析】（1）每天的銷售利潤=每天的銷售量×每件產(chǎn)品的利潤；（2）把函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式，可得答案；（3）根據(jù)（2）的解析式建立方程，求出其解，然后數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】（1）解∶根據(jù)題意，得，即；（2）解：，∵，開口向下，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為16000，即銷售單價(jià)定為100元時(shí)，每月的銷售利潤最大，最大利潤為16000元；（3）解：由題意，知，解得，，

∵，開口向下，結(jié)合圖象可知：當(dāng)時(shí)，，∴銷售單價(jià)的范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的解析式，掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的運(yùn)用．【變式訓(xùn)練2】．大錦農(nóng)某品種蘋果，進(jìn)價(jià)為10元/千克，根據(jù)張麗同學(xué)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每天銷量(千克)與銷售單價(jià)(元/千克)存在一次函數(shù)關(guān)系．

(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量取值范圍)；(2)怎樣確定銷售價(jià)才能使該品種蘋果每天銷售利潤最大？最大利潤為多少？【答案】(1)(2)當(dāng)銷售單價(jià)為元/千克時(shí)，每天可獲得最大利潤元【分析】（1）由圖象過點(diǎn)和，利用待定系數(shù)法求直線解析式；（2）設(shè)每天的利潤為，根據(jù)每天利潤每千克的利潤銷售量．據(jù)此列出表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：設(shè)，由圖象過點(diǎn)和，∴，解之，得：，∴；（2）設(shè)每天的利潤為，則，，有最大值，當(dāng)時(shí)，．即當(dāng)銷售單價(jià)為元/千克時(shí)，每天可獲得最大利潤元．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．某專賣店專營某產(chǎn)品，根據(jù)總部要求市場銷售單價(jià)在25元到45元之間．專賣店在銷售該產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)：銷售該產(chǎn)品的成本（單位：元）與銷售件數(shù)（單位：件）成正比例．同時(shí)每天的銷售件數(shù)與銷售價(jià)格（單位：元件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．如表記錄了該專賣店某4天銷售產(chǎn)品的一些數(shù)據(jù)．銷售價(jià)格（單位：元件）25303238銷售件數(shù)（單位：件）35302822銷售成本（單位：元）210180168132(1)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若一天的銷售利潤為，當(dāng)銷售價(jià)格為多少時(shí)，最大？最大值是多少？(3)該專賣店以每件返現(xiàn)元的辦法促銷，發(fā)現(xiàn)在銷售規(guī)律不變的情況下，當(dāng)元件時(shí)，一天可獲得的利潤為600元，求的值．【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，w最大，最大值為；(3)4．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）用待定系數(shù)法求得成本q與銷售件數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得出q關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，則可寫出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，將其寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）根據(jù)得出w關(guān)于x的二次函數(shù)，寫成其對(duì)稱軸，讓其等于40，可解得a的值．【詳解】（1）∵y與x之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，∴設(shè)其解析式為，將，代入，得解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，其它各組數(shù)據(jù)也滿足函數(shù)關(guān)系式，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）∵銷售A產(chǎn)品的成本q（單位：元）與銷售件數(shù)y（單位：件）成正比例，∴設(shè)其解析式為，將代入，得，解得，∴由（1），，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，w最大，最大值為．∴當(dāng)銷售價(jià)格x為元時(shí)，w最大，最大值是元；（3）由題意得：，把代入得．答：a的值是4．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】．某商店經(jīng)銷一種電子鞭炮，已知這種電子鞭炮的成本價(jià)為每盒80元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種電子鞭炮每天的銷售量y（盒）與銷售單價(jià)x（元）有如下關(guān)系：，設(shè)這種電子鞭炮每天的銷售利潤為w元(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)該種電子鞭炮銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?(3)該商店銷售這種電子鞭炮要想每天獲得2400元的銷售利潤，又想賣得快，則銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?【答案】(1)(2)當(dāng)單價(jià)定為120元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是3200元(3)100元【分析】（1）用每件的利潤乘以銷售量即可得到每天的銷售利潤，然后化為一般式即可；（2）把（1）中的解析式進(jìn)行配方得到頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解；（3）求函數(shù)值2400為所對(duì)應(yīng)的自變量的值，即解方程求出，然后利用“想賣得快”確定的x值．【詳解】（1）解：；（2）解：，當(dāng)時(shí)，w有最大值3200，所以當(dāng)單價(jià)定為120元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是3200元；（3）解：由題意，，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橄胭u得快，所以銷售單價(jià)應(yīng)定為100元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量的取值范圍．類型二、噴水問題例．如圖，要建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安置一根水管，在水管的頂端A安一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m．以水管與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地處所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，每個(gè)單位長度表示1m．

(1)求水管的長度．(2)如圖2，是圖中拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，畫出點(diǎn)所在的拋物線的草圖，并直接寫出點(diǎn)所在拋物線的解析式及自變量的取值范圍．(3)將水管OA噴水頭往上平移m，求水柱落地處離池中心的距離．【答案】(1)(2)圖像如圖所示，(3)【分析】對(duì)于（1），根據(jù)題意可知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn)，再設(shè)頂點(diǎn)式并求出，令可得答案；對(duì)于（2），先畫出圖象，再確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出關(guān)系式，并求出自變量取值范圍；對(duì)于（3），先求出平移后的關(guān)系式，再令，可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意可知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn)．設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為，根據(jù)題意，得．又∵圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，∴二次函數(shù)的關(guān)系式為．當(dāng)時(shí)，，∴m．（2）如圖所示．

由（1），得二次函數(shù)的關(guān)系式為．則點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)所在拋物線的關(guān)系式為（）；（3）將水管噴頭往上平移，可得關(guān)系式為．令，得，解得或（舍）．所以水柱落地后離中心的距離是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式，畫二次函數(shù)圖像，二次函數(shù)圖像的平移，二次函數(shù)的對(duì)稱性等，選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，勞動(dòng)課同學(xué)們利用噴水頭噴出的水對(duì)草坪進(jìn)行噴灌作業(yè)以養(yǎng)護(hù)草坪．如圖2，點(diǎn)O處有一個(gè)噴水頭，距離噴水頭的M處有一棵高度是的樹，距離這棵樹的N處有一面高的圍墻．建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．已知噴水頭噴出的水柱的豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系．

(1)某次噴水澆灌時(shí)，測得x與y的幾組數(shù)據(jù)如下：02610120①根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求滿足的函數(shù)關(guān)系；②求噴水頭噴出的水柱最大高度；(2)又一次噴水澆灌時(shí)，已知噴水頭噴出的水柱的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系．假設(shè)噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，且不會(huì)澆到墻外，求出同時(shí)滿足這兩個(gè)要求的常數(shù)b的范圍_________．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；②根據(jù)函數(shù)解析式求出噴水頭噴出的水柱最大高度即可；（2）根據(jù)函數(shù)解析式求出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，列出b的不等式，求出b的取值范圍即可．【詳解】（1）解：①將，，代入解析式得：，解得：，∴函數(shù)解析式為：．②，∵函數(shù)開口向下有最大值，∴當(dāng)時(shí)，．答：噴水柱最大高度為．（2）解：∵水柱能越過樹，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴∵水柱不會(huì)澆到墻外，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，綜上所述．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，求出二次函數(shù)解析式．【變式訓(xùn)練2】．為應(yīng)對(duì)高樓火災(zāi)，某消防中隊(duì)進(jìn)行消防技能演習(xí)．如圖，在一個(gè)廢棄高樓距地面10m的點(diǎn)A至16m的點(diǎn)B處，設(shè)置了一個(gè)火源段（含點(diǎn)A與點(diǎn)B），消防員站在高樓前且與高樓水平距離為t米位置使用高壓水槍滅火，水槍噴出的水流可看作拋物線的一部分，且每次水流所在拋物線的形狀完全相同．水流達(dá)到火源段（線段）中某一處，則視為有效滅火．如圖1，消防員甲滅火時(shí)站在水平地面的點(diǎn)C處，水流從C點(diǎn)射出恰好到達(dá)點(diǎn)A處，且水流的最大高度為18m，水流的最高點(diǎn)到高樓的水平距離為4m，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，水流的高度y（m）與出水點(diǎn)到高樓的水平距離x（m）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系．

(1)求消防員甲滅火時(shí)水流所在拋物線的解析式；(2)如圖2，消防員乙站在水平地面的點(diǎn)D處進(jìn)行滅火，此時(shí)，請(qǐng)判斷他是否有效滅火，并說明理由；(3)若要有效滅火，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)(2)是有效滅火，理由見解析(3)t的取值范圍為【分析】（1）根據(jù)函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)且過，可設(shè)拋物線解析式為，再待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）利用平移求出消防員乙滅火時(shí)水流所在拋物線的解析式的解析式，再令，求解函數(shù)y的值，再比較即可求解；（3）由，當(dāng)時(shí)，，解得：，（舍去），當(dāng)拋物線往左平移個(gè)單位，拋物線過，可得平移后的拋物線為：，當(dāng)時(shí)，，解得：，（舍去），從而可得答案．【詳解】（1）解：依題意頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入得，，解得：，∴消防員第一次滅火時(shí)水流所在拋物線的解析式；（2）是有效滅火，理由如下，依題意，消防員乙滅火時(shí)水流所在拋物線是第一次拋物線向左平移1個(gè)單位得到∴消防員乙滅火時(shí)水流所在拋物線的解析式為，令，解得：，而，即消防員乙滅火是有效滅火．（3）∵，當(dāng)時(shí)，，解得：，（舍去），當(dāng)拋物線往左平移個(gè)單位，拋物線過，∴，∴，∴或（不符合題意，舍去）∴平移后的拋物線為：，當(dāng)時(shí)，，解得：，（舍去）∴要有效滅火，t的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖1，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為米．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口米，灌溉車到綠化帶的距離為米．

(1)求上邊緣拋物線噴出水的最大射程；(2)求下邊緣拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若米，灌溉車行駛時(shí)噴出的水______（填“能”或“不能”）澆灌到整個(gè)綠化帶．【答案】(1)上邊緣拋物線噴出水的最大射程為；(2)；(3)不能．【分析】（1）求得上邊緣的拋物線解析式，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定平移的單位，求得下邊緣拋物線解析式，即可求解；（3）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷上邊緣拋物線能否經(jīng)過點(diǎn)即可；【詳解】（1）解：由題意可得：，且上邊緣拋物線的頂點(diǎn)為，故設(shè)拋物線解析式為：將代入可得：即上邊緣的拋物線為：將代入可得：解得：（舍去）或即上邊緣拋物線噴出水的最大射程為；（2）由（1）可得，上邊緣拋物線為：，可得對(duì)稱軸為：點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為：下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，可得上邊緣拋物線向左平移個(gè)單位，得到下邊緣拋物線，即下邊緣的拋物線解析式為：將代入可得：解得：（舍去）或即點(diǎn)；（3）∵，∴綠化帶的左邊部分可以灌溉到，由題意可得：將代入到可得：因此灌溉車行駛時(shí)噴出的水不能澆灌到整個(gè)綠化帶．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，與軸交點(diǎn)等問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確求得解析式．類型三、拱橋問題例．如圖1是某公園內(nèi)的一座拱橋．如圖2是其橋拱的截面示意圖，可視為拋物線的一部分．某時(shí)測得橋拱內(nèi)的水面寬，橋拱頂點(diǎn)C到水面的距離是．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達(dá)到最高．

(1)按如圖2所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱截面所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)為迎佳節(jié)，擬在圖1橋拱內(nèi)壁上懸掛長的燈籠，為了安全，燈籠底部距離水面不小于，請(qǐng)確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．(3)橋拱截面所在拋物線在軸下方的部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新的函數(shù)圖象，如圖3．將圖象G向右平移個(gè)單位長度，平移后的函數(shù)圖象在時(shí)，y隨x的增大而減小，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）設(shè)橋拱截面所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把點(diǎn)代入求解即可；（2）將代入先求出自變量的值，然后借助圖像寫出自變量的取值范圍；（3）根據(jù)題意得到新函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖像，進(jìn)而即可得到的范圍．【詳解】（1）由題意，得，，頂點(diǎn)．設(shè)橋拱截面所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．將點(diǎn)代入，得，解得．∴橋拱截面所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）由題意，得懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值為．將代入，得，解得或．∴懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．（3）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴圖象G的對(duì)稱軸也是直線，且當(dāng)或時(shí)，y隨x的增大而減?。鄬D象G向右平移個(gè)單位長度后，可得平移后函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，且當(dāng)或時(shí)，y隨x的增大而減?。邎D象G平移后得到的函數(shù)圖象中，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∴且或．當(dāng)且時(shí)，解得．當(dāng)時(shí)，解得．由題意，知，∴不符合題意，舍去．綜上所述，m的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)圖像平移和軸對(duì)稱變換規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，有一座拋物線形狀的拱橋，對(duì)拱橋在水面以上的部分進(jìn)行測量，得到橋洞的跨度為12米，并且以橋洞拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，把測量得到的數(shù)據(jù)記入下表：x（米）－6－4－20246y（米）－3.02－1.33－0.310－0.32－1.33－2.99(1)請(qǐng)?jiān)谙旅娴淖鴺?biāo)系中根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；

(2)請(qǐng)結(jié)合圖象，寫出拱橋的橋洞在拱頂下方1米的位置寬度是______米（結(jié)果精確到0.1）；(3)現(xiàn)有一艘寬4米，高2米的游船要穿過拱橋的橋洞．為保證安全，要求船頂?shù)截Q直方向上拱橋橋洞對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離不小于0.5米，那么這艘船______（填“能”或者“不能”）安全通過．【答案】(1)見解析(2)(3)能【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)進(jìn)行描點(diǎn)、連線即可；（2）根據(jù)圖象得出時(shí)，或，然后可得答案；（3）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出和時(shí)縱坐標(biāo)的值，求得其差得出船靠中間行駛時(shí)，船左右兩邊到豎直方向上拱橋橋洞對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，然后進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）由圖象可得：當(dāng)時(shí)，或，∴拱橋的橋洞在拱頂下方1米的位置寬度約是米，故答案為：；（3）由表格中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∵米，，∴這艘船能安全通過，故答案為：能．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度為12米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖1所示）．(1)求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”，使A、D點(diǎn)在拋物線上．B、C點(diǎn)在地面線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿、、的長度之和的最大值是多少，請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算一下．【答案】(1)(2)當(dāng)點(diǎn)A在，點(diǎn)B在，點(diǎn)，點(diǎn)時(shí)“腳手架”三根木桿、、的長度之和最大，最大值是15【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，求出最大值即可．【詳解】（1）解：由題意可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為且經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，則，解得，即這條拋物線的函數(shù)解析式為：；（2）解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，∴當(dāng)時(shí)，的和取得最大值，此時(shí)的最大值是15，即當(dāng)點(diǎn)A在，點(diǎn)B在，點(diǎn)，點(diǎn)時(shí)“腳手架”三根木桿、、的長度之和最大，最大值是15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，求二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是求出的關(guān)系式．【變式訓(xùn)練3】．廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn)．如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖，已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，為保護(hù)廊橋的安全，在該拋物線上距水面高為8米的點(diǎn)，處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離是多少米？（精確到1米）【答案】【分析】可得，從而可求，，由即可求解．【詳解】解：由題意得，，解得：，，，，，，(米)；答：這兩盞燈的水平距離是米．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，無理數(shù)估算，掌握解法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】．如圖1為某新建住宅小區(qū)修建的一個(gè)橫斷面為拋物線的拱形大門，點(diǎn)Q為頂點(diǎn)，其高為6米，寬為12米．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．

(1)求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)拱形大門下的道路設(shè)雙向行車道供車輛出入（正中間是寬1米的值班室），其中的一條行車道能否行駛寬2.5米、高3.5米的消防車輛？請(qǐng)通過計(jì)算說明；(3)如圖2，小區(qū)物業(yè)計(jì)劃在拱形大門處安裝一個(gè)矩形“光帶”，使點(diǎn)A，D在拋物線上，點(diǎn)B，C在上，求出所需的三根“光帶”，，的長度之和的最大值．【答案】(1)；(2)能，理由見解析；(3)米時(shí)，三根“光帶”長度之和L的最大值為15米．【分析】（1）根據(jù)所建坐標(biāo)系知頂點(diǎn)P和與x軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式形式求解，x的取值范圍是；（2）根據(jù)對(duì)稱性當(dāng)車寬2.5米時(shí)，或9，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)的值，與車高米進(jìn)行比較得出結(jié)論；（3）求三段和的最大值須先列式表示三段的和，再運(yùn)用性質(zhì)求最大值，可設(shè)點(diǎn)A或點(diǎn)B的坐標(biāo)表示三段的長度從而得出表達(dá)式．【詳解】（1）解：∵，．∴設(shè)這條拋物線的函數(shù)解析式為，∵拋物線過，∴，解得，∴這條拋物線的函數(shù)解析式為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，故能行駛寬2.5米、高米的消防車輛．（3）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則，，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱，可得：，∴，即，令，當(dāng)時(shí)，最大值為：，故當(dāng)，即米時(shí)，三根“光帶”長度之和L的最大值為15米．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．關(guān)鍵是首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后利用函數(shù)性質(zhì)解決問題．類型四、圖形運(yùn)動(dòng)問題例．如圖，菱形的邊長為6，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P以2的速度沿A→B→E運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以1的速度沿B→D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為s，的面積為y，則y與x之間的關(guān)系用圖象大致可表示為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】分兩種情況：點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，分別求出解析式即可．【詳解】∵四邊形是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形．①當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，即時(shí)，

，，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，∵是等邊三角形，∴，∴在中，，∴，即y與x之間的函數(shù)解析式為；②當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，即時(shí)，

，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，∵是等邊三角形，∴，∴在菱形中，∴在中，，∴，即y與x之間的函數(shù)解析式為；綜上所述，y與x之間的函數(shù)解析式為，圖象為：

．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，分類討論，正確求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿A→C→B的路徑移動(dòng)，過點(diǎn)E作，垂足為D．設(shè)，的面積為y，則下列能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分類討論①當(dāng)點(diǎn)E在上②當(dāng)點(diǎn)E在上的情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：在中，，由勾股定理可得，①當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，如圖，∵，∴∵，∴，∴，∵，∴此時(shí)，即，∴是開口向上的一段拋物線；排除，②當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，，如圖，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，為開口向下的拋物線，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題與相似三角形的綜合．分類討論是解題關(guān)鍵，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)定理內(nèi)容是推理關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，正方形邊長為1，E、F、G、H分別為各邊上的點(diǎn)，且，設(shè)小正方形的面積為s，為x，則s關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理得到，即可得到s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵正方形邊長為1，，∴，，在中，，即：小正方形的面積；∴圖象為開口向上，頂點(diǎn)為的拋物線在上的部分，故只有選項(xiàng)B符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出函數(shù)關(guān)系式．【變式訓(xùn)練3】．如圖，正方形的邊長為，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度分別沿和的路徑向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：s）四邊形的面積為（單位：），則與（）之間的函數(shù)圖象大致是下列圖中的（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形，分情況討論：①時(shí)，根據(jù)四邊形的面積的面積，列出函數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象；②時(shí)，根據(jù)四邊形的面積，列出函數(shù)關(guān)系式，從而得到函數(shù)圖象，再結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)即可得解．【詳解】解：①時(shí)，∵正方形的邊長為，依題意得：∴，②時(shí)，依題意得：，所以，y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)圖象符合．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意，分別求出兩個(gè)時(shí)間段的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以的速度沿方向勻速移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以的速度沿方向勻速移動(dòng)．設(shè)的面積為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)題意，進(jìn)行分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，根據(jù)，得出；當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，易證，得出，根據(jù)，即可得出．【詳解】解：∵，，，∴，∴點(diǎn)P經(jīng)過的路程為：，點(diǎn)Q經(jīng)過的路程為，∴點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)間為，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)間為，即點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，

，即，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，即，整理得：，∴，即，

綜上：當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，是開口向上的二次函數(shù)；當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，是開口向下的二次函數(shù)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方；相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例；以及二次函數(shù)的圖象．課后作業(yè)1．如圖，四邊形是菱形，邊長為4，，垂直于的直線從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向右平移，設(shè)直線P與菱形的兩邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方），若的面積為y，直線的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，則能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，利用三角函數(shù)求出，列出y與x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，列出y與x的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：∵四邊形是菱形，邊長為4，，∴當(dāng)E和點(diǎn)B重合時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，即，∴y與x的函數(shù)是二次函數(shù)，∴函數(shù)圖象為開口向上的二次函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，∴，即，∴y與x的函數(shù)是正比例函數(shù)，∴函數(shù)圖象是一條直線，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖像，三角形面積，二次函數(shù)圖像，一次函數(shù)圖像，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，能根據(jù)這些知識(shí)進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．2．如圖，在中，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)P從A點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在上，且，連接，過點(diǎn)Q作交AB與點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，的面積為，則能反映y與x之間關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，利用矩形的判定與性質(zhì)可得；設(shè)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，的長，利用求得與之間關(guān)系，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)和的取值范圍解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，如圖，點(diǎn)、分別為，的中點(diǎn)，，，，，，四邊形為矩形，．，，．，，．為等腰直角三角形，．設(shè)，由題意得：，則，，，．，，，．，，，，解得：，．．，，，拋物線的開口方向向上，頂點(diǎn)為由題意：的取值范圍為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，與的函數(shù)圖象是以點(diǎn)和為端點(diǎn)的拋物線上的一部分，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)的圖象，矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得與之間函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是線段的三等分點(diǎn)（），動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，以為邊作等邊，在動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，陰影部分面積的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，過作，垂足為H，利用勾股定理求出和，設(shè)，求出和，利用表示出陰影部分的面積，利用二次函數(shù)的最值求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，過作，垂足為H，

∵，，點(diǎn)E是線段的三等分點(diǎn)（），∴，，∴，設(shè)，則，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴令，則，∴，則，當(dāng)時(shí)，最小，且為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確表示出陰影部分的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．4．某公園在在垂直于湖面的立柱上安裝了一個(gè)多孔噴頭，從噴頭每個(gè)孔噴出的水柱形狀都相同，可以看作是拋物線的一部分，當(dāng)噴頭向四周同時(shí)噴水時(shí)，形成一個(gè)環(huán)狀噴泉．安裝后，通過測量其中一條水柱，獲得如下數(shù)據(jù)；在距立柱水平距離為d米的地點(diǎn)，水柱距離湖面的高度為h米．（米）（米）請(qǐng)解決以下問題：(1)在網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；

(2)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出這條水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為m；(3)求所畫圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(4)從安全的角度考慮，需要在這組噴泉外圍設(shè)立一圈正方形護(hù)欄，這個(gè)噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點(diǎn)到護(hù)欄的距離不能小于0.5米，請(qǐng)通過計(jì)算說明公園至少需要準(zhǔn)備多少米的護(hù)欄（不考慮接頭等其他因素）．【答案】(1)見解析；(2)5．(3)(4)公園至少需要準(zhǔn)備68米的護(hù)欄．【分析】（1）在表格中建立坐標(biāo)系，然后描點(diǎn)、連線即可；（2）觀察圖象即可；（3）由表中點(diǎn)，，，，可確定拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，則設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式即可，再找點(diǎn)，代入即可求得解析式；（4）在求得的解析式中令，則可求得的值，即可確定所需護(hù)欄的長度．【詳解】（1）解：坐標(biāo)系及圖象如圖所示．

（2）解：由圖象知，水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為，故答案為．（3）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，，∴拋物線的對(duì)稱軸為．∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，．設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．把，代入，解得．∴所畫圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．（4）解：令，解得（舍），．∴每條水柱在湖面上的落點(diǎn)到立柱的水平距離為米．∵這個(gè)噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點(diǎn)到護(hù)欄的距離不能小于米，∴正方形護(hù)欄的邊長至少為米．則公園至少需要準(zhǔn)備（米）的護(hù)欄．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的實(shí)際問題，考查了畫二次函數(shù)圖象，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識(shí)，二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫出某水利工程公司開挖的水渠橫截面，該水渠呈拋物線形，其寬度米．某日，當(dāng)水渠內(nèi)的水面寬度為24米時(shí)，水面與兩岸的豎直高度為米．

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．(2)若水渠中原水面的寬度減少為原來的一半，則水渠最深處到水面的距離減少多少米？【答案】(1