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文檔簡介
試卷第=page11頁,共=sectionpages33頁專題06二次函數(shù)中特殊四邊形存在性問題類型一、平行四邊形存在性問題例.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接,點(diǎn)P為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接交于點(diǎn)Q.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)和的最大值;(3)把拋物線沿射線方向平移個(gè)單位得新拋物線,M是新拋物線上一點(diǎn),N是新拋物線對稱軸上一點(diǎn),當(dāng)以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo),并把求其中一個(gè)N點(diǎn)坐標(biāo)的過程寫出來.【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為(2)當(dāng)時(shí),取得最大值,此時(shí),(3)N點(diǎn)的坐標(biāo)為其中一個(gè)N點(diǎn)坐標(biāo)的解答過程見解析【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案;(2)運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線的解析式為,如圖1,過點(diǎn)作軸交于點(diǎn),設(shè),則,證明,得出:,運(yùn)用求二次函數(shù)最值方法即可得出答案;(3)設(shè),分三種情況:當(dāng)為的邊時(shí);當(dāng)為的邊時(shí);當(dāng)為的對角線時(shí),運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)即可求得答案.【詳解】(1)∵拋物線與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),解得:,∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為;(2)∵拋物線與軸交于點(diǎn),∴,∴,設(shè)直線的解析式為,把代入,得:解得:,∴直線的解析式為,如圖1,過點(diǎn)作軸交于點(diǎn),設(shè),則,∴,∵,∴,∴當(dāng)時(shí),取得最大值,此時(shí),.(3)如圖2,沿射線方向平移個(gè)單位,即向右平移1個(gè)單位,向上平移2個(gè)單位,∴新的物線解析式為,對稱軸為直線,設(shè),當(dāng)為的邊時(shí),則,,解得:,當(dāng)為的邊時(shí),則,解得:,當(dāng)為的對角線時(shí),則,解得:,綜上所述,點(diǎn)的坐標(biāo)為:【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),拋物線的平移,平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握鉛錘法、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練1】.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),過、兩點(diǎn)的拋物線與軸交于另一點(diǎn).
(1)點(diǎn)坐標(biāo)是______;點(diǎn)坐標(biāo)是______;(2)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);(3)探究1:在拋物線上直線下方是否存在一點(diǎn),使面積最大?若存在,請求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;(4)探究2:在(3)的條件下,平面內(nèi)是否存在一點(diǎn),使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請說明理由.【答案】(1),(2),(3)(4)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或【分析】(1)由題意求出當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即可得出、的坐標(biāo);(2)將、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式,即可求解;(3)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,過點(diǎn)作于點(diǎn),交于點(diǎn),則點(diǎn)坐標(biāo)為,根據(jù),即可求解;(4)分三種情況:①當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí),②當(dāng)為平行四邊形對角線時(shí),當(dāng)為平行四邊形對角線時(shí),列出方程組可求出答案.【詳解】(1)解:直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,解得:,,,故答案為:,;(2)將、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式,,解得:,二次函數(shù)解析式為:,化為頂點(diǎn)式為,拋物線的頂點(diǎn)為;(3)存在,理由如下:設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,如圖,過點(diǎn)作于點(diǎn),交于點(diǎn),
則點(diǎn)坐標(biāo)為,,,當(dāng)時(shí),有最大值,此時(shí),,;(4)存在,理由如下:設(shè),由(1),(3)可知,,,如圖,當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí),
,,,如圖,當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí),,,,如圖,當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí),,,,綜上所述,點(diǎn)的坐標(biāo)為或或.【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題,考查了待定系數(shù)法,二次函數(shù)的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì),靈活應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】.已知拋物線(如圖所示).(1)填空:拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(,),對稱軸是;(2)已知y軸上一點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上,過點(diǎn)P作軸,垂足為B.若是等邊三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,點(diǎn)M在直線上.在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使四邊形為菱形?直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在請說明理由【答案】(1)0,1;直線(或y軸)(2)(3)存在,,,使得四邊形是菱形【分析】(1根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸即可;(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得,將代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入解析式即可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo);(3)首先求得直線的解析式,然后設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),利用勾股定理表示出有關(guān)的長即可得到有關(guān)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程,求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo).【詳解】(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對稱軸是直線(或y軸).故答案為:0,1;直線(或y軸);(2)如圖,∵是等邊三角形,∴.∴.∴.把代入,得,.∴.(3)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為,,點(diǎn)P的坐標(biāo)為設(shè)線段所在直線的解析式為∴解得:∴解析式為:設(shè)存在點(diǎn)N使得是菱形,∵點(diǎn)M在直線上,∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為:如圖,作軸于點(diǎn)Q,∵四邊形為菱形,∴,∴在直角三角形中,,即:解得:代入直線的解析式求得或1,當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的右支上時(shí),分為兩種情況:當(dāng)N在右圖1位置時(shí),∵,∴,又∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)為,∴N點(diǎn)坐標(biāo)為,即坐標(biāo)為.當(dāng)N在右圖2位置時(shí),∵,M點(diǎn)坐標(biāo)為,∴N點(diǎn)坐標(biāo)為,即坐標(biāo)為.當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的左支上時(shí),同理可求或,∴存在,,,使得四邊形是菱形.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題,并能正確的將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長,本題中所涉及的存在型問題更是近幾年中考的熱點(diǎn)問題.【變式訓(xùn)練3】.如圖,直線l:與x軸、y軸分別相交于A,B兩點(diǎn),與拋物線交于點(diǎn)B.
(1)求該拋物線的解析式;(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),并且點(diǎn)M在第三象限內(nèi),連接、,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,四邊形的面積為S,求S與m的函數(shù)表達(dá)式,并求出S的最大值;(3)若點(diǎn)C在直線上,拋物線上是否存在點(diǎn)D使得以O(shè),B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在,請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).【答案】(1)該拋物線的解析式為(2)S有最大值,當(dāng)時(shí),S的最大值是(3),,,【分析】(1)把代入,求出B的值,再將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入,求出a的值,即可得出拋物線解析式;(2)連接,設(shè)點(diǎn),根據(jù)得出S關(guān)于x的表達(dá)式,將其化為頂點(diǎn)式,即可求解;(3)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為,而點(diǎn)B和點(diǎn)O的坐標(biāo)分別為和,進(jìn)行分類討論:①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí),則有,,得出或,得出方程或,求解即可;②當(dāng)是平行四邊形的對角線時(shí),必過的中點(diǎn),且與互相平分,即E也是的中點(diǎn),得出,得出方程,求解即可.【詳解】(1)解:把代入得:,把代入得:,解得:,∴,,把代入得:,解得:,∴該拋物線的解析式為.(2)解:連接,如圖所示:
設(shè)點(diǎn),∵,,∴,則,∵,∴S有最大值,當(dāng)時(shí),S的最大值是.(3)解:設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為,而點(diǎn)B和點(diǎn)O的坐標(biāo)分別為和,①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí),則有,,∴或,∴或,∴或,∴,,,,②當(dāng)是平行四邊形的對角線時(shí),必過的中點(diǎn),且與互相平分,即E也是的中點(diǎn),∴,∴,∴,∴,,綜上所述,點(diǎn)D坐標(biāo)為,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合,解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法和步驟,求二次函數(shù)最值的方法,以及平行四邊形的性質(zhì):平行四邊形對邊平行且相等,平行四邊形對角線互相平分.【變式訓(xùn)練4】.如圖,拋物線經(jīng)過兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),直線經(jīng)過點(diǎn),與軸交于點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;(2)將在直線上平移,平移后的三角形記為,直線交拋物線于,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在拋物線上,是否存在以為頂點(diǎn)且以為一邊的平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或或或【分析】(1)把點(diǎn),代入拋物線方程,用待定系數(shù)法即可求解;(2)根據(jù)題意得是等腰直角三角形,將在直線上平移,設(shè)向右平移個(gè)單位長度,則向上移動(dòng)同樣的單位長度,可得用含表示點(diǎn),的坐標(biāo),根據(jù)即可求解;(3)本題應(yīng)分情況討論:①將平移,令D點(diǎn)落在x軸(即E點(diǎn))、B點(diǎn)落在拋物線(即F點(diǎn))上,可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),得出F點(diǎn)縱坐標(biāo),代入拋物線的解析式中即可求得F點(diǎn)坐標(biāo);②過D作x軸的平行線,與拋物線的交點(diǎn)符合F點(diǎn)的要求,此時(shí)F、D的縱坐標(biāo)相同,代入拋物線的解析式中即可求出F點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)解:拋物線經(jīng)過兩點(diǎn),,解得,,∴拋物線的解析式為;(2)解:直線經(jīng)過點(diǎn),且,,解得,,∴直線的解析式為,,是等腰直角三角形,將在直線上平移,設(shè)向右平移個(gè)單位,則向上平移為個(gè)單位,∴點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線交拋物線于,則,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí),,且,,解得,,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或;當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí),,且,,解得,,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或;綜上所述,點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或;(3)解:①平移直線,交x軸于E點(diǎn),交拋物線于F點(diǎn),
當(dāng)時(shí),四邊形為平行四邊形,此時(shí)點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù),,設(shè),則,解得:或,或,②過D作軸與拋物線交于點(diǎn)點(diǎn),過點(diǎn)作,交x軸于點(diǎn),過點(diǎn)作,交x軸于點(diǎn),此時(shí)四邊形,為平行四邊形,此時(shí)點(diǎn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,代入,得:,解得:或,或,綜上所述:點(diǎn)坐標(biāo)為或或或.【點(diǎn)睛】本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法是解題的關(guān)鍵.類型二、菱形存在性問題例.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線交軸于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn).
(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)直線與直線交于點(diǎn).點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,交直線于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn),交直線于點(diǎn).①若點(diǎn)在第二象限,且,求的值;②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形?若存在,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2)①或.②存在;或【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法列出方程組即可求出拋物線的表達(dá)式;(2)①利用,用和拋物線及一次函數(shù)的解析式表示出的長度,解出即可求出答案;②先根據(jù)直線與直線相交于點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)題意當(dāng)四邊形是正方形,利用正方形四個(gè)角都是直角且四條邊都相等求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的長度,再根據(jù)坐標(biāo)求解即可.【詳解】(1)解:拋物線經(jīng)過兩點(diǎn),,解得,拋物線的表達(dá)式為.(2)①如圖1,過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),
設(shè)直線與軸交點(diǎn)為.,直線軸,,,,由一次函數(shù),當(dāng)時(shí),,則點(diǎn)坐標(biāo)為,在中,,,,,.,,,.,平行于軸,,,,,,解得,.的值為或.②存在.點(diǎn)的坐標(biāo)為或.如圖,
(),(),直線的解析式為:,聯(lián)立直線與直線的方程得:,解得,().若四邊形是正方形,則,,解得,,,,,.,同理可得:,,.點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、正方形等綜合知識(shí)點(diǎn),難度較大,本題第(2)問中的第1小問通過面積比列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵,第2小問通過正方形的性質(zhì)進(jìn)行討論即可解題,對于二次函數(shù)的綜合題型要學(xué)會(huì)結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法解題.【變式訓(xùn)練1】.如圖,拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;(2)如圖1,點(diǎn)為直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)為何值時(shí),的面積最大?并求出這個(gè)面積的最大值;(3)如圖2,將該拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到新的拋物線,平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn),點(diǎn)為直線上的一點(diǎn),點(diǎn)是平面坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn),是否存在點(diǎn),,使以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,若存在,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí),的面積最大,且最大值為(3)存在,,,,【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求得,的值得出拋物線解析式即可;(2)過P作軸,交于M,利用割補(bǔ)法即可表示的面積,再根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求得最大值;(3)分①當(dāng)為邊時(shí),,②當(dāng)為對角線時(shí),,③為對角線,,三種情況討論即可.【詳解】(1)解:將,代入得,解得:,∴拋物線解析式為:;(2)解:設(shè)P的坐標(biāo)為,
在拋物線,令,可得,∴,設(shè)為,將,代入得,解得,∴直線的解析式為:,過P作軸,交于M,則,故,當(dāng)時(shí),最大值為;(3)解:向左平移2個(gè)單位后,,聯(lián)立,解得,∴,∵,∴;①當(dāng)為邊時(shí),,設(shè),則,即,解得,,∴,;②當(dāng)為對角線時(shí),,,∴,解得:,∴;③當(dāng)為對角線時(shí),,∴,解得:,,當(dāng)時(shí),點(diǎn)為,與點(diǎn)B重合,舍去,∴.綜上所述,存在,,,,.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合.(1)掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵;(2)掌握割補(bǔ)法求面積是解題關(guān)鍵;(3)需注意分情況討論和兩點(diǎn)之間距離公式.【變式訓(xùn)練2】.已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸交于點(diǎn).
(1)判斷的形狀,并說明理由.(2)設(shè)點(diǎn)是拋物線在第一象限部分上的點(diǎn),過點(diǎn)作軸于,交于點(diǎn),設(shè)四邊形的面積為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求使最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積;(3)在(2)的條件下,點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn),使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,若存在,寫出點(diǎn)的坐標(biāo),并選擇一個(gè)點(diǎn)寫出過程,若不存在,請說明理由.【答案】(1)是直角三角形,理由見解析(2),即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),最大,的面積為(3)存在,或或或或,證明見解析【分析】(1)分別令、求出三點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得的長度,根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷;(2),求出直線的解析式,即可根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而表示出,從而可建立函數(shù)關(guān)求解;(3)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,即、、三點(diǎn)可構(gòu)成等腰三角形,分類討論、、即可求解.【詳解】(1)解:是直角三角形,理由如下:令,則;令,則,解得,∴,,∴∴是直角三角形(2)解:∵點(diǎn)是拋物線在第一象限部分上的點(diǎn),∴設(shè)直線的解析式為:,則,解得:,∴直線的解析式為:,∴∵∴∴當(dāng)時(shí),即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),最大此時(shí),,∴的面積為:(3)解:由(1)可知,拋物線的對稱軸為直線,設(shè)點(diǎn)∵,,∴,,∵以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形∴、、三點(diǎn)可構(gòu)成等腰三角形,即,解得:,∴或,即,解得:∴或,即,解得:,∴綜上所述:或或或或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與面積及特殊四邊形的綜合問題.計(jì)算量較大,考查學(xué)生思維的完整性以及數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性.【變式訓(xùn)練3】.如圖,二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,對稱軸是直線,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),軸,交直線于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.(2)若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)O不重合),求四邊形面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng),則在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2)四邊形的面積最大,最大值為,(3)存在,或或【分析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;(2)設(shè)點(diǎn),則連接,根據(jù)得到四邊形面積的函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可;(3)分如圖3-1,圖3-2,圖3-3,圖3-4,圖3-5,圖3-6所示,為對角線和邊,利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行列式求解即可.【詳解】(1)由題意得:,解得,∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為;(2)設(shè)點(diǎn),則連接,∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為,對稱軸是直線,∴當(dāng)中時(shí),,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),且,此時(shí)四邊形的面積最大,最大值為,∴
(3)存在,∵,,∴直線的解析式為,設(shè),則,∵軸,∴軸,即,∴是以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的菱形的邊;如圖3-1所示,當(dāng)為對角線時(shí),
∵,∴是等腰直角三角形,∴,∵,∴,∴,∴軸,∴軸,即軸,∴點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于拋物線對稱軸對稱,∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為,∴,∴;如圖3-2所示,當(dāng)為邊時(shí),則,
∵∴,∴,解得或(舍去),∴,∴;如圖3-3所示,當(dāng)為邊時(shí),則,
同理可得,∴,解得或(舍去),∴,∴;如圖3-4所示,當(dāng)為邊時(shí),則,
同理可得,解得(舍去)或(舍去);如圖3-5所示,當(dāng)為對角線時(shí),
∴,∵,∴,∴,∴軸,∴軸,這與題意相矛盾,∴此種情形不存在如圖3-6所示,當(dāng)為對角線時(shí),設(shè)交于S,
∵軸,∴,∵,∴,這與三角形內(nèi)角和為180度矛盾,∴此種情況不存在;綜上所述,或或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合,一次函數(shù)與幾何綜合,菱形的性質(zhì),勾股定理,求二次函數(shù)解析式等等,利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.類型三、矩形存在性問題例.如圖1,拋物線與軸交于和兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作軸交于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),求出的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);(3)如圖2,將原拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線,與原拋物線相交于點(diǎn),點(diǎn)為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn),在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn),使以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,若存在,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí),最大值為,此時(shí)(3)存在,點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【分析】(1)設(shè)頂點(diǎn)式,展開得,解方程求出即可得到拋物線解析式;(2)根據(jù)題意推出等腰三角形,利用等腰直角三角形的性質(zhì),推出的表達(dá)式,從而建立起的函數(shù)表達(dá)式,最終利用函數(shù)法求最值;(3)先通過勾股定理求出點(diǎn)的坐標(biāo),再由矩形對角線的性質(zhì),直接計(jì)算的坐標(biāo).【詳解】(1)解:設(shè)拋物線解析式為,即,,解得,拋物線的函數(shù)表達(dá)式為;(2)由題意,,則為等腰直角三角形,,設(shè)的解析式為,將與代入得,則,點(diǎn)在拋物線上,軸交于點(diǎn),設(shè),則,則,其中,如圖,延長交于點(diǎn),則,
且由題可知,為等腰直角三角形,由”三線合一“知,,,,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得,當(dāng)時(shí),最大值為,此時(shí);(3)由平移可求得平移后函數(shù)解析式為,與原函數(shù)交點(diǎn);以為邊,作交對稱軸于,可構(gòu)造矩形,設(shè),
,,,,,解得,即,此時(shí)設(shè),由、、、四點(diǎn)的相對位置關(guān)系可得:,解得:,;同理,以為邊,作交對稱軸于,可構(gòu)造矩形,設(shè),,,解得,即,此時(shí)設(shè),,由、、、四點(diǎn)的相對位置關(guān)系可得:,解得:,;以為對角線,作交對稱軸于,可構(gòu)造矩形,設(shè),
,,解得,,即,,此時(shí)設(shè),由、、、四點(diǎn)的相對位置關(guān)系可得:,解得:,;設(shè),由、、、四點(diǎn)的相對位置關(guān)系可得:,解得:,.綜上所述,點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,用函數(shù)法求線段和最值問題,二次函數(shù)圖象和性質(zhì),矩形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),是一道關(guān)于二次函數(shù)綜合題和壓軸題,綜合性強(qiáng),難度較大;熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用方程思想,數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練1】.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線交軸于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn).
(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)直線與直線交于點(diǎn).點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,交直線于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn),交直線于點(diǎn).①若點(diǎn)在第二象限,且,求的值;②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形?若存在,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2)①或.②存在;或【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法列出方程組即可求出拋物線的表達(dá)式;(2)①利用,用和拋物線及一次函數(shù)的解析式表示出的長度,解出即可求出答案;②先根據(jù)直線與直線相交于點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)題意當(dāng)四邊形是正方形,利用正方形四個(gè)角都是直角且四條邊都相等求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的長度,再根據(jù)坐標(biāo)求解即可.【詳解】(1)解:拋物線經(jīng)過兩點(diǎn),,解得,拋物線的表達(dá)式為.(2)①如圖1,過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),
設(shè)直線與軸交點(diǎn)為.,直線軸,,,,由一次函數(shù),當(dāng)時(shí),,則點(diǎn)坐標(biāo)為,在中,,,,,.,,,.,平行于軸,,,,,,解得,.的值為或.②存在.點(diǎn)的坐標(biāo)為或.如圖,
(),(),直線的解析式為:,聯(lián)立直線與直線的方程得:,解得,().若四邊形是正方形,則,,解得,,,,,.,同理可得:,,.點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、正方形等綜合知識(shí)點(diǎn),難度較大,本題第(2)問中的第1小問通過面積比列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵,第2小問通過正方形的性質(zhì)進(jìn)行討論即可解題,對于二次函數(shù)的綜合題型要學(xué)會(huì)結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法解題.【變式訓(xùn)練2】.如圖,已知拋物線經(jīng)過點(diǎn),其對稱軸為直線,為y軸上一點(diǎn),直線與拋物線交于另一點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)試在線段下方的拋物線上求一點(diǎn)E,使得的面積最大,并求出最大面積;(3)點(diǎn)F為拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G,使得以點(diǎn)A、D、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在,請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【答案】(1)(2),的面積最大,(3)存在,或或或【分析】(1)根據(jù)對稱軸推出,將代入,求出a、b、c的值,即可得出函數(shù)表達(dá)式;(2)用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式為,進(jìn)而得出,過點(diǎn)E作軸,交于點(diǎn)F,設(shè),則,求出的表達(dá)式,將其化為頂點(diǎn)式,根據(jù),可得當(dāng)取最大值時(shí),的面積最大為,即可求解;(3)根據(jù)題意得出點(diǎn)F橫坐標(biāo)為,設(shè),進(jìn)行分類討論:①當(dāng)為矩形對角線時(shí),②當(dāng)為矩形的對角線時(shí),③當(dāng)為矩形對角線時(shí),結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和勾股定理即可求解.【詳解】(1)解:∵對稱軸為直線,∴,整理得:,把代入得:,解得:∴拋物線函數(shù)表達(dá)式為;(2)解:設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為,把,代入得:,解得:,∴直線的函數(shù)表達(dá)式為,聯(lián)立直線和拋物線表達(dá)式:,解得:,,∴,過點(diǎn)E作軸,交于點(diǎn)F,設(shè),則,∴,∵,∴當(dāng)時(shí),取最大值,∵,∴當(dāng)取最大值時(shí),的面積最大為,∴,綜上:當(dāng)時(shí),的面積最大,;
(3)解:∵拋物線的對稱軸為直線,∴點(diǎn)F橫坐標(biāo)為,設(shè),∵,∴,①當(dāng)為矩形對角線時(shí),,解得:,∴,∴,即,解得:,∴或;
②當(dāng)為矩形的對角線時(shí),,解得:,∵四邊形為矩形,∴,∴,即,解得:,∴,
③當(dāng)為矩形對角線時(shí),,解得:,∵四邊形為矩形,∴,∴,即,解得:,∴,
綜上:存在,或或或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合,解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟,以及二次函數(shù)的最值求法,具有分類討論的思想.【變式訓(xùn)練3】.如圖,二次函數(shù)與x軸交于、兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式.(2)點(diǎn)P是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)P作軸交BC于點(diǎn)Q,求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).(3)將拋物線沿射線平移個(gè)單位,平移后得到新拋物線.D是新拋物
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