二次函數(shù)中特殊四邊形存在性問題（解析版）（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題06二次函數(shù)中特殊四邊形存在性問題類型一、平行四邊形存在性問題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接，點(diǎn)P為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和的最大值；(3)把拋物線沿射線方向平移個(gè)單位得新拋物線，M是新拋物線上一點(diǎn)，N是新拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)N點(diǎn)坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為(2)當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，(3)N點(diǎn)的坐標(biāo)為其中一個(gè)N點(diǎn)坐標(biāo)的解答過程見解析【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，如圖1，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，證明，得出：，運(yùn)用求二次函數(shù)最值方法即可得出答案；（3）設(shè)，分三種情況：當(dāng)為的邊時(shí)；當(dāng)為的邊時(shí)；當(dāng)為的對角線時(shí)，運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）∵拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，把代入，得：解得：，∴直線的解析式為，如圖1，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，．（3）如圖2，沿射線方向平移個(gè)單位，即向右平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位，∴新的物線解析式為，對稱軸為直線，設(shè)，當(dāng)為的邊時(shí)，則，，解得：，當(dāng)為的邊時(shí)，則，解得：，當(dāng)為的對角線時(shí)，則，解得：，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，拋物線的平移，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握鉛錘法、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過、兩點(diǎn)的拋物線與軸交于另一點(diǎn)．

(1)點(diǎn)坐標(biāo)是______；點(diǎn)坐標(biāo)是______；(2)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)探究1：在拋物線上直線下方是否存在一點(diǎn)，使面積最大？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(4)探究2：在（3）的條件下，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)，(3)(4)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或【分析】（1）由題意求出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可得出、的坐標(biāo)；（2）將、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)，即可求解；（4）分三種情況：①當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，②當(dāng)為平行四邊形對角線時(shí)，當(dāng)為平行四邊形對角線時(shí)，列出方程組可求出答案．【詳解】（1）解：直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，，，故答案為：，；（2）將、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，，解得：，二次函數(shù)解析式為：，化為頂點(diǎn)式為，拋物線的頂點(diǎn)為；（3）存在，理由如下：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

則點(diǎn)坐標(biāo)為，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，，；（4）存在，理由如下：設(shè)，由（1），（3）可知，，，如圖，當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，

，，，如圖，當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，，，，如圖，當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，，，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．已知拋物線（如圖所示）．(1)填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），對稱軸是；(2)已知y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P作軸，垂足為B．若是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線上．在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形為菱形？直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在請說明理由【答案】(1)0，1；直線（或y軸）(2)(3)存在，，，使得四邊形是菱形【分析】（1根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得，將代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（3）首先求得直線的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出有關(guān)的長即可得到有關(guān)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程，求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo)．【詳解】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對稱軸是直線（或y軸）．故答案為：0，1；直線（或y軸）；（2）如圖，∵是等邊三角形，∴．∴．∴．把代入，得，．∴．（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為設(shè)線段所在直線的解析式為∴解得：∴解析式為：設(shè)存在點(diǎn)N使得是菱形，∵點(diǎn)M在直線上，∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：如圖，作軸于點(diǎn)Q，∵四邊形為菱形，∴，∴在直角三角形中，，即：解得：代入直線的解析式求得或1，當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的右支上時(shí)，分為兩種情況：當(dāng)N在右圖1位置時(shí)，∵，∴，又∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)為，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為，即坐標(biāo)為．當(dāng)N在右圖2位置時(shí)，∵，M點(diǎn)坐標(biāo)為，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為，即坐標(biāo)為．當(dāng)P點(diǎn)在拋物線的左支上時(shí)，同理可求或，∴存在，，，使得四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，并能正確的將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長，本題中所涉及的存在型問題更是近幾年中考的熱點(diǎn)問題．【變式訓(xùn)練3】．如圖，直線l：與x軸、y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)B．

(1)求該拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第三象限內(nèi)，連接、，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，四邊形的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；(3)若點(diǎn)C在直線上，拋物線上是否存在點(diǎn)D使得以O(shè)，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)該拋物線的解析式為(2)S有最大值，當(dāng)時(shí)，S的最大值是(3)，，，【分析】（1）把代入，求出B的值，再將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，求出a的值，即可得出拋物線解析式；（2）連接，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)得出S關(guān)于x的表達(dá)式，將其化為頂點(diǎn)式，即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，而點(diǎn)B和點(diǎn)O的坐標(biāo)分別為和，進(jìn)行分類討論：①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí)，則有，，得出或，得出方程或，求解即可；②當(dāng)是平行四邊形的對角線時(shí)，必過的中點(diǎn)，且與互相平分，即E也是的中點(diǎn)，得出，得出方程，求解即可．【詳解】（1）解：把代入得：，把代入得：，解得：，∴，，把代入得：，解得：，∴該拋物線的解析式為．（2）解：連接，如圖所示：

設(shè)點(diǎn)，∵，，∴，則，∵，∴S有最大值，當(dāng)時(shí)，S的最大值是．（3）解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，而點(diǎn)B和點(diǎn)O的坐標(biāo)分別為和，①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí)，則有，，∴或，∴或，∴或，∴，，，，②當(dāng)是平行四邊形的對角線時(shí)，必過的中點(diǎn)，且與互相平分，即E也是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，，綜上所述，點(diǎn)D坐標(biāo)為，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法和步驟，求二次函數(shù)最值的方法，以及平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形對邊平行且相等，平行四邊形對角線互相平分．【變式訓(xùn)練4】．如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)將在直線上平移，平移后的三角形記為，直線交拋物線于，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在拋物線上，是否存在以為頂點(diǎn)且以為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或或或【分析】（1）把點(diǎn)，代入拋物線方程，用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意得是等腰直角三角形，將在直線上平移，設(shè)向右平移個(gè)單位長度，則向上移動(dòng)同樣的單位長度，可得用含表示點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)即可求解；（3）本題應(yīng)分情況討論：①將平移，令D點(diǎn)落在x軸（即E點(diǎn)）、B點(diǎn)落在拋物線（即F點(diǎn)）上，可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出F點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求得F點(diǎn)坐標(biāo)；②過D作x軸的平行線，與拋物線的交點(diǎn)符合F點(diǎn)的要求，此時(shí)F、D的縱坐標(biāo)相同，代入拋物線的解析式中即可求出F點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，，解得，，∴拋物線的解析式為；（2）解：直線經(jīng)過點(diǎn)，且，，解得，，∴直線的解析式為，，是等腰直角三角形，將在直線上平移，設(shè)向右平移個(gè)單位，則向上平移為個(gè)單位，∴點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線交拋物線于，則，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，，且，，解得，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，，且，，解得，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；（3）解：①平移直線，交x軸于E點(diǎn)，交拋物線于F點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，，設(shè)，則，解得：或，或，②過D作軸與拋物線交于點(diǎn)點(diǎn)，過點(diǎn)作，交x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交x軸于點(diǎn)，此時(shí)四邊形，為平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入，得：，解得：或，或，綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法是解題的關(guān)鍵．類型二、菱形存在性問題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)直線與直線交于點(diǎn)．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．①若點(diǎn)在第二象限，且，求的值；②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①或．②存在；或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法列出方程組即可求出拋物線的表達(dá)式；（2）①利用，用和拋物線及一次函數(shù)的解析式表示出的長度，解出即可求出答案；②先根據(jù)直線與直線相交于點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意當(dāng)四邊形是正方形，利用正方形四個(gè)角都是直角且四條邊都相等求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的長度，再根據(jù)坐標(biāo)求解即可．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，，解得，拋物線的表達(dá)式為．（2）①如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

設(shè)直線與軸交點(diǎn)為．，直線軸，，，，由一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)坐標(biāo)為，在中，，，，，．，，，．，平行于軸，，，，，，解得，．的值為或．②存在．點(diǎn)的坐標(biāo)為或．如圖，

（），（），直線的解析式為：，聯(lián)立直線與直線的方程得：，解得，（）．若四邊形是正方形，則，，解得，，，，，．，同理可得：，，．點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、正方形等綜合知識(shí)點(diǎn)，難度較大，本題第（2）問中的第1小問通過面積比列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵，第2小問通過正方形的性質(zhì)進(jìn)行討論即可解題，對于二次函數(shù)的綜合題型要學(xué)會(huì)結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法解題．【變式訓(xùn)練1】．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)為直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)．當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值；(3)如圖2，將該拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到新的拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是平面坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，的面積最大，且最大值為(3)存在，，，，【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得，的值得出拋物線解析式即可；（2）過P作軸，交于M，利用割補(bǔ)法即可表示的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求得最大值；（3）分①當(dāng)為邊時(shí)，，②當(dāng)為對角線時(shí)，，③為對角線，，三種情況討論即可．【詳解】（1）解：將，代入得，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）解：設(shè)P的坐標(biāo)為，

在拋物線，令，可得，∴，設(shè)為，將，代入得，解得，∴直線的解析式為：，過P作軸，交于M，則，故，當(dāng)時(shí)，最大值為；（3）解：向左平移2個(gè)單位后，，聯(lián)立，解得，∴，∵，∴；①當(dāng)為邊時(shí)，，設(shè)，則，即，解得，，∴，；②當(dāng)為對角線時(shí)，，，∴，解得：，∴；③當(dāng)為對角線時(shí)，，∴，解得：，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為，與點(diǎn)B重合，舍去，∴．綜上所述，存在，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合．（1）掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵；（2）掌握割補(bǔ)法求面積是解題關(guān)鍵；（3）需注意分情況討論和兩點(diǎn)之間距離公式．【變式訓(xùn)練2】．已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．

(1)判斷的形狀，并說明理由．(2)設(shè)點(diǎn)是拋物線在第一象限部分上的點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，交于點(diǎn)，設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求使最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并選擇一個(gè)點(diǎn)寫出過程，若不存在，請說明理由．【答案】(1)是直角三角形，理由見解析(2)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，最大，的面積為(3)存在，或或或或，證明見解析【分析】（1）分別令、求出三點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的長度，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷；（2），求出直線的解析式，即可根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出，從而可建立函數(shù)關(guān)求解；（3）以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，即、、三點(diǎn)可構(gòu)成等腰三角形，分類討論、、即可求解．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由如下：令，則；令，則，解得，∴，，∴∴是直角三角形（2）解：∵點(diǎn)是拋物線在第一象限部分上的點(diǎn)，∴設(shè)直線的解析式為：，則，解得：，∴直線的解析式為：，∴∵∴∴當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，最大此時(shí)，，∴的面積為：（3）解：由（1）可知，拋物線的對稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)∵，，∴，，∵以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形∴、、三點(diǎn)可構(gòu)成等腰三角形，即，解得：，∴或，即，解得：∴或，即，解得：，∴綜上所述：或或或或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與面積及特殊四邊形的綜合問題．計(jì)算量較大，考查學(xué)生思維的完整性以及數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性．【變式訓(xùn)練3】．如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．(2)若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)O不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)四邊形的面積最大，最大值為，(3)存在，或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)，則連接，根據(jù)得到四邊形面積的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）分如圖3-1，圖3-2，圖3-3，圖3-4，圖3-5，圖3-6所示，為對角線和邊，利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行列式求解即可．【詳解】（1）由題意得：，解得，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為；（2）設(shè)點(diǎn)，則連接，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，∴當(dāng)中時(shí)，，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)四邊形的面積最大，最大值為，∴

（3）存在，∵，，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∵軸，∴軸，即，∴是以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的菱形的邊；如圖3-1所示，當(dāng)為對角線時(shí)，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴軸，∴軸，即軸，∴點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴，∴；如圖3-2所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

∵∴，∴，解得或（舍去），∴，∴；如圖3-3所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

同理可得，∴，解得或（舍去），∴，∴；如圖3-4所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

同理可得，解得（舍去）或（舍去）；如圖3-5所示，當(dāng)為對角線時(shí)，

∴，∵，∴，∴，∴軸，∴軸，這與題意相矛盾，∴此種情形不存在如圖3-6所示，當(dāng)為對角線時(shí)，設(shè)交于S，

∵軸，∴，∵，∴，這與三角形內(nèi)角和為180度矛盾，∴此種情況不存在；綜上所述，或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求二次函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．類型三、矩形存在性問題例．如圖1，拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求出的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，將原拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線，與原拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，最大值為，此時(shí)(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）設(shè)頂點(diǎn)式，展開得，解方程求出即可得到拋物線解析式；（2）根據(jù)題意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，推出的表達(dá)式，從而建立起的函數(shù)表達(dá)式，最終利用函數(shù)法求最值；（3）先通過勾股定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由矩形對角線的性質(zhì)，直接計(jì)算的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，即，，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）由題意，，則為等腰直角三角形，，設(shè)的解析式為，將與代入得，則，點(diǎn)在拋物線上，軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，則，其中，如圖，延長交于點(diǎn)，則，

且由題可知，為等腰直角三角形，由”三線合一“知，，，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，最大值為，此時(shí)；（3）由平移可求得平移后函數(shù)解析式為，與原函數(shù)交點(diǎn)；以為邊，作交對稱軸于，可構(gòu)造矩形，設(shè)，

，，，，，解得，即，此時(shí)設(shè)，由、、、四點(diǎn)的相對位置關(guān)系可得：，解得：，；同理，以為邊，作交對稱軸于，可構(gòu)造矩形，設(shè)，，，解得，即，此時(shí)設(shè)，，由、、、四點(diǎn)的相對位置關(guān)系可得：，解得：，；以為對角線，作交對稱軸于，可構(gòu)造矩形，設(shè)，

，，解得，，即，，此時(shí)設(shè)，由、、、四點(diǎn)的相對位置關(guān)系可得：，解得：，；設(shè)，由、、、四點(diǎn)的相對位置關(guān)系可得：，解得：，．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，用函數(shù)法求線段和最值問題，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，矩形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是一道關(guān)于二次函數(shù)綜合題和壓軸題，綜合性強(qiáng)，難度較大；熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用方程思想，數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)直線與直線交于點(diǎn)．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．①若點(diǎn)在第二象限，且，求的值；②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①或．②存在；或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法列出方程組即可求出拋物線的表達(dá)式；（2）①利用，用和拋物線及一次函數(shù)的解析式表示出的長度，解出即可求出答案；②先根據(jù)直線與直線相交于點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意當(dāng)四邊形是正方形，利用正方形四個(gè)角都是直角且四條邊都相等求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的長度，再根據(jù)坐標(biāo)求解即可．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，，解得，拋物線的表達(dá)式為．（2）①如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

設(shè)直線與軸交點(diǎn)為．，直線軸，，，，由一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)坐標(biāo)為，在中，，，，，．，，，．，平行于軸，，，，，，解得，．的值為或．②存在．點(diǎn)的坐標(biāo)為或．如圖，

（），（），直線的解析式為：，聯(lián)立直線與直線的方程得：，解得，（）．若四邊形是正方形，則，，解得，，，，，．，同理可得：，，．點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、正方形等綜合知識(shí)點(diǎn)，難度較大，本題第（2）問中的第1小問通過面積比列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵，第2小問通過正方形的性質(zhì)進(jìn)行討論即可解題，對于二次函數(shù)的綜合題型要學(xué)會(huì)結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法解題．【變式訓(xùn)練2】．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其對稱軸為直線，為y軸上一點(diǎn)，直線與拋物線交于另一點(diǎn)D．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)試在線段下方的拋物線上求一點(diǎn)E，使得的面積最大，并求出最大面積；(3)點(diǎn)F為拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)A、D、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，的面積最大，(3)存在，或或或【分析】（1）根據(jù)對稱軸推出，將代入，求出a、b、c的值，即可得出函數(shù)表達(dá)式；（2）用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，進(jìn)而得出，過點(diǎn)E作軸，交于點(diǎn)F，設(shè)，則，求出的表達(dá)式，將其化為頂點(diǎn)式，根據(jù)，可得當(dāng)取最大值時(shí)，的面積最大為，即可求解；（3）根據(jù)題意得出點(diǎn)F橫坐標(biāo)為，設(shè)，進(jìn)行分類討論：①當(dāng)為矩形對角線時(shí)，②當(dāng)為矩形的對角線時(shí)，③當(dāng)為矩形對角線時(shí)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵對稱軸為直線，∴，整理得：，把代入得：，解得：∴拋物線函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，把，代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，聯(lián)立直線和拋物線表達(dá)式：，解得：，，∴，過點(diǎn)E作軸，交于點(diǎn)F，設(shè)，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∵，∴當(dāng)取最大值時(shí)，的面積最大為，∴，綜上：當(dāng)時(shí)，的面積最大，；

（3）解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴點(diǎn)F橫坐標(biāo)為，設(shè)，∵，∴，①當(dāng)為矩形對角線時(shí)，，解得：，∴，∴，即，解得：，∴或；

②當(dāng)為矩形的對角線時(shí)，，解得：，∵四邊形為矩形，∴，∴，即，解得：，∴，

③當(dāng)為矩形對角線時(shí)，，解得：，∵四邊形為矩形，∴，∴，即，解得：，∴，

綜上：存在，或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，以及二次函數(shù)的最值求法，具有分類討論的思想．【變式訓(xùn)練3】．如圖，二次函數(shù)與x軸交于、兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)P是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作軸交BC于點(diǎn)Q，求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．(3)將拋物線沿射線平移個(gè)單位，平移后得到新拋物線．D是新拋物