解直角三角形與幾何綜合的兩種考法（解析版）（北師大版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)專(zhuān)題01解直角三角形與幾何綜合的兩種考法類(lèi)型一、網(wǎng)格問(wèn)題例．將放置在的正方形網(wǎng)格中，頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．則的值為．

【答案】/【分析】如圖所示，連接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，再根據(jù)45度角的正弦值為即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，由網(wǎng)格的特點(diǎn)可知，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的正弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，證明是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．例2．如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都在方格的格點(diǎn)上，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)CB到格點(diǎn)D，連接AD，先算出AC、CD，根據(jù)余弦的定義求出∠C的余弦值即可．【詳解】解：延長(zhǎng)CB到格點(diǎn)D，連接AD，如圖所示：根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)可知AD⊥CD，∴∠ADC=90°，∴△ACD為直角三角形，∵，，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了在方格紙中求余弦值，作出輔助線，將∠C放在直角三角形中，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形的格點(diǎn)，則sin∠BAC的值為【答案】【分析】找到方格點(diǎn)D，連接CD，由直角三角形逆定理得出三角形ADC為直角三角形，然后根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解即可．【詳解】：找到方格點(diǎn)D，連接CD，根據(jù)題意可得：AD2=12+12=2，，AC2=12+32=10，，CD2=22+22=8，，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理及其逆定理，求角的正弦等，理解題意，找準(zhǔn)直角三角形求解是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，相交于點(diǎn)P，則的值為（

）

A．3 B． C．1 D．2【答案】D【分析】首先連接，由題意易得，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，繼而求得答案．【詳解】解：如圖，連接，

∵四邊形是正方形，∴，∴，根據(jù)題意得：，∴，∴，∴，∴，在中，，∵，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練3】如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)是的小正方形的頂點(diǎn)上，則．【答案】【分析】過(guò)作于，則，求出和的長(zhǎng)，再解直角三角形求出即可．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，∴，∵小正方形的邊長(zhǎng)為，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形．理解和掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，連接．

（1）的長(zhǎng)為；（2）連接與相交于點(diǎn)，則的值是．【答案】2【分析】（1）根據(jù)勾股定理來(lái)求的長(zhǎng)度；（2）首先連接，由題意易得，，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值．【詳解】解：（1）如圖，根據(jù)勾股定理得，故答案為：；（2）如圖，連接，四邊形是正方形，，，，，，根據(jù)題意得：，，，，，在中，，，．故答案為：2．

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．類(lèi)型二、構(gòu)造直角三角形問(wèn)題例1．如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根據(jù)，，算出和，再根據(jù)，算出，最后根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】如下圖，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．例2．如圖，在四邊形中，，，，．則的長(zhǎng)的值為．【答案】【分析】如圖，延長(zhǎng)BC，AD交于E，解直角三角形分別求出AE、DE、CE、BC的長(zhǎng)，再運(yùn)用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BC，AD交于E，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴,∴BC=BE-CE=，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的知識(shí)，理解題意、明確思路、正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．例3．如圖，在矩形中，，連接，點(diǎn)在上，平分．

【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理易求對(duì)角線長(zhǎng)，進(jìn)而解三角形求出、即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作，如圖：

∵平分，∴，∴，∵在矩形中，，∴，，，∴，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形性質(zhì)和解三角形，解題關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)D作構(gòu)造是等腰直角三角形，再解三角形．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出結(jié)果．【詳解】解：連接，如圖所示

，，，四邊形的面積為48故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形面積，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)巧妙添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為，的面積為．【答案】【分析】過(guò)作，如圖所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面積公式代值求解即可得到．【詳解】解：過(guò)作，如圖所示：在中，，，，在中，，，即，，由勾股定理得；，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查解非直角三角形問(wèn)題以及求三角形面積，涉及三角函數(shù)定義、勾股定理及三角形面積公式，熟練掌握解非直角三角形的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．12 C． D．6【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，在，中，求得的長(zhǎng)，進(jìn)而證明是等腰三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，在中，，在中，，∵中，，，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∴，∴．故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．【變式訓(xùn)練4】．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個(gè)四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)B、D兩點(diǎn)分別作AC的垂線，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四邊形ABCD的面積等于△ACD的面積加上△ABC的面積，即可求出；【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，∵∠AOD=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°，∴DG=DO，同理可得：BH=BO，S四邊形ABCD=×AC×DG+×AC×BH=×AC××（DO+BO）=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查含30°的直角三角形的性質(zhì)和四邊形面積的計(jì)算，熟練掌握含30°直角三角形的性質(zhì)和不規(guī)則四邊形面積的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．課后作業(yè)1．如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)分別在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格上，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)，，，得到，推出是直角三角形，，推出．【詳解】如圖，∵，，，∴，∴是直角三角形，，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函數(shù)等．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判斷直角三角形，銳角三角函數(shù)定義．2．如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，那么的值為．

【答案】1【分析】連接，根據(jù)勾股定理可求出，，從而得出，則根據(jù)勾股定理逆定理可得出為直角三角形，且，最后根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：如圖，連接．

由圖可知，，，∴，∴為直角三角形，且，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及勾股定理逆定理，正切的定義．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，且AE=BE，連接DE，若AB=CD=CE=2，則tan∠DEC=．【答案】3【分析】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)交于點(diǎn)，先證明四邊形是平行四邊形，得，再證明，由，求得，再根據(jù)，求出、的長(zhǎng)，進(jìn)而求出、的長(zhǎng)，即可求出的值．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)交于點(diǎn)，，∴DH//AB，∴AD//BC，四邊形是平行四邊形，，，，設(shè)，，，，，，，，，，∵GH//BE，，，，，，，，，故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，連接．已知.

(1)若，求的長(zhǎng)度；(2)若，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)，得到中各邊長(zhǎng)的比值關(guān)系，計(jì)算出的長(zhǎng)度，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得到的長(zhǎng)度，最后再用