圓的最值模型之瓜豆模型（原卷版）（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題10圓的最值模型之瓜豆模型一、模型說明問題1.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？解析：Q點軌跡是一個圓理由：Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，．問題2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？解析：Q點軌跡是一個圓理由：∵AP⊥AQ，∴Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；又∵AP：AQ=2：1，∴Q點軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2：1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．模型總結：條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結論：（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．二、例題精講例1．如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為．例2．如圖，已知，平面內點P到點O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為．例3．如圖，中，，中，，直線與交于，當繞點任意旋轉的過程中，到直線距離的最大值是．例4．如圖，在半徑為4的中，弦，B是上的一動點（不與點A重合），D是的中點，M為的中點，則的最大值為．

三、課后訓練1．如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（）A． B．4 C． D．62．如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點B旋轉到BD，連AD，E為AD的中點，連接CE，則CE的最大值是．3．如圖，在中，，，，過點作的平行線，為直線上一動點，為的外接圓，直線交于點，則的最小值為．4．如圖，已知的半徑為2，弦，點為優(yōu)弧上動點，點為的內心，當點從點向點運動時，點移動的路徑長為．5．如圖，是的直徑，C為上一點，且，P為圓上一動點，M為的中點，連接．若的半徑為2，則長的最大值是．

6．如圖是半圓O的直徑，點D在半圓O上，，，C是上的一動點，連接，過點D作于點H，連接，在點C移動的過程中，的最小值是．

7．如圖，在中，，，，點是上的一個動點，以為直徑作圓，連接交圓于點，則的最小值為．

8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接BD，將△ABD繞點D順時針旋轉，記旋轉后的三角形為△A′B′D，旋轉角為α（0°＜α＜360°且α≠180°）．(1)在旋轉過程中，當A′落在線段BC上時，求A′B的長；(2)連接A′A、A′B，當∠BA′B'＝90°時，求tan∠A′AD；(3)在旋轉過程中，若△DAA′的重心為G，則CG的最小值＝．9．在菱形中，，是對角線上的一點，連接．（1）當在的中垂線上時，把射線繞點順時針旋轉后交于，連接．如圖①，若，求的長．（2）在（1）的條件下，連接，把繞點順時針旋轉得到如圖②，連接，點為的中點，連接，求的最大值．10．如圖1，在中，，，，以點為圓心，為半徑作圓．點為上的動點，連接，作，使點落在直線的上方，且滿足，連接，．（1）求的度數(shù)