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專題06三角形的外接圓和內(nèi)切圓的應(yīng)用4種常見壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一圓和直線相切在直角坐標(biāo)系中的相關(guān)計(jì)算】 1【考點(diǎn)二圓的切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用】 2【考點(diǎn)三三角形外接圓和內(nèi)切圓半徑的計(jì)算】 2【考點(diǎn)四三角形外接圓和內(nèi)接切圓中有關(guān)面積的計(jì)算】 3【過關(guān)檢測(cè)】 4【典型例題】【考點(diǎn)一圓在直角坐標(biāo)系中結(jié)合函數(shù)的相關(guān)計(jì)算】【例題1】如圖,直線交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)P為圓心,以1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙P,當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A. B.C.或 D.(﹣2,0)或(﹣5,0)【答案】C【分析】由題意根據(jù)函數(shù)解析式求得A(-4,0),B(0.-3),得到OA=4,OB=3,根據(jù)勾股定理得到AB=5,設(shè)⊙P與直線AB相切于D,連接PD,則PD⊥AB,PD=1,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】解:∵直線交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,∴令x=0,得y=-3,令y=0,得x=-4,∴A(-4,0),B(0,-3),∴OA=4,OB=3,∴AB=5,設(shè)⊙P與直線AB相切于D,連接PD,則PD⊥AB,PD=1,∵∠ADP=∠AOB=90°,∠PAD=∠BAO,∴△APD∽△ABO,∴,∴,∴AP=,∴OP=或OP=,∴P或P,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì),一次函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,相似三角形的判定和性質(zhì),正確的理解題意并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維分析是解題的關(guān)鍵.3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,是直線上的動(dòng)點(diǎn),的半徑為,直線與相切于點(diǎn),則線段的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】連接PQ、PO,如圖,根據(jù)切線的性質(zhì)得,再利用勾股定理得到OQ,利用垂線段最短,當(dāng)OP最小的時(shí)候,OQ最小,然后求出OP的最小值,從而得到OQ的最小值.【詳解】解:連接PQ、PO,如圖:∵直線OQ切于點(diǎn)Q,∴,在中,,∴當(dāng)OP最小的時(shí)候,OQ最小,當(dāng)OP⊥直線y=2時(shí),OP有最小值2,∴OQ的最小值為;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑,也考查了勾股定理.4.如圖,點(diǎn)P在拋物線y=x2﹣3x+1上運(yùn)動(dòng),若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切,則符合上述條件的所有的點(diǎn)P共有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】B【分析】若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切,則點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等,即x=y(tǒng)或x=﹣y,再判斷一元二次方程解的情況即可求解.【詳解】解:∵若以P為圓心的圓與x軸、y軸都相切,∴x=y(tǒng)或x=﹣y,當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),即x2﹣3x+1=x,∵Δ=b2﹣4ac=12>0,∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解;當(dāng)x=﹣y時(shí),即x2﹣3x+1=﹣x,∵Δ=b2﹣4ac=0,∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解;綜上可知符合上述條件的所有的點(diǎn)P共有3個(gè),故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的性質(zhì)以及切線的性質(zhì),根據(jù)題意得到x=y(tǒng)或x=﹣y是解題的關(guān)鍵.5.如圖,已知,,,與、均相切,點(diǎn)是線段與拋物線的交點(diǎn),則的值為(
)A.4 B. C. D.5【答案】D【分析】在Rt△AOB中,由勾股定理求得;再求得直線AC的解析式為;設(shè)的半徑為m,可得P(m,-m+6);連接PB、PO、PC,根據(jù)求得m=1,即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,5);再由拋物線過點(diǎn)P,由此即可求得.【詳解】在Rt△AOB中,,,∴;∵,,∴OC=6,∴C(0,6);∵,∴A(6,0);設(shè)直線AC的解析式為,∴,解得,∴直線AC的解析式為;設(shè)的半徑為m,∵與相切,∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,∵點(diǎn)P在直線AC上,∴P(m,-m+6);連接PB、PO、PA,∵與、均相切,∴△OBP邊OB上的高為m,△AOB邊AB上的高為m,∵P(m,-m+6);∴△AOP邊OA上的高為-m+6,∵,∴,解得m=1,∴P(1,5);∵拋物線過點(diǎn)P,∴.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理、勾股定理、待定系數(shù)法求解析式,正確求出的半徑是解決問題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)二切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例題2】和外切于點(diǎn)和的半徑分別為1和2,直線與相切于點(diǎn),與相交于,則的值為(
)
A. B. C. D.1【答案】B【分析】連接作直徑,連接CH,延長(zhǎng)交圓M于點(diǎn)G,連接,,作,交于點(diǎn)D,得出,即,再證明和,利用相似三角形的性質(zhì)求出比值即可.【詳解】解:連接作直徑,連接CH,延長(zhǎng)交圓M于點(diǎn)G,連接,,作,交于點(diǎn)D,由圓內(nèi)接四邊形和半徑相等得,,∵是直徑,∴,∴,∴,∵,∴,∵直線與相切于點(diǎn),∴,∴∵,∴,∴,∵,∴,,∴,∴,∴,∵,∴,∵,,∴,∴,即,∵,∴,∴,∴,∴,∴,故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合與相似三角形的判定與性質(zhì),解題關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線,熟練運(yùn)用圓的切線性質(zhì)和相似三角形的判定進(jìn)行推理求解.【變式1】如果兩個(gè)圓相交,且其中一個(gè)圓的圓心在另一個(gè)圓的圓內(nèi)時(shí),我們稱此兩圓的位置關(guān)系為“內(nèi)相交”.如圖1,已知△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)O在邊AC上.如果⊙C與直線AB相切,以O(shè)A為半徑的⊙O與⊙C“內(nèi)相交”,那么OA的長(zhǎng)度可以是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求得AB=5,兩個(gè)三角形面積公式求得CD,即可得出⊙C的半徑,根據(jù)“內(nèi)相交”的定義得出<OA<,即可得出結(jié)論.【詳解】解:△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴AB=5,作CD⊥AB于D,以C為圓心,以CD為半徑的圓C與直線AB相切于D,∴CD是⊙C半徑,∵AC?BC=AB?CD,即×4×3=×5CD,∴CD=,∴⊙C的半徑為,∵4-=,4+=,∴<OA<.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系,勾股定理的應(yīng)用,三角形的面積,求得⊙C的半徑是解題的關(guān)鍵.【變式2】如圖,在中,,的半徑為1,點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作的一條切線(點(diǎn)為切點(diǎn)),則切線的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】首先連接OP、OQ,根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2,可得當(dāng)OP⊥AB時(shí),即線段PQ最短,然后由勾股定理即可求得答案.【詳解】解:連接OP、OQ.∵PQ是⊙O的切線,∴OQ⊥PQ;根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2,∴當(dāng)PO⊥AB時(shí),線段PQ最短,∵在Rt△AOB中,OA=OB=,∴AB=OA=6,∴OP=,∴PQ=.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理.此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意得到當(dāng)PO⊥AB時(shí),線段PQ最短是關(guān)鍵.11.以O(shè)為中心點(diǎn)的量角器與直角三角板ABC如圖擺放,直角頂點(diǎn)B在零刻度線所在直線DE上,且量角器與三角板只有一個(gè)公共點(diǎn)P,則∠CBD的度數(shù)是(
)A.45°10' B.44°50' C.46°10' D.不能確定【答案】B【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OPB=90°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠POB=∠CBD,于是得到結(jié)論.【詳解】解:∵AB是⊙O的切線,∴∠OPB=90°,∵∠ABC=90°,∴OP∥BC,∴∠POB=∠CBD,根據(jù)量角器讀出∠POB的度數(shù)約為:44°50',故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì),平行線的判定和性質(zhì),熟練掌握切線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)三三角形外接圓和內(nèi)切圓半徑的計(jì)算】【例題3】已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為3、5、7,則其外接圓半徑為(
)A. B. C. D.【變式1】如圖,在中,,則內(nèi)切圓的半徑是(
)
A.1 B. C.2 D.3【答案】C【分析】此題考查了勾股定理,正方形的判定與性質(zhì),直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì),以及切線長(zhǎng)定理.設(shè)、、與的切點(diǎn)分別為D、E、F;易證得四邊形是正方形;那么根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得:,由此可求出r的長(zhǎng).【詳解】解:如圖,
在中,,根據(jù)勾股定理.四邊形中,,,∴四邊形是正方形,由切線長(zhǎng)定理,得:,,;∴;∴.故選:C.【變式2】如圖,與的的三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F,若,則的半徑為()A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【分析】連接,首先根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到,,然后證明出四邊形是正方形,然后設(shè),根據(jù)勾股定理求解即可.【詳解】如圖,連接,∵與相切,∴,,,,,∴,∵,∴四邊形是矩形,∴矩形是正方形,∴,設(shè),中,,,,由勾股定理得,,∴,∴(舍去),∴,故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓,切線長(zhǎng)定理,勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).22.如圖,是的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為,,,且,,,則的半徑是(
)
A.1 B. C.2 D.【答案】C【分析】連接,,,如圖,設(shè)的半徑為r,利用勾股定理計(jì)算出,再證明四邊形為正方形,則,所以,,進(jìn)而可證,,因此,由此可解.【詳解】解:連接,,,如圖,設(shè)的半徑為r,∵,,,∴,∵F點(diǎn)、D點(diǎn)為切點(diǎn),∴,,又∵,∴四邊形為矩形,又∵,∴四邊形為正方形,∴,∴,,在和中,,∴,∴,同理可證,∴,∵,∴,∴,即的半徑為2.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,勾股定理,正方形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是證明四邊形為正方形.【考點(diǎn)四求三角形外接圓和內(nèi)切圓面積的計(jì)算】【例題4】如圖,的內(nèi)切圓與斜邊相切于點(diǎn)D,,,則的面積為(
)A.8 B. C. D.【答案】C【分析】設(shè),由切線長(zhǎng)定理得出,,,根據(jù)勾股定理,得.整理得,再由三角形面積公式即可得出答案.【詳解】解:設(shè),根據(jù)切線長(zhǎng)定理,得,,,根據(jù)勾股定理,得,整理,得,∴,則的面積為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓、切線長(zhǎng)定理、勾股定理以及三角形面積公式等知識(shí);熟練掌握切線長(zhǎng)定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵.【變式1】已知的周長(zhǎng)為,其內(nèi)切圓的面積為,則的面積為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】由題意可得,,,由面積關(guān)系可求解.【詳解】解:如圖,設(shè)內(nèi)切圓與相切于點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn),連接,,,,,,切于,,,,同理:,,,,,故選A【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,掌握內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式2】已知的內(nèi)切圓半徑,、、為切點(diǎn),,,,則.
【答案】5【分析】連接、、、、、,根據(jù)題意得到,即,進(jìn)而得出,即可求解.【詳解】解:如圖,連接、、、、、,
∵的內(nèi)切圓半徑,、、為切點(diǎn),,
,
,
,,
,
,
,,即,,故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查圓的外接三角形,等腰三角形的性質(zhì),圓的切線定理,準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.【變式3】如圖,已知O是的內(nèi)心,連接,,.若內(nèi)切圓的半徑為2,的周長(zhǎng)為12,求的面積.【答案】12【分析】設(shè)切點(diǎn)為D,E,F(xiàn),連接,,,將三角形面積表示為,結(jié)合周長(zhǎng)可得結(jié)果.【詳解】解:設(shè)切點(diǎn)為D,E,F(xiàn),連接,,,∴,∵的周長(zhǎng)為12,∴,∴的面積為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積,內(nèi)切圓的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是將面積用三個(gè)三角形的和表示.【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,P是直線y=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),⊙P的半徑為1,直線OQ切⊙P于點(diǎn)Q,則線段OQ的最小值為()A.1 B.2 C. D.【答案】C【分析】連接PQ、OP,如圖,根據(jù)切線的性質(zhì)得:PQ⊥OQ,再利用勾股定理得出OQ,利用垂線段最短,當(dāng)OP最小時(shí),OQ最小,即可求解.【詳解】連接PQ、OP,如圖,∵直線OQ切⊙P于點(diǎn)Q,∴PQ⊥OQ,在直角中,,當(dāng)OP最小時(shí),OQ最小,當(dāng)OP⊥直線y=2時(shí),OP有最小值2,∴OQ的最小值為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑,也考查了勾股定理,熟練掌握切線的性質(zhì)以及勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB經(jīng)過點(diǎn)A(-4,0),B(0,4),⊙O的半徑為1(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),點(diǎn)P在直線AB上,過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ,Q為切點(diǎn),則切線長(zhǎng)PQ的最小值為(
)A.
B.
C.
D.3【答案】B【分析】連接OP.根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2?OQ2,當(dāng)OP⊥AB時(shí),線段OP最短,即線段PQ最短.【詳解】解:如圖,連接OP、OQ.∵PQ是⊙O的切線,∴OQ⊥PQ.根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2?OQ2,∵當(dāng)PO⊥AB時(shí),線段PQ最短,又∵A(?4,0)、B(0,4),∴OA=OB=4.∴AB=.∴OP=AB=.∴PQ=.故答案為:B.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn),利用垂直構(gòu)造直角來解決有關(guān)問題.3.已知∠BAC=45°,一動(dòng)點(diǎn)O在射線AB上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)O與點(diǎn)A不重合),設(shè)OA=x,如果半徑為1的⊙O與射線AC有兩個(gè)公共點(diǎn),那么x的取值范圍是()A.0<x≤ B.l<x< C.1≤x< D.x>【答案】B【分析】當(dāng)⊙O與射線AC相切時(shí),OA有最大值,再考慮有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),OA的取值范圍.【詳解】解:當(dāng)⊙O與AC相切時(shí),OA最長(zhǎng),故OA=,∵點(diǎn)O與點(diǎn)A不重合,且與射線AC有兩個(gè)公共點(diǎn),∴故OA的長(zhǎng)應(yīng)大于1,∴x的取值范圍是1<x<,故選:B.【點(diǎn)睛】本題利用了切線的概念,等腰直角三角形的性質(zhì)求解.4.如圖,已知中,,為的內(nèi)切圓,若,且的面積為24,則的周長(zhǎng)為()A.48 B. C.24 D.【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及正方形的判定和性質(zhì).設(shè)的半徑為r,與的三邊、、的切點(diǎn)分別為D、E、F,連接、、.先證四邊形是正方形,則,根據(jù)勾股定理求出r.又由的周長(zhǎng)內(nèi)切圓半徑,即可求出的周長(zhǎng).熟練掌握“三角形內(nèi)切圓的圓心是三條角平分線的交點(diǎn),它到三角形三條邊的距離相等”這一性質(zhì),并且能求出內(nèi)切圓的半徑是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:如圖,設(shè)的半徑為,與的三邊、、的切點(diǎn)分別為,連接、、,則,,,且,又,∴四邊形是正方形,,,,解得,,,,即的周長(zhǎng)為,故選:C.5.如圖,中,,,,點(diǎn)是的內(nèi)心,則的長(zhǎng)度為(
)
A.2 B.3 C. D.【答案】C【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心,勾股定理,三角形的外接圓與外心,根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心,畫出的內(nèi)切圓,如圖,過點(diǎn)作,,,垂足為,,,連接,根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可知垂足,,也是三邊與的切點(diǎn),,,,,利用勾股定理可得,設(shè),則,根據(jù)切線長(zhǎng)定理可求得,設(shè),根據(jù),可得,即,問題隨之得解.【詳解】根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心,畫出的內(nèi)切圓,如圖,過點(diǎn)作,,,垂足為,,,連接,
根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可知垂足,,也是三邊與的切點(diǎn),,,,,,,,,設(shè),則,,,,,,,設(shè),,,,,.故選:C.6.如圖,的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn),,,,則的內(nèi)切圓半徑r為(
)
A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【分析】連接、、,,,設(shè)半徑為,利用面積公式求出內(nèi)切圓半徑,,【詳解】解:連結(jié)接、、,,,,設(shè)半徑為,
,,,,的內(nèi)切圓與,,分別相切于點(diǎn),,,,,,且,,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理,三角形內(nèi)切圓,面積法求內(nèi)切圓半徑,扇形面積等知識(shí),解題關(guān)鍵是求出內(nèi)切圓半徑.7.已知中,.是的內(nèi)切圓,下列選項(xiàng)中,的半徑為()
A. B. C. D.【答案】A【分析】求圓的半徑,因?yàn)橄嗲?,我們通常連接切點(diǎn)和圓心,證明四邊形是正方形,再利用圓的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)表示其中關(guān)系,得到方程,求解即得半徑.【詳解】解:設(shè)圓O的半徑是x,圓切于E,切于D,切于F,如圖,
∵,∴四邊形是矩形,又∵,∴四邊形是正方形,∴,∵,∴,∴,∴的半徑為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及通過設(shè)邊長(zhǎng),表示其他邊長(zhǎng)關(guān)系再利用直角三角形求解等常規(guī)考查點(diǎn),其中掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8.如圖,在中,,,,則的內(nèi)切圓的半徑r是(
)
A.2 B.3 C.4 D.無法判斷【答案】A【分析】根據(jù)等積法求內(nèi)切圓半徑,進(jìn)行求解即可.【詳解】解:∵,,,∴,如圖:設(shè)的內(nèi)切圓與各邊的切點(diǎn)分別為點(diǎn),連接,則:,
∵,∴,即:,∴;故選A.【點(diǎn)睛】本題考查求三角形內(nèi)切圓的半徑.熟練掌握等積法求內(nèi)切圓的半徑,是解題的關(guān)鍵.二、填空題9.在矩形中,,點(diǎn)E在邊上,,以點(diǎn)E為圓心、為半徑作(如圖),點(diǎn)F在邊上,以點(diǎn)F為圓心、為半徑作.如果與外切,那么的長(zhǎng)是.【答案】【分析】本題考查圓與圓的位置關(guān)系,矩形的性質(zhì),勾股定理,連接,作于,設(shè)的半徑是,得到,,,由勾股定理得到,求出,即可解決問題.解題的關(guān)鍵是通過作輔助線,構(gòu)造直角三角形,應(yīng)用勾股定理列出關(guān)于方程.【詳解】解:連接,作于,∵,點(diǎn)E在邊上,,設(shè)的半徑是,∵兩圓外切,,∵四邊形是矩形,,,∴四邊形是矩形,,,,∵,∴,∴,∴的長(zhǎng)是,故答案為:.10.如圖,已知半的半徑為60,半圓內(nèi)兩個(gè)小半圓的半徑均為30,與三圓均相切,則的半徑為.
【答案】20【分析】設(shè)的半徑為r,連接,,再利用勾股定理可得,再解方程即可.【詳解】解:設(shè)的半徑為r,連接,,
則,,在中,由勾股定理,得,解得.故答案為:20【點(diǎn)睛】本題考查的是兩圓相切的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.11.如圖,正方形的邊長(zhǎng)是,,E是邊的中點(diǎn).將該正方形沿折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)處,分別與,,相切,切點(diǎn)分別為F、G、H,則的半徑為.
【答案】2【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓,正方形與折疊問題,勾股定理,全等三角形的性質(zhì)與判定.如圖所示,延長(zhǎng)交于M,連接,先證明得到,設(shè)設(shè),則,,利用勾股定理建立方程,解方程求出,如圖所示,連接,利用等面積法求出半徑即可.【詳解】解:如圖所示,延長(zhǎng)交于M,連接,∵四邊形是正方形,∴,∵E為的中點(diǎn),∴,由折疊的性質(zhì)可得,∴,又∵,∴,
∴,
設(shè),則,,在中,由勾股定理得,∴,解得,∴,如圖所示,連接
∵分別與,,相切,切點(diǎn)分別為,,,∴,∵,∴,∴,∴的半徑為,故答案為;2.12.如圖,在中,,,則它內(nèi)切圓的半徑為.
【答案】【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì),連接,,,把原三角形分成三個(gè)三角形,而這三個(gè)三角形的高就是內(nèi)切圓的半徑.等腰三角形的面積可通過作高求得,這樣得到關(guān)于半徑的方程,解方程即可.【詳解】解:作的內(nèi)切圓,分別與、、相切于、、,連結(jié),,,,,,
則,,,是內(nèi)心,,,.、、三點(diǎn)共線,,設(shè)內(nèi)切圓半徑為,,,,,則,又,.故答案為:.13.如圖,已知圓O為的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為D、E、F,且,,,則的半徑r為.【答案】2【分析】連接,由勾股定理的逆定理求得是直角三角形,根據(jù)面積關(guān)系,即可求得半徑.【詳解】解:如圖,連接,∵,,,,∴,∴是直角三角形,∵為的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為D、E、F,∴,且,∴,∵,∴,即,∴,故答案為:2.14.已知內(nèi)接于,它的內(nèi)心為點(diǎn)D,連接交弦于點(diǎn)E,交于點(diǎn)F,已知,,,則線段的長(zhǎng)為.
【答案】/【分析】連接,,通過證明得到,求得線段,利用三角形的內(nèi)心是三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn),根據(jù)圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)求得的長(zhǎng),再利用三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)得到,則.【詳解】解:連接,,
∵,∴,∴,∴,∴,∵點(diǎn)為的內(nèi)心,∴,分別為,的平分線,∴,,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∴∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角的性質(zhì),圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理及其推論,等腰三角形的判定與性質(zhì),充分利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.15.如圖,正方形和等邊都內(nèi)接于圓O,與分別相交于點(diǎn)G,H.若,則的長(zhǎng)為.【答案】/【分析】連接與交于P點(diǎn),則它們的交點(diǎn)為O點(diǎn),如圖,利用正方形和等邊三角形的性質(zhì)得到,,,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到,,從而得到,然后利用為等腰直角三角形得到,,從而得到.【詳解】解:連接與交于P點(diǎn),則它們的交點(diǎn)為O點(diǎn),如圖,∵正方形和等邊都內(nèi)接于圓O,∴,,,∵,∴,∴,在中,,∵,∴,∵為等腰直角三角形,∴,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心與外接圓:三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn),叫做三角形的外心.也考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì).16.如圖,是的內(nèi)切圓,若,則.【答案】/119度【分析】根據(jù)是的內(nèi)切圓,得出,,進(jìn)而得出,即可得出答案.【詳解】解:∵是的內(nèi)切圓,∴,,∵,∴,∴故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理,此題難度不大.17.如圖,已知正外切于最小圓,內(nèi)接于第二個(gè)圓,正外切于第二個(gè)圓,內(nèi)接于最大圓,若最小的圓的半徑為,則最大圓的半徑等于.【答案】【分析】連接,則最大圓的半徑為,過的頂點(diǎn)A,過點(diǎn)O作,則與的交點(diǎn)D為內(nèi)切圓的切點(diǎn),即,與均為正三角形,,利用含直角三角形的性質(zhì)即可求得最大圓的半徑.【詳解】連接,則最大圓的半徑為,過的頂點(diǎn)A,過點(diǎn)O作,則與的交點(diǎn)D為內(nèi)切圓的切點(diǎn),即∵與均為正三角形,∴,∴,∴,即最大圓的半徑等于,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓與外接圓綜合及含直角三角形的性質(zhì),熟練掌握含直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.18.已知,點(diǎn)為的外心,點(diǎn)為的內(nèi)心.(1)若,則;(2)若,則.【答案】/100度/125度【分析】(1)如圖,證明;求出,進(jìn)而求出即可解決問題;(2)根據(jù)圓周角定理得到,根據(jù)三角形的內(nèi)心的性質(zhì)得到平分平分,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.【詳解】解:(1)如圖,的內(nèi)心為點(diǎn),,,,,,故答案為:;(2)如圖,點(diǎn)為的外心,,,點(diǎn)為的內(nèi)心,平分平分,,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、外接圓與外心,掌握?qǐng)A周角定理、三角形的內(nèi)心的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題19.如圖,為的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為,點(diǎn)分別為上的點(diǎn),且為的切線.
(1)若,求的度數(shù);(2)若,求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)11【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理,內(nèi)切圓的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是:(1)利用三角形內(nèi)角和求出,再根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理得出,,再求出,最后利用三角形內(nèi)角和求出結(jié)果;(2)設(shè)的切點(diǎn)為,根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)得到,,推出的周長(zhǎng)為,再結(jié)合切線長(zhǎng)定理可得,再計(jì)算即可【詳解】(1)解:∵,∴,∵為的內(nèi)切圓,∴,,∴,∴;(2)∵為的內(nèi)切圓,為的切線,設(shè)切點(diǎn)為,∴,,∴的周長(zhǎng)為:∵,,,∴.
20.如圖,圓是的內(nèi)切圓,其中,,求其內(nèi)切圓的半徑.【答案】.【分析】過B作BD⊥AC于D,切點(diǎn)分別為E、F、G,連結(jié)OE,OF,OG,根據(jù)勾股定理BD=,根據(jù)△ABC面積兩種求法列等式得出即可.【詳解】解:過B作BD⊥AC于D,切點(diǎn)分別為E、F、G,連結(jié)OE,OF,OG,設(shè)AD=x,CD=8-x,其內(nèi)切圓的半徑為r,根據(jù)勾股定理,即,解方程得,∴BD=,∵圓是的內(nèi)切圓,∴OE⊥AC,OF⊥AB,OG⊥BC,OE=OF=OG=r,∴S△ABC=,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)切圓的性質(zhì),勾股定理,三角形面積,掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì),勾股定理,三角形面積公式是解題關(guān)鍵.21.如圖:在三角形ABC中,AB=5,AC=7,BC=8,求其內(nèi)切圓的半徑.
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