專題12 類比歸納專題：圓中利用轉(zhuǎn)化思想求角度壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專題12類比歸納專題：圓中利用轉(zhuǎn)化思想求角度壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用同弧或等弧轉(zhuǎn)化圓周角與圓心角】 1【類型二構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形轉(zhuǎn)化角】 6【類型三利用直徑構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)化角】 10【類型四利用特殊數(shù)量關(guān)系構(gòu)造特殊角轉(zhuǎn)化角】 16【典型例題】【類型一利用同弧或等弧轉(zhuǎn)化圓周角與圓心角】例題：（2023·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為的直徑，C，D為上的點(diǎn)，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90度可得，進(jìn)而可得，．【詳解】解：如圖，連接，，

，，，為的直徑，，，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)A是的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用圓周角定理求解．【詳解】解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．2．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，則的度數(shù)為．

【答案】/30度【分析】根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理解答即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，，，則．

【答案】75【分析】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系．注意在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．由，根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系，可得，繼而求得答案．【詳解】解：，，．故答案為：75．4．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖，在中，，與相交于點(diǎn)M．求證：

(1)；(2)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由可證，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系即可證；（2）連接，，由弧、弦、圓心角的關(guān)系可得出，根據(jù)等弧所對(duì)圓周角相等可得出，結(jié)合對(duì)頂角相等可證，即得出．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∴；（2）證明：如圖，連接，．

∵，∴，．又∵，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查弧、弦、圓心角的關(guān)系，圓周角定理的推論，三角形全等的判定和性質(zhì)．掌握在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等是解題關(guān)鍵．5．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，弦與相交于點(diǎn)E，，連接．

(1)求證：；(2)連結(jié)，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由得，從而，據(jù)此可得答案；（2）由得，，再證明，根據(jù)可證．【詳解】（1）∵，∴，∴，∴；（2）連接

∵，∴，,又∵，∴,∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓心角、弧、弦三者的關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．也考查了全等三角形的判定.【類型二構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形轉(zhuǎn)化角】例題：（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）是的外接圓，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】在優(yōu)弧上取一點(diǎn)E，連接，由是的外接圓，，利用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，即可求得的度數(shù)，最后由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)E，連接，

，，，．∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半定理的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E均在上，且經(jīng)過(guò)圓心O，連接，若，則弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∴，∴弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A、B、C都在上，如果，那么的度數(shù)為．【答案】【分析】如圖：在優(yōu)弧AC上取一點(diǎn)D，連接，由圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形可得，，再結(jié)合求得．【詳解】解：如圖所示，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)D，連接，∴，，∵，∴∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在⊙O中，C為上的點(diǎn)，．若，則．

【答案】50°【分析】在優(yōu)弧上取一點(diǎn)D，連接，，，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：在優(yōu)弧上取一點(diǎn)D，連接，，，∵，∴，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：50°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，添加輔助線構(gòu)造圓心角和圓周角是解題的關(guān)鍵．4．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E都是上的點(diǎn)，，，則．

【答案】116【分析】連接、，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理求出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：連接、，

∵點(diǎn)A、C、D、E都是上的點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵點(diǎn)A、B、C、E都是⊙O上的點(diǎn)，∴，∴，故答案為：116．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．【類型三利用直徑構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)化角】例題：（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，點(diǎn)，點(diǎn)是上的兩點(diǎn)，連接，，．若，則的度數(shù)是°．

【答案】【分析】連接，如圖，利用圓周角定理得到，則，然后利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，

為的直徑，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·廣東陽(yáng)江·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角．連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是，可得，由，可得，進(jìn)而可得．【詳解】解：連接，

∵是的直徑，∴，，，．故選：D．2．（2023上·江蘇南京·九年級(jí)南京鐘英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是半圓的直徑，O為圓心，B、C是半圓上的兩點(diǎn)，，則°．

【答案】【分析】連接，如圖，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，則可計(jì)算出，然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可得到．【詳解】如圖所示，連接，

∵是直徑，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，以為直徑作半圓O，分別交，于點(diǎn)D，E，．

(1)求證：．(2)若，求，的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）連結(jié)根據(jù)直徑所對(duì)圓周是直角，結(jié)合即可得到證明；（2）根據(jù)同弧或等弧所對(duì)圓心角等于周角的兩倍直接計(jì)算即可得到答案；【詳解】（1）證明：連結(jié)，∵是直徑，

∴，∵，

∴是的中垂線，∴，；（2）解：∵，，，∴，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查直徑所對(duì)圓周角是直角及同弧或等弧所對(duì)圓心角等于周角的兩倍，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線．4．（2023上·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心畫弧分別交，的延長(zhǎng)線和于，，，連接并延長(zhǎng)交于，．(1)求證：；(2)連接，判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)等腰對(duì)等角，對(duì)頂角相等，垂線性質(zhì)可以推出，即可得出結(jié)論；（2）通過(guò)直徑所對(duì)圓周角為直角可得到，根據(jù)同位角相等即可得到．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，；（2）如圖，連接，為以點(diǎn)為圓心的圓的直徑，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，平行線的判定，等腰三角形的判定，熟練掌握相關(guān)定理性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023上·遼寧盤錦·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，D是等腰三角形底邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、B、D作．

(1)求證：是的直徑；(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接，求證：；(3)若，求長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)長(zhǎng)是【分析】（1）連接，由，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明，則，所以是的直徑；（2）根據(jù)圓周角定理證明，根據(jù)“等邊對(duì)等角”得，所以，則；（3）可由，，證明，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求的長(zhǎng)，再由求的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接，如圖，

∵D是等腰三角形底邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴是的直徑．（2）證明：∵是等腰三角形，∴，∵，∴，∴．（3）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【類型四利用特殊數(shù)量關(guān)系構(gòu)造特殊角轉(zhuǎn)化角】例題：（2023·江蘇連云港·校聯(lián)考三模）如圖，已知：四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，A、B、O是小正方形頂點(diǎn)，的半徑為1，P是上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，熟記同圓中一條弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·遼寧朝陽(yáng)·校聯(lián)考三模）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在上，四邊形是平行四邊形，則的大小為（

）

A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】A【分析】連接，證明為等邊三角形，得出，根據(jù)圓周角定理得出即可．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明為等邊三角形，求出．2．（2023·廣西防城港·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在上，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由，根據(jù)垂徑定理的即可求得：，然后由圓周角定理，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理以及垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（2023·廣東佛山·校考三模）如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，證明，得出，則，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，即可求解．【詳解】解：連接，在和中，，∴，∵，，∴，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題