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一元二次不等式恒成立問題一元二次不等式及其解法

恒成立問題

△>0有兩相異實根x1,x2(x1<x2){x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2

}△=0△<0有兩相等實根x1=x2={x|x≠

}x1x2xyOyxOΦΦR沒有實根yxOx1三個“二次”的關(guān)系表中的承擔幾種角色1、一元二次方程的兩根。2、二次函數(shù)的零點。3、不等式解的端點。二次不等式的恒成立

例1已知關(guān)于x下列不等式:(a-2)x2+(a-2)x+1試求a的取值范圍.≥0恒成立,≥0的解集為R恒為非負≥0對任意x∈R都成立解:令y=(a-2)x2+(a-2)x+1,①當a=2時,y=1符合題意;②當a>2時,則△≤0,有2<a≤6;△=(a-2)2-4(a-2)=(a-2)(a-6)③當a<2時,則a的值不存在;綜上,所求a的取值范圍為{a|2≤a≤6}.練一練若不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0對于x∈R恒成立,則實數(shù)m的取值范圍時

.練一練變式1:若函數(shù)的定義域為R,則m的取值范圍是__________。求實數(shù)a的取值范圍。例2:若關(guān)于x的一元二次不等式的解集為R,則m的取值范圍。__m〈2________通過對上述問題的探究,我們可得到以下結(jié)論:達標檢測A1.若關(guān)于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解為一切實數(shù),則a的取值范圍為 ()A.(-2,2]B.[-2,2]C.(-∞,-2)∪[2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)(-1,0]則問題轉(zhuǎn)化為m≤g(x)min解:m≤-2x2+9x在區(qū)間[2,3]上恒成立,(1)變量分離法(分離參數(shù))例5.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是_______.不等式恒成立問題【評注】對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題,如果能夠?qū)⒉坏仁街械淖兞亢蛥?shù)進行剝離,即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊,然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題.問題等價于f(x)max≤0,解:構(gòu)造函數(shù)23y..xo(2)轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值例3.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是_______.不等式恒成立問題則解:構(gòu)造函數(shù)23y..xo例5.關(guān)于x的不等式在區(qū)間[2,3]上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是_______.(3)數(shù)形結(jié)合思想不等式恒成立問題二、例題探究二、例題變形三、知識小結(jié)四、知識拓展基礎(chǔ)知識點復(fù)習五、代表例題【1】若不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0對于m∈[-1,1]恒成立,則實數(shù)x的取值范圍是_______.練一練此題若把它看成關(guān)于x的二次函數(shù),由于a,x都要變,則函數(shù)的最小值很難求出,思路受阻.若視a為主元,則給解題帶來轉(zhuǎn)機.練一練(三)逆向問題題型與解法例2.已知不等式的解集為求a-b的值.解法一:∵不等式的解集為∴方程的兩根為(三)逆向問題題型與解法例2.已知不等式的解集為求a-b的值.解法二:∵不等式的解集為∴方程的兩根為由韋達定理得(三)逆向問題題型與解法例2.已知不等式的解集為求a-b的值.(三)逆向問題題型與解法例2.已知不等式的解集為求a-b的值.解法三:∵不等式的解集為由待定系數(shù)法得(三)逆向問題題型與解法變式訓練21.下列不等式中,解集為實數(shù)集R的是()(B)(A)(C)(D)2.當?shù)慕馐牵ǎ?A)(B)(C)(D)DC課堂練習3.(1)不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-1/2<x<1/3},則a+b=

.

(2)關(guān)于x不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>1/2},則關(guān)于x的不等式ax2-bx+c<0的解集為

.⑶對于任意實數(shù)x,ax2+4x-1≥-2x2-a,對于任意實數(shù)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為

.4.當m為何值時,方程x2-2mx+2m+3=0

(1

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