數(shù)字信號處理-Lecture-15

數(shù)字信號處理

第十五講中國地質(zhì)大學(xué)(北京)地球物理與信息技術(shù)學(xué)院電子信息工程教研室制作1電子信息工程教研室Chapter6DiscreteFourierTransforms

第六章離散傅氏變換2電子信息工程教研室6.1傅氏變換的四種形式6.2周期序列的傅氏變換：離散傅氏級數(shù)展開6.3離散傅氏級數(shù)的性質(zhì)6.4有限長序列的傅氏變換：離散傅氏變換6.5離散傅氏變換的性質(zhì)6.6對DTFT的采樣6.7用DFT對連續(xù)時間信號逼近的討論3本講的主要內(nèi)容離散傅氏變換的性質(zhì)離散傅氏變換實現(xiàn)有限長序列的線性卷積4§6.4離散傅立葉變換

6.4TheDiscreteFourierTransform把x(n)看成周期為N的周期序列x?(n)的一個周期內(nèi)的樣本，那么x?(n)就是x(n)以N為周期的周期延拓，即(6-30)

5x?(n)=x((n))N

x(n)＝x?(n)RN(n)(6-31)X?(k)＝X((k))N(6-32)X(k)＝X?(k)RN(k)(6-33)

6[例6-3]設(shè)x?(n)是周期為N＝11的序列，求n＝26，

n＝-5兩數(shù)對N的余數(shù)。解：因為n＝26＝2

11+4，故((26))N=11＝4，而n＝-5＝(-1)11+6，故((-5))N=11＝6，因此x?(26)＝x((26))N=11＝x(4)，

x(-5)＝x((-5))N=11＝x(6)。在實際討論中，利用前面的矩形序列的符號RN(n)，

7其中DFT[

]表示離散傅氏正變換，IDFT[]表示離散傅氏反變換，有時也用下列記號表示8§6.5離散傅氏變換的性質(zhì)

6.5ThePropertiesofDFT下面討論的序列都是長度為N的序列，并假設(shè)1.線性性如果兩個有限長序列為x1(n)和x2(n)，那么(6-36)

92.對偶性與DFS的對偶性相類似，DFT的對偶性為：若(6-37)

那么(6-38)103.對稱性若x(n)為實序列，則X(k)具有共軛對稱性4.共軛對稱性(6-39)

若x(n)為純虛序列，則X(k)具有共軛反對稱性(6-40)

設(shè)有限長度為N點的序列x(n)，延拓成周期為N的周期序列x?(n)，即

x?(n)=x((n))N(6-41)

11周期序列x?(n)的共軛對稱分量x?e(n)及共軛反對稱分量x?o(n)分別為

x?e(n)=1/2[x?(n)+x?*(-n)]=1/2[x((n))N+x*((N-n))N]

x?o(n)=1/2[x?(n)-x?*(-n)]=1/2[x((n))N-x*((N-n))N]

圓周共軛對稱xep(n)=1/2[x((n))N+x*((N-n))N]

RN(n)圓周反共軛對稱xop(n)=1/2[x((n))N-x*((N-n))N]RN(n)設(shè)DFT[x(n)]＝DFT{Re[x(n)]+jIm[x(n)]}，則有

DFT{Re[x(n)]}=Xep(k)=1/2[X((k))N

+X*((N-k))N]RN(k)

DFT{jIm[x(n)]}＝Xop(k)＝1/2

[X((k))N

X*((N-k))N]RN(k)12[例6-4]設(shè)x1(n)、x2(n)都是實數(shù)序列，求DFT[x1(n)]＝X1(k)，

DFT[x2(n)]＝X2(k)解：用此二序列構(gòu)成一個復(fù)序列，即

w(n)=x1(n)+jx2(n)(6-48)則DFT[w(n)]＝W(k)=DFT[x1(n)+jx2(n)]

＝DFT[x1(n)]+jDFT[x2(n)]

＝X1(k)+jX2(k)13又x1(n)＝Re[w(n)]故

X1(k)＝DFT{Re[w(n)]}

＝Wep(k)

＝1/2[W(k)+W*((N-k))N]RN(k)同樣由于

x2(n)＝Im[w(n)]故

X2(k)＝1/jWop(k)

＝1/2

j[W(k)-W*((N-k))N]RN(k)所以用一次DFT求出W(k)后，則按以上公式即可求得X1(k)與X2(k)。145.循環(huán)移位一個長度為N的序列x(n)，其循環(huán)移位定義為x((n

m))NRN(n)＝x?(n

m)RN(n)(6-46)其中m表示x(n)移了m位，x?(n)是x(n)的周期延拓(周期為N)。有限長序列循環(huán)移位后的DFT為(6-47)

如圖6-6為一個八點的序列，圓周右移m位相當于沿順時針方向?qū)A周旋轉(zhuǎn)m點，所以又稱圓周移位。15圖6-6序列循環(huán)移位示意圖(左)8點序列(右)循環(huán)移位兩點166.DFT

的帕塞瓦定理一個序列在時域的能量與在頻域的能量是相等的，即7.循環(huán)卷積(6-50)

假設(shè)x1(n)和x2(n)都是長度為N的有限長序列（0

n

N-1），并且有DFT[x1(n)]＝X1(k)，DFT[x2(n)]＝X2(k)，如果

Y(k)＝X1(k)X2(k)那么17(6-52)

它是N點循環(huán)卷積，用符號表示為

18[例6-5]計算x1(n)、x2(n)的N點循環(huán)卷積，其中解：x1(n)、x2(n)的N點DFT分別為19那么所以兩個序列x1(n)、x2(n)的N點循環(huán)卷積為Y(k)的DFT反變換，為208.用離散傅氏變換實現(xiàn)有限長序列的線性卷積在時域內(nèi)兩個有限長序列的卷積可以轉(zhuǎn)換為在頻域上兩序列相應(yīng)DFT的乘積。而DFT已有高效的快速算法：快速傅氏變換（FFT—FastFourierTransforms）。通過如下步驟能有效地實現(xiàn)兩個序列的循環(huán)卷積運算。分別計算兩個有限長序列x1(n)和x2(n)的N點傅氏變換 X1(k)和X2(k)；取0

k

N-1計算乘積Y(k)=X1(k)

X2(k)；計算X(k)的DFT反變換便得到。21是兩序列的L點循環(huán)卷積，將x1(n)、x2(n)都看成是長度為L點的序列，令兩個序列的線性卷積為(6-55)

循環(huán)卷積代替線性卷積的條件假設(shè)22考慮到(6-55)式的線性卷積，得2324因為yl(n)有N1+N2-1個非零值，所以延拓的周期L必須滿足：

L

N1+N2-1(6-57)有y(n)＝y(tǒng)l(n)

，即25圖6-8有限長序列的線性卷積與循環(huán)卷積26綜上所述，用離散傅氏變換計算線性卷積的具體步驟為：將序列x1(n)和x2(n)補零到長度L

N1+N2-1；分別求出x1(n)和x2(n)的L點DFTX1(k)和X2(k)；將X1(k)和X2(k)直接相乘，得

Y(k)＝X1(k)X2(k)；計算Y(k)的反變換，便得線性卷積

yl(n)＝x1(n)x2(n)。

27（1）求x1(n)的4點DFT；（2）若，求DFTY(k)及y(n)；（3）求（4）求（5）求（6）求[例6?7]有兩序列28解：（1）（2）

29（3）

x1(n)和x2(n)的4點循環(huán)卷積可用下列方 法求得。先求x1(n)和x2(n)的線性卷積x1(n)

x2(n)，即

x2(n)

x1(n)102111021110210000022042yl(n)＝x1(n)

x2(n)＝{1,1,2,5,1,4,2}

30（4）n01234567yl(n)11251420yl(n+4)14202545n01234567yl(n)112514