專題31 幾何綜合壓軸題（第2期）

專題31幾何綜合壓軸題（23道）一、解答題1．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖1，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫(huà)出矩形ABCD和矩形EFGH，點(diǎn)E、F在邊AB上（EF<AB），且點(diǎn)C、D、G、在直線AB的同側(cè)；第二步，設(shè)置ABAD=m,EFEH=n，矩形EFGH能在邊AB上左右滑動(dòng)；第三步，畫(huà)出邊EF的中點(diǎn)O，射線OH與射線AD相交于點(diǎn)P（點(diǎn)P、D不重合），射線OG與射線BC相交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q、C不重合），觀測(cè)(1)如圖2，小麗取AB=4，EF=3，m=1，n=3，滑動(dòng)矩形EFGH，當(dāng)點(diǎn)E(2)小麗滑動(dòng)矩形EFGH，使得O恰為邊AB的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的m≠(3)經(jīng)過(guò)數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定m、n的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動(dòng)矩形EFGH，DP=CQ總成立．小麗的猜想是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在CD的延長(zhǎng)線上，BM=DN，連接AM，AN，點(diǎn)H在BC的延長(zhǎng)線上，∠MAH=2∠BAM，點(diǎn)E在線段BH上，且HE=AM，將線段EH繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EG，使得∠HEG=∠MAH，EG交AH于點(diǎn)F．(1)線段AM與線段AN的關(guān)系是______．(2)若EF=5，F(xiàn)G=4，求AH的長(zhǎng)．(3)求證：FH=2BM．3．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)D是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，過(guò)點(diǎn)D在AD左側(cè)作DE⊥AD，使AD=kDE，連接AE，點(diǎn)F，G分別是AE，BD的中點(diǎn)，連接DF，F(xiàn)G，．

(1)如圖1，點(diǎn)D在線段BC上，且點(diǎn)D不是BC的中點(diǎn)，當(dāng)α=90°，k=1時(shí)，AB與的位置關(guān)系是________，________．(2)如圖2，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)α=60°，k=3時(shí)，求證：．(3)當(dāng)α=60°，k=3時(shí)，直線CE與直線AB交于點(diǎn)N．若BC=6，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CN的長(zhǎng)．4．（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，點(diǎn)D在邊AC上，將線段DA繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，線段交AB于點(diǎn)E，作A'F⊥AB于點(diǎn)F，與線段AC交于點(diǎn)G，連接

(1)求證：△ADE(2)求證：AF?(3)若AC=8，tanA=12，當(dāng)A'5．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD中，AB=2，，點(diǎn)E在邊BC上，將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，以線段AE，AG為鄰邊作矩形AEFG．

(1)如圖1，連接BD，求∠BDC的度數(shù)和的值；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在射線BD上時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)EA=EC時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，滿足PE=EF，連接PA，PC，求PA+PC的最小值．6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD是一張A4紙，其中AD=2AB，小天用該游戲1

折出對(duì)角線BD，將點(diǎn)B翻折到BD上的點(diǎn)E處，折痕交BD于點(diǎn)G．展開(kāi)后得到圖①，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F恰為BC的中點(diǎn)．游戲2

在游戲1的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)C翻折到BD上，折痕為BP；展開(kāi)后將點(diǎn)B沿過(guò)點(diǎn)F的直線翻折到BP上的點(diǎn)H處；再展開(kāi)并連接GH后得到圖②，發(fā)現(xiàn)∠AGH(1)請(qǐng)你證明游戲1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)請(qǐng)你猜想游戲2中∠AGH7．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）鮮艷的中華人民共和國(guó)國(guó)旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國(guó)旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星．為了增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)家榮譽(yù)感、民族自豪感等．?dāng)?shù)學(xué)老師組織學(xué)生對(duì)五角星進(jìn)行了較深入的研究．延長(zhǎng)正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星．如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，∠EAF的平分線交EF于點(diǎn)

(1)求證：AE(2)若AF=1，求AE的長(zhǎng)．(3)求S正五邊形8．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在?ABCD紙片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），連接AE，將?ABCD紙片沿AE所在直線折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C'、D'，射線與射線AD交于點(diǎn)F(1)求證：AF=EF；(2)如圖2，當(dāng)EF⊥AF時(shí)，DF的長(zhǎng)為_(kāi)_____；(3)如圖3，當(dāng)CE=2時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，延長(zhǎng)FM交C'D'于點(diǎn)N，連接AN、EN9．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興

探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，折痕交AC于點(diǎn)D，連接DE，DB，則∠BDE=_______°，設(shè)AC=1，BC=x，那么AE=______（用含x的式子表示）；（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：底BC腰AC=5-1拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，，AB=1．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．

10．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC、△CDE是兩個(gè)等腰直角三角形，EF⊥

(1)當(dāng)AF=DF時(shí)，求∠AED(2)求證：△EHG(3)求證：AEEH11．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，連接DE，將ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到EF，連接．

(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上，∠ABC=45°時(shí)，如圖①，求證：(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線上，∠ABC=45°時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)E在線段CB延長(zhǎng)線上，∠ABC=135°時(shí)，如圖③，請(qǐng)猜想并直接寫(xiě)出線段AE，(3)在（1）、（2）的條件下，若BE=3，DE=5，則CE=_______．12．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）在?ABCD中，∠ADB=90°，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在AB上，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上，連接EF，DG．∠FED=∠ADG，

(1)如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，請(qǐng)用等式表示線段AG與線段DF的數(shù)量關(guān)系______；(2)如圖2，當(dāng)k=3時(shí)，寫(xiě)出線段AD，DE(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)時(shí)，連接，求tan∠EBF13．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說(shuō)明理由．【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB2+PC

14．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在直線AB上（不與點(diǎn)A,B重合），連接CD，線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，過(guò)點(diǎn)B作直線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥l，垂足為點(diǎn)F，直線EF交直線OC于點(diǎn)G．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD與線段EF的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，求證：CG+BD=2(3)連接DE，△CDE的面積記為S1，△ABC的面積記為，當(dāng)EF:BC=1:3時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出S115．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形ABC中，，過(guò)點(diǎn)B作射線BD⊥AB，垂足為B，點(diǎn)P在CB上．

(1)【動(dòng)手操作】如圖②，若點(diǎn)P在線段CB上，畫(huà)出射線PA，并將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點(diǎn)E，根據(jù)題意在圖中畫(huà)出圖形，圖中∠PBE的度數(shù)為_(kāi)______(2)【問(wèn)題探究】根據(jù)（1）所畫(huà)圖形，探究線段PA與PE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)【拓展延伸】如圖③，若點(diǎn)P在射線CB上移動(dòng)，將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點(diǎn)E，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．16．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=2．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿折線EB-BA-AD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作∠PEQ=90°，EQ交邊AD或邊DC于點(diǎn)Q，連續(xù)PQ．當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（

(1)當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)為_(kāi)_________；(2)當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合時(shí)，求tan∠(3)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PQE的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②(4)作點(diǎn)E關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)F，連接PF、QF，當(dāng)四邊形EPFQ和矩形ABCD重疊部分圖形為軸對(duì)稱四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．17．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．試猜想四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由；【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問(wèn)題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問(wèn)題：如圖2，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，AH⊥CE于點(diǎn)H，GD⊥DF交AH于點(diǎn)G，可以用等式表示線段FH，AH，CF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，AH⊥CE于點(diǎn)H，點(diǎn)M在CH上，且AH=HM，連接AM，BH，可以用等式表示線段CM，BH的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題．

18．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，求證：∠PMN=（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．如圖，延長(zhǎng)圖中的線段AD交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)線段BC交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：∠AEM=（3）用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)．如圖，在△ABC中，AC<AB，點(diǎn)D在AC上，AD=BC，M是AB的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，連接MN并延長(zhǎng)，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連接GD，若∠ANM=60°，試判斷△CGD19．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P,Q分別是邊BC，線段OD上的點(diǎn)，連接與OB相交于點(diǎn)E．

(1)如圖1，連接QA．當(dāng)QA=QP時(shí)，試判斷點(diǎn)Q是否在線段PC的垂直平分線上，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若∠APB=90°，且∠BAP=①求證：；②當(dāng)OQ=OE時(shí)，設(shè)EP=a，求的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）．20．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識(shí)后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在正方形ABCD的邊BC上任意取一點(diǎn)G，以BG為邊長(zhǎng)向外作正方形BEFG，將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

特例感知：（1）當(dāng)BG在BC上時(shí)，連接DF，AC相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為DF的中點(diǎn)，如圖（2）小紅繼續(xù)連接EG，并延長(zhǎng)與DF相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是DF中點(diǎn)P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)判斷△APE規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，連接DF，點(diǎn)P是DF中點(diǎn)，連接AP，EP，AE，△APE二、填空題21．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E在邊CD上，交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，于M，∠CME的平分線所在直線分別交CD，AC于點(diǎn)N，P，連接FN．下列結(jié)論：①S△NPF:S△NPC=FM:MC；②CM=PN；③EN?CD=EC?CF；④若EM=1，MB=4，則PM=

22．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，過(guò)點(diǎn)P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD交BD于點(diǎn)E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：①EM=EN；②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)AM:MD=1:2時(shí)，S

23．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）2002年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)．這次大會(huì)的會(huì)徽選定了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個(gè)全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形，連接AC和EG，AC與DF、EG、BH分別相交于點(diǎn)P、O、Q，若BE:EQ=3:2，則的值是．

專題31幾何綜合壓軸題（23道）一、解答題1．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖1，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫(huà)出矩形ABCD和矩形EFGH，點(diǎn)E、F在邊AB上（EF<AB），且點(diǎn)C、D、G、在直線AB的同側(cè)；第二步，設(shè)置ABAD=m,EFEH=n，矩形EFGH能在邊AB上左右滑動(dòng)；第三步，畫(huà)出邊EF的中點(diǎn)O，射線OH與射線AD相交于點(diǎn)P（點(diǎn)P、D不重合），射線OG與射線BC相交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q、C不重合），觀測(cè)(1)如圖2，小麗取AB=4，EF=3，m=1，n=3，滑動(dòng)矩形EFGH，當(dāng)點(diǎn)E(2)小麗滑動(dòng)矩形EFGH，使得O恰為邊AB的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的m≠(3)經(jīng)過(guò)數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定m、n的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動(dòng)矩形EFGH，DP=CQ總成立．小麗的猜想是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)7(2)見(jiàn)解析(3)小麗的猜想正確，理由見(jiàn)解析【分析】（1）證△GOF（2）證△GOF∽△QOB得BQGF=OBOF，同理可得APHE=OAOE，由（3）當(dāng)m=n時(shí)，取AB的中點(diǎn)M，連接MC、MD，由ABAD=EFEH，O恰為邊EF的中點(diǎn)，得ABEF=OBOF=BCOF，進(jìn)而證△GOF∽△CMB【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD和四邊形EFGH都是矩形，∴EH=FG，BC=AD，∠B=∵ABAD=m=1,EF∴AB=AD=4，F(xiàn)G=EH=1，∴O是EF的中點(diǎn)，∴12EF=∴OB=AB-OA=4∵∠B=∠OFG，∠GOF=∴△GOF∴BQGF=OB∴BQ=5∴CQ=BC-故答案為：73（2）證明：如下圖，解：∵小麗滑動(dòng)矩形EFGH，使得O恰為邊AB的中點(diǎn)，∴OA=OB，OE=OF，∵四邊形ABCD和四邊形EFGH都是矩形，∴∠B=∠OFG=90°，AD=BC，GF=HE，∵∠GOF=∴△GOF∴BQGF同理可得APHE∵OA=OB，OE=OF，∴OBOF∴BQGF∵GF=HE，∴BQ=AP，∵AD=BC，∴DP=CQ；（3）解：小麗的猜想正確，當(dāng)m=n時(shí)，DP=CQ總成立，理由如下：如下圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MC、MD，∵四邊形ABCD和四邊形EFGH都是矩形，∴∠B=∠OFG=90°，AD=BC，GF=HE，∵ABAD=m,EF∴ABAD∵O恰為邊EF的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，∴MA=MB，OE=OF，∴ABAD∴ABEF∵∠B=∴△GOF∴∠GOF=∴CM∥∴CQOM同理可證：DPOM∵AD=BC，∴CQOM∴DP=CQ，∴小麗的猜想正確．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，比例的性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)以及中點(diǎn)的定義，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在CD的延長(zhǎng)線上，BM=DN，連接AM，AN，點(diǎn)H在BC的延長(zhǎng)線上，∠MAH=2∠BAM，點(diǎn)E在線段BH上，且HE=AM，將線段EH繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EG，使得∠HEG=∠MAH，EG交AH于點(diǎn)F．(1)線段AM與線段AN的關(guān)系是______．(2)若EF=5，F(xiàn)G=4，求AH的長(zhǎng)．(3)求證：FH=2BM．【答案】(1)AM=AN(2)AH=(3)見(jiàn)解析【分析】（1）求證△ABM≌△ADN(SAS)，即可得證結(jié)論AM=AN（2）由題知，EH=EG=9，于是AM=HE=9，可證△AHM∽△EHF，所以AHEH=AM（3）連接GH，令，則∠MAH=∠HEG=2α，△HEG中，∠G=∠EHG=90°-α，可求∠GFH=∠FEH+∠EHF=90°-α，所以∠G=∠GFH，得證FH=GH；延長(zhǎng)線段至點(diǎn)I，使BI=BM，可證∠IAM≌△HEG(SAS)，得GH=IM，于是FH=IM=2BM．【詳解】（1）解：AM=AN∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM=∠ADC=90°，AB=AD.∴∠又∵BM=DN，∴△∴AM=AN．（2）解：由題知，EH=EG=4+5=9，∴AM=HE=9．∵∠MAH=∠HEG，∠AHM=∴△AHM∴AHEH∴AH9∴AH=81（3）解：連接GH，令，則∠MAH=∠△HEG中，EH=EG，∴∠G=Rt△ABH中，∴∠GFH=∴∠G=∴FH=GH．延長(zhǎng)線段至點(diǎn)I，使BI=BM，連接AI，則AB垂直平分IM，∴AI=AM．∴∠IAM=2∴∠IAM=又∵AM=AI=EH=EG，∴∠IAM∴GH=IM．∴FH=IM=2BM．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等；添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，從而求證線段之間的相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點(diǎn)D是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，過(guò)點(diǎn)D在AD左側(cè)作DE⊥AD，使AD=kDE，連接AE，點(diǎn)F，G分別是AE，BD的中點(diǎn)，連接DF，F(xiàn)G，．

(1)如圖1，點(diǎn)D在線段BC上，且點(diǎn)D不是BC的中點(diǎn)，當(dāng)α=90°，k=1時(shí)，AB與的位置關(guān)系是________，________．(2)如圖2，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)α=60°，k=3時(shí)，求證：．(3)當(dāng)α=60°，k=3時(shí)，直線CE與直線AB交于點(diǎn)N．若BC=6，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CN的長(zhǎng)．【答案】(1)垂直，1(2)見(jiàn)解析(3)CN=657【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交AC于，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)，推出A,B,E,D，四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得到∠ABE=90°，推出AB與垂直，利用斜邊上的中線以及等腰三角形三線合一，得到FG⊥BC，證明△AFR≌△EFB，得到FG∥DR,FG=12（2）作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，同（1）推出FG⊥BC，得到EH∥FG∥AQ，進(jìn)而得到EH+AQ=2FG，變形得到3EH+3AQ=23FG（3）分點(diǎn)D在線段BC上和在線段BC的延長(zhǎng)線上，兩種情況進(jìn)行討論求解．【詳解】（1）解：連接并延長(zhǎng)交AC于，

∵AB=AC,∠∴∠ABC=同理：∠AED=45∴∠AED=∴A,B,E,D，四點(diǎn)共圓，∴∠ABE+∵∠ADE=90∴∠ABE=90∴AB與垂直；∵F是AE的中點(diǎn)，∴BF=DF=12AB∵G是BD的中點(diǎn)，∴FG⊥∵∠ABE+∴BE∥∴∠EAR=又AF=EF，∠BFE=∴△AFR∴BF=RF，∴FG∥∴RD⊥∵∠C=45∴，∴，∴FGCD故答案為：垂直，12（2）作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

∵AB=AC,∠∴△ABC∴∠ABC=∠C=60°，BC=2CQ，∵∠ADE=90∴∠AED=60∴A,B,E,D，四點(diǎn)共圓，∴∠ABE=∵F是AE的中點(diǎn)，∴BF=DF=12AB∵G是BD的中點(diǎn)，∴FG⊥∴EH∥∴HGQG∴HG=QG，∴GF是梯形AEHQ的中位線，∴EH+AQ=2FG，∴3EH+∵∠H=90∴BH=3∵HG=QG，BG=DG，∴DQ=BH=3∵∠AQC=90∴CQ=3∴DQ+3CQ=23∴DQ+CQ+2CQ=2∴；（3）①當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作CX⊥EB，交EB的延長(zhǎng)線與點(diǎn)X，

由（2）知：△ABC為等邊三角形，∠ABE=90∴∠C=60°，BQ=CQ=1∴DQ=CD-CQ=2，AQ=3∵∠ADE=90°，∠H=∴∠EDH=∴△EHD∴HEDQ∴HE=3∵∠EBH=180∴BE=2HE=433∴CH=BH+BC=8，∴CE=E在Rt△BCX中，BC=6，∴BX=6?∴EX=EB+BX=13∵∠ABE=∠CXE=90°，∴CX∥BN，∴CNCE=BX∴CN=42②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB于點(diǎn)，作CX⊥EB，交EB的延長(zhǎng)線與點(diǎn)X，

同①可知：AQ=33∴DQ=CQ+CD=8,EH∴，∴BE=2HE=1633∴CH=BH-∴CE=E在Rt△BCX中，BC=6，∴BX=6?∴EX=EB-∵∠ABE=∴CX∥∴CNCE=BX∴CN=6綜上：CN=6577【點(diǎn)睛】本題考查幾何的綜合應(yīng)用，難度大，屬于中考?jí)狠S題，重點(diǎn)考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，斜邊上的中線，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線，構(gòu)造特殊圖形．4．（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，點(diǎn)D在邊AC上，將線段DA繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，線段交AB于點(diǎn)E，作A'F⊥AB于點(diǎn)F，與線段AC交于點(diǎn)G，連接

(1)求證：△ADE(2)求證：AF?(3)若AC=8，tanA=12，當(dāng)A'【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)8【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)A'F⊥AB，可得∠（2）根據(jù)∠BFG=∠ACB=90°，可得點(diǎn)B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，從而得到∠CBG=∠CFG，∠ABC+∠CGF=180°，從而得到∠AGF=∠ABC，進(jìn)而得到∠ACF=∠ABG，可證明△ABG（3）連接EG，根據(jù)AC=8，tanA=12，可得BC=4,A'D=AD=2DE，A'F=2EF，AB=45，設(shè)，則A'D=AD=2x可得AE=A'G=5x，A'【詳解】（1）證明：∵線段DA繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，∴，∴∠A+∵A'F⊥AB，即∴∠A∵∠AED=∴∠A=在△ADE和△A∵∠A=∠A'∴△ADE（2）證明：∵∠BFG=∴點(diǎn)B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠CBG=∠CFG，∠ABC+∵∠AGF+∴∠AGF=∵∠AGF=∴∠ACF=∵∠A=∴△ABG∴AGAF即AF?（3）解：如圖，連接EG，

∵△ADE∴DE=DG，AE=A∵AC=8，tanA∴tanA∴BC=4,A'D=AD=2DE∴AB=45設(shè)，則A'D=AD=2x∴AE=A'G=5x∴EF=5∴FG=355∵A'G平分四邊形∴S△∴12即12解得：x=4∴AD=2x=8【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD中，AB=2，，點(diǎn)E在邊BC上，將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，以線段AE，AG為鄰邊作矩形AEFG．

(1)如圖1，連接BD，求∠BDC的度數(shù)和的值；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在射線BD上時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)EA=EC時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，滿足PE=EF，連接PA，PC，求PA+PC的最小值．【答案】(1)∠BDC=60(2)(3)4【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=23，進(jìn)而根據(jù)正切函數(shù)得出tan∠BDC=BCDC=3，可求出，由矩形ABCD和矩形AEFG可得，（2）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CG于點(diǎn)M，由矩形ABCD和矩形AEFG可得，∠ABE=∠AGF=∠ADG=90°，AE=GF，證明△ABE≌△GMF，進(jìn)而得出tan∠MDF=tan60°=MFMD=3，設(shè)DM=x（3）連接AC，先證明△AGC是等邊三角形，AG=AC=4，得出PE=EF=AG=4，將△AEP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，EA與重合，得到△CEP'，進(jìn)而求出PA=P'C，∠PEP'=120°，EP=EP'=4，得出PP【詳解】（1）解：∵矩形ABCD中，AB=2，，∴∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=23∴tan∠∴，由矩形ABCD和矩形AEFG可得，∠ABE=∴∠EAG-∠EAD=∠BAD-∠EAD，即∠DAG=∴△ADG∴DGBE（2）解：如答案圖1，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CG于點(diǎn)M，由矩形ABCD和矩形AEFG可得，∠ABE=AE=GF，∴∠BAE=∠DAG=∠CGF，∠ABE=∴△ABE∴BE=MF，AB=GM=2，∴∠MDF=∠BDC=60°，F(xiàn)M⊥∴tan∠∴MF=3設(shè)DM=x，則BE=MF=3∴DG=GM+MD=2+x，∵DGBE∴2+x3解得x=1，∴BE=3（3）解：如答案圖2，連接AC，∵矩形ABCD中，AD=BC=23，AB=2∴∠ACB=30°，AC=2AB=4，∵EA=EC，∴∠EAC=∠ACE=30°，∠AEC=120∴∠ACG=∴△AGC是等邊三角形，AG=AC=4，∴PE=EF=AG=4，將△AEP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，EA與重合，得到△CEP∴PA=P'C，∠PE∴PP∴當(dāng)點(diǎn)P，C，P'三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC的值最小，此時(shí)為PA+PC=P

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD是一張A4紙，其中AD=2AB，小天用該游戲1

折出對(duì)角線BD，將點(diǎn)B翻折到BD上的點(diǎn)E處，折痕交BD于點(diǎn)G．展開(kāi)后得到圖①，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F恰為BC的中點(diǎn)．游戲2

在游戲1的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)C翻折到BD上，折痕為BP；展開(kāi)后將點(diǎn)B沿過(guò)點(diǎn)F的直線翻折到BP上的點(diǎn)H處；再展開(kāi)并連接GH后得到圖②，發(fā)現(xiàn)∠AGH(1)請(qǐng)你證明游戲1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)請(qǐng)你猜想游戲2中∠AGH【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)120°【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得AF⊥BD，根據(jù)題意可得，再設(shè)AB=a，然后表示出AD、BD，再由銳角三角函數(shù)求出即可；（2）由折疊的性質(zhì)可知，BF=HF，從而可得出，進(jìn)而得到BD∥HF，，由（1）知AF⊥BD，可得AF⊥HF，在RtΔGFH中求出∠GHF的正切值即可解答．【詳解】（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得AF⊥∴∠∵四邊形ABCD是矩形，∴∠，∵AD=設(shè)AB=a，則AD=2a，，即BGAB∴，解得BG=3根據(jù)勾股定理可得AG=6，即，∴．解得BF=2，∴BF=∴點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)．（2）解：∠AGH=120連接HF，如圖：由折疊的性質(zhì)可知，BF=HF，，∠FBH=∠，∴BD，由（1）知AF⊥BD，可得AF⊥∴∠設(shè)AB=a，則，，，，在RtΔGFH中，，∴∠DGH=30．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵．7．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）鮮艷的中華人民共和國(guó)國(guó)旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國(guó)旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星．為了增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)家榮譽(yù)感、民族自豪感等．?dāng)?shù)學(xué)老師組織學(xué)生對(duì)五角星進(jìn)行了較深入的研究．延長(zhǎng)正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星．如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，∠EAF的平分線交EF于點(diǎn)

(1)求證：AE(2)若AF=1，求AE的長(zhǎng)．(3)求S正五邊形【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AE=(3)5【分析】（1）根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可以得到∠FAE=∠FEA=72°，再利用三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義得到∠MAE=∠F，再根據(jù)∠（2）根據(jù)等角對(duì)等邊可以得到AF=FE=1，AE=AM=FM，再由（1）得結(jié)論得到AE（3）設(shè)S△AEF=S，AF=a連接AD，AC，根據(jù)正多邊形可以推導(dǎo)出△AFE≌△【詳解】（1）證明：∵ABCDE是正五邊形，∴∠FAE=∴∠F=180又∵∠EAF的平分線交EF于點(diǎn)M∴∠FAM=∴∠MAE=又∵∠FEA=∴△AEM∴AEFE即AE（2）解：∵∠F=∴∠AME=72∴AF=FE=1，AE=AM=FM，∵AE∴AE解得：AE=5-1∴AE=5（3）設(shè)S△AEF=S，AF=a，連接AD則根據(jù)（2）中計(jì)算可得AE=5∵ABCDE是正五邊形，∴AB=BC=CD=DE=EA=5∴∠∴∠ACD=∴△AFE≌△ACD∴S△∴S△∴S正五邊形∴S正五邊形

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，全等三角形的判定和性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在?ABCD紙片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），連接AE，將?ABCD紙片沿AE所在直線折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C'、D'，射線與射線AD(1)求證：AF=EF；(2)如圖2，當(dāng)EF⊥AF時(shí)，DF的長(zhǎng)為(3)如圖3，當(dāng)CE=2時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，延長(zhǎng)FM交C'D'于點(diǎn)N，連接AN【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)5(3)13【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得到∠FAE+∠AEC=180°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠AEC'=∠（2）作AG⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于G，先證明四邊形AGEF是正方形，再利用特殊角的三角函數(shù)值，求出AG=53，進(jìn)而得到AF=5（3）作AQ⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于Q，作MT⊥AF于T，交HD的延長(zhǎng)線于G，作HR⊥MT于，解直角三角形ABQ，依次求出BQ、AQ、EQ、AE的值，進(jìn)而求得AM的值，根據(jù)cos∠DAE=cos∠AEQ和sin∠DAE=sin∠AEQ，求得AT=92、MT=532，進(jìn)而得出DT的值，解直角三角形DGT，求出GT的值，進(jìn)而得出MG的值，根據(jù)tan∠FMT=tan∠AEQ【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∴∠由折疊性質(zhì)可知，∠AE∴∠∵∠∴∠∴AF=EF（2）解：如圖1，作AG⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于∵AD∥BC∴∠ABG=∠∵AG∴∠∴∠∴四邊形AGEF是矩形，由（1）可知：AF=EF，∴矩形AGFE是正方形，∵sin∠ABG=∴AG=AB?∴AF=AG=5∵AD=6∴DF=AF故答案為：53（3）解：如圖2，作AQ⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于Q，作MT⊥AF于T，交HD的延長(zhǎng)線于G，作∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=10，AD=BC=6，AB∥CD，CB∥∴∠在Rt△AQB中，BQ=AB?cos∵∴EQ=BC+BQ在Rt△AQE中，由（1）可知：AF=EF，∵FM∴AM=EM=又∵?ABCD紙片沿AE所在直線折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C'，D∴HM=MN∵AD∴∠∴cos∠DAE∴ATAM∴AT39∴AT=92，∴DT=AD∵AB∴∠在Rt△DGT中，∴GT=DT∴MG=GT+MT=∵∠FMT+∠AMT=90°，∠DAE+∴∠∴∠∵tan∴HR∴設(shè)HR=53k，∵M(jìn)G⊥AF，HG⊥∴HR∴∠∴tan∴GR∴GR=∵GR+RM=MG∴15k+9k=4∴k=∴HR=5∵sin∴HR∴5∴HM=∴MN=∴S【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，正確作輔助線，熟練解直角三角形是解題關(guān)鍵．9．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36°

探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在△ABC中，∠A=36°

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，折痕交AC于點(diǎn)D，連接DE，DB，則∠BDE=_______°，設(shè)AC=1，BC=x，那么AE=______（用含（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：底BC腰AC=5-1拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，，AB=1．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．

【答案】（1）72°,1-x【分析】（1）利用等邊對(duì)等角求出∠ABC,∠ACB的長(zhǎng)，翻折得到∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∠BDC=（2）證明△BDC∽△ABC拓展應(yīng)用：連接AC，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AE=AC，連接CE，得到△ACE為黃金三角形，進(jìn)而得到CEAC=5【詳解】解：（1）∵∠A=36°，∴∠ABC=∵將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA∴∠ABD=∠CBD=∴∠BDC=∠BDE=180故答案為：72°（2）證明：∵∠BDC=72∴BD=BC=x，∵∠A=∴△BDC∴BCAC∵∠ABD=∴AD=BD=BC=x，∴，∴x1整理，得：x2解得：（負(fù)值已舍掉）；經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解．∴底BC拓展應(yīng)用：如圖，連接AC，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AE=AC，連接CE，

∵在菱形ABCD中，，AB=1，∴∠CAD=∴∠EDC=∴∠EDC=∴CE=CD=1，∴△ACE∴CEAC∴AC=25-【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是理解并掌握黃金三角形的定義，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，得到黃金三角形的底邊與腰長(zhǎng)的比為．10．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC、△CDE是兩個(gè)等腰直角三角形，

(1)當(dāng)AF=DF時(shí)，求∠AED(2)求證：△EHG(3)求證：AEEH【答案】(1)60(2)見(jiàn)詳解(3)見(jiàn)詳解【分析】（1）先證明EA=ED，再證明GC是線段ED的垂直平分線，即有EA=AD=DE，即△EAD（2）根據(jù)垂直可得∠AGE=∠AGD=∠AFH=90（3）過(guò)H點(diǎn)作HK⊥BC于點(diǎn)K，先表示出∠EHK=45°-∠HEG，根據(jù)GC是線段ED的垂直平分線，可得∠EAG=∠DAG，即可得∠BAE=45°-∠HEG=【詳解】（1）∵EF⊥∴∠EFA=∵EF=EF，AF=DF，∴△EFA∴EA=ED，∵△ABC、△∴∠ACB=∠BAC=45∴∠EGC=180∴GC⊥∴等腰直角△CDE中，EG=GD∴GC是線段ED的垂直平分線，∴EA=AD，∴EA=AD=DE，即△EAD∴∠AED=60（2）在（1）中有GC⊥DE，∴∠AGE=又∵∠EHG=∴∠HEG=∴△EHG（3）過(guò)H點(diǎn)作HK⊥BC于點(diǎn)

∵HK⊥BC，∴∠HKB=∴∠KHC=∠KCH=45∴HK=KC，∵∠EHK=180°-∠HKE-∴∠EHK=45∵GC是線段ED的垂直平分線，∴∠EAG=在（1）中已證明∠HEG=∴∠HEG=∵∠BAE=∴∠BAE=45∵∠B=∴△ABE∴AEHE∵AB=BC，HK=KC，∴AEHE∵HK⊥BC，∴，∴△ABC∴BCKC∴AEHE【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，作出科學(xué)的輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，連接DE，將ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到

(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上，∠ABC=45°時(shí)，如圖①(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線上，∠ABC=45°時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)E在線段CB延長(zhǎng)線上，∠ABC=135°時(shí)，如圖③，請(qǐng)猜想并直接寫(xiě)出線段AE(3)在（1）、（2）的條件下，若BE=3，DE=5，則CE=_______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)圖②：AE-EC=BF，圖③(3)1或7【分析】（1）求證∠BEF=∠AED，，得△BEF≌△AEDSAS，所以（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線上，∠ABC=45°時(shí)，同（1），△BEF≌△AEDSAS，得AD=BF，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，得AD=BC=BF，所以AE-EC=BF；如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB延長(zhǎng)線上，∠ABC=135°時(shí)，求證∠BAE=∠（3）如圖①，Rt△EBF中，勾股定理，得BF=EF2-BE2=4，求得EC=BF-AE=1；如圖②，BE=3，則AE=3,Rt△ADE中，AD=DE【詳解】（1）證明：∵AE∴∠∵∠∴∠∴∠∴∠∵∠．．∵EF=ED∴△BEF∴BF=AD∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=BF∴AE+CE=BE+CE=BC=BF（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線上，∠ABC

同（1），，△BEF∴AD=BF∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=BF∴AE即AE-如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB延長(zhǎng)線上，∠ABC=135

∵∠∴∠∵AE∴∠∴∠∴∠∴同（1）可證，△∴BF=AD∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=BF∴EC即EC（3）如圖①，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴∠∵△∴∠Rt△EBF中，EF=DE=5,BE=AE=3由AE+EC=BF，得EC=BF-如圖②，BE=3，則AE=3,Rt△ADE中，∴BC=AD=4,與BE=3矛盾，故圖②中，不存在BE=3，DE=5的情況；如圖③，∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∴∠∵∠∴∠Rt△AED中，AE=BE=3∴BF=AD=4由EC-AE=BF知，EC=AE+BF=3+4=7．綜上，或7．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)條件選用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ魅鹊呐卸ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．12．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）在?ABCD中，∠ADB=90°，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在AB上，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上，連接EF，DG．∠FED=∠ADG，

(1)如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，請(qǐng)用等式表示線段AG與線段DF的數(shù)量關(guān)系______；(2)如圖2，當(dāng)k=3時(shí)，寫(xiě)出線段AD，DE(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)時(shí)，連接，求tan∠EBF【答案】(1)AG=DF(2)AD=2(3)3【分析】（1）當(dāng)k=1時(shí)，AD=BD,DG=EF，在AD上截取DH=DE，連接HG，證明△DHG≌△EDFSAS，推出∠DHG=∠EDF=135°，DF=HG，得到AG=GH=DF（2）當(dāng)k=3時(shí)，得到∠A=30°，∠CDB=∠DBA=60°，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AB交AD于點(diǎn)M，證明△DMG∽△EDF，推出MGDF=DMDE=DG（3）由（2）得DB=2DF+DE，設(shè)DE=x，由點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，得到∠ADG=30°，推出DE=DF=x，DB=3x，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BD于N，根據(jù)30°角的性質(zhì)及勾股定理求出DN=12DE=12【詳解】（1）解：當(dāng)k=1時(shí)，AD=BD,DG=EF，∵在?ABCD中，∠ADB=90∴∠A=∠ABD=45°，AB∥∴∠∴∠CDF=135

在AD上截取DH=DE，連接HG，∵∠FED=∴△DHG∴∠DHG=∠EDF=135°，DF=HG，∴∠AHG=45°，∠AGH=90∴AG=GH=DF，故答案為：AG=DF；（2）AD=23當(dāng)k=3時(shí)，AD∴∠A=30°，∠CDB=過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AB交AD于點(diǎn)M，

∴∠DMG=120∵∠FDE=120∴∠FDE=又∵∠FED=∴△DMG∴MGDF∴MG=3∵∠A=30∴AM=2MG=23∵AD=AM+DM，∴AD=2（3）∵AD=3DB，∴DB=2DF+DE，設(shè)DE=x，∵點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，∴AG=DG=BG，∴∠ADG=30∴∠DFE=30∴DE=DF=x，DB=3x，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BD于

∵∠BDE=∴∠DEN=30∴DN=12DE=∴BN=BD-∴tan∠【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，求角的正切值，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說(shuō)明理由．【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB2+PC

【答案】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由見(jiàn)解析；拓展提升：證明見(jiàn)解析；嘗試應(yīng)用：200【分析】探究發(fā)現(xiàn)：作AE⊥BC于點(diǎn)E，作DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠AEB=∠CFD=90°，證明Rt△ABE≌拓展提升：延長(zhǎng)BO到點(diǎn)C，使OD=BO，證明四邊形ABCD是平行四邊形，由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，AC2+BD2嘗試應(yīng)用：由四邊形ABCD是矩形，AB=8,BC=12，得到AB=CD=8,BC=AD=12，∠A=∠D=90°，設(shè)AP=x，PD=12-x，由勾股定理得到PB【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由如下：作AE⊥BC于點(diǎn)E，作DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠AEB=

∵四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b，∴AB=DC=a,AD∥∵AE⊥BC，DF⊥∴，∴Rt△∴BE=CF，∴A==A=A=A=2=2a拓展提升：延長(zhǎng)BO到點(diǎn)C，使OD=BO，

∵BO為△ABC∴OA=CO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB=a,BC=b,AC=c．∴由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，AC∴c2∴c2∴；嘗試應(yīng)用：∵四邊形ABCD是矩形，AB=8,BC=12，∴AB=CD=8,BC=AD=12，∠A=設(shè)AP=x，則PD=AD-∴P=2x∵2>0，∴拋物線開(kāi)口向上，∴當(dāng)x=6時(shí)，PB2故答案為：200【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在直線AB上（不與點(diǎn)A,B重合），連接CD，線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，過(guò)點(diǎn)B作直線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥l，垂足為點(diǎn)F，直線EF交直線OC于點(diǎn)G．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD與線段EF的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，求證：CG+BD=2(3)連接DE，△CDE的面積記為S1，△ABC的面積記為，當(dāng)EF:BC=1:3時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出S1【答案】(1)EF=(2)見(jiàn)解析(3)59或【分析】（1）可先證△BCD≌△BCE，得到BD=BE，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得到和EF的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到線段AD與線段EF的數(shù)量關(guān)系．（2）可先證△ACD≌△GEC，得到DA=CG，進(jìn)而得到CG+BD=DA+BD=AB，問(wèn)題即可得證．（3）分兩種情況：①點(diǎn)D在線段AB上，過(guò)點(diǎn)C作CN垂直于FG，交FG于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)E作EM垂直于BC，交BC于點(diǎn)M，設(shè)EF=a，利用勾股定理，可用含a的代數(shù)式表示，根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案．②點(diǎn)D在線段BA的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)E作EJ垂直于BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)J,令EF交AC于點(diǎn)I,連接,設(shè)EF=b，可證△CDA≌△CEB，進(jìn)一步證得△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ，利用勾股定理，可用含b的代數(shù)式表示，根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案【詳解】（1）解：EF=2理由如下：如圖，連接．根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CD=CE．由題意可知，△ABC∵CD為等腰直角三角形△ABC斜邊AB上的中線，∴∠BCD=45°，AD=BD．又∠DCE=90．在△BCD和△BCE中，∴△∴BD=BE，∴∠∴EF=BE∴EF=（2）解：∵CO為等腰直角三角形△ABC斜邊AB上的中線，∴AO=BO∵∠∴∠∵BC⊥l，EF⊥∴BC∴∠G=∠OCB=45°，∠GEC=∴∠G=∠A，∠ACD=在△ACD和△GEC中，∴△∴DA=CG∴CG+BD=DA+BD=AB=（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，不滿足條件EF:BC=1:3，故分兩種情況：①點(diǎn)D在線段AB上，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CN垂直于FG，交FG于點(diǎn)N；過(guò)點(diǎn)E作EM垂直于BC，交BC于點(diǎn)M．設(shè)EF=a，則BC=AC=3a．根據(jù)題意可知，四邊形BFEM和CMEN為矩形，△GCN∴EF=BM=a，CM=NE=2a．由（2）證明可知△ACD∴AC=GE=3a∴NG=NC=a∴NC=EM=a根據(jù)勾股定理可知CE=E△CDE的面積S1與△ABC的面積之比②點(diǎn)D在線段BA的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)E作EJ垂直于BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)J,令EF交AC于點(diǎn)I,連接,由題意知，四邊形FBJE，F(xiàn)BCI是矩形，∵∠∴∠即∠又∵CD=CE，CA=CB∴△∴∠而∠∴∠∠∴△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ設(shè)EF=b，則BC=IF=3b，EJ=BJ=CI=b∴EI=EF+IF=4bRt△CIE△CDE的面積S1與△ABC的面積之比【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活利用全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形ABC中，，過(guò)點(diǎn)B作射線BD⊥AB，垂足為B，點(diǎn)P在CB上．

(1)【動(dòng)手操作】如圖②，若點(diǎn)P在線段CB上，畫(huà)出射線PA，并將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點(diǎn)E，根據(jù)題意在圖中畫(huà)出圖形，圖中∠PBE的度數(shù)為_(kāi)______(2)【問(wèn)題探究】根據(jù)（1）所畫(huà)圖形，探究線段PA與PE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)【拓展延伸】如圖③，若點(diǎn)P在射線CB上移動(dòng)，將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點(diǎn)E，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；135(2)PA=PE；理由見(jiàn)解析(3)BA-BE=2BP或【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)圖即可；先求出∠ABC=∠BAC=12×90°=45°，根據(jù)∠ABD=90°（2）根據(jù)∠APE=90°，∠ABE=90°，證明A、P、B、E四點(diǎn)共圓，得出∠AEP=∠ABP=45°，求出∠AEP=（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出之間的數(shù)量關(guān)系即可．【詳解】（1）解：如圖所示：

∵，∴∠ABC=∵BD⊥∴∠ABD=90∴∠CBE=故答案為：135．（2）解：PA=PE；理由如下：連接AE，如圖所示：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，∠APE=90∵∠ABE=90∴A、P、B、E四點(diǎn)共圓，∴∠AEP=∴∠EAP=90∴∠AEP=∴PA=PE．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，連接AE，延長(zhǎng)CB，作于點(diǎn)F，如圖所示：

根據(jù)解析（2）可知，PA=PE，∵∠EFP=∴∠EPF+∴∠PEF=∵∠EFP=∴△PEF∴EF=PC，∵∠EBF=180°-∠CBE=45°，∠EFB=90∴△EBF∴BE=2∵△ABC∴BA=2即BA-當(dāng)點(diǎn)P在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE，作于點(diǎn)F，如圖所示：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，∠APE=90∵∠ABE=90∴A、B、P、E四點(diǎn)共圓，∴∠EAP=∴∠AEP=90∴∠AEP=∴PA=PE，∵∠EFP=∴∠EPF+∴∠PEF=∵∠EFP=∴△PEF∴PF=AC，∵BC=AC，∴PF=BC，∵∠EBF=45°，∠EFB=90∴△EBF∴BE=2即BE=BA+2綜上分析可知，BA-BE=2BP或【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓周角定理，四點(diǎn)共圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出圖形和相關(guān)的輔助線，數(shù)形結(jié)合，并注意分類討論．16．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=2．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿折線EB-BA-AD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作∠PEQ=90°，EQ交邊AD或邊DC于點(diǎn)Q，連續(xù)PQ．當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

(1)當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)為_(kāi)_________；(2)當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合時(shí)，求tan∠(3)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PQE的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②(4)作點(diǎn)E關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)F，連接PF、QF，當(dāng)四邊形EPFQ和矩形ABCD重疊部分圖形為軸對(duì)稱四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．【答案】(1)13(2)2(3)見(jiàn)解析(4)0<t≤9-352或【分析】（1）證明四邊形ABEQ是矩形，進(jìn)而在Rt△（2）證明△PBE∽△ECD，得出tan∠（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)，證明△PHE≌△ECQ得出PE=QE，即可得出結(jié)論（4）分三種情況討論，①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，②當(dāng)P點(diǎn)在AB上時(shí)，當(dāng)F,A重合時(shí)符合題意，此時(shí)如圖，③當(dāng)點(diǎn)P在AD上，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)Q與點(diǎn)C重合，則PFQE是正方形，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接BQ，

∵四邊形ABCD是矩形∴∠∵∠PEQ=90∴四邊形ABEQ是矩形，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，∴QE=AB=3，BE=2在Rt△QBE中，故答案為：13．（2）如圖所示，

∵∠PEQ=90°，∠PBE=∴∠1+∴∠∴△PBE∴PEDE∵BE=2，，∴tan∠（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)

∵∠PEQ=90°，∠PHE=∴∠1+則四邊形ABHP是矩形，∴PH=AB又∵EC=BC∴PH=EC，∴△∴PE=QE∴△PQE（4）①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，

∵QE=QF=3,AQ=BE=2，在Rt△AQF中，則BF=3-∵PE=t，則，PF=PE=t，在Rt△PBF中，∴t解得：t=當(dāng)t<9-352∴0<t≤②當(dāng)P點(diǎn)在AB上時(shí)，當(dāng)F,A重合時(shí)符合題意，此時(shí)如圖，

則PB=t-BE=t-2，AP=AB-PB=3在Rt△PBE5-解得：t=17③當(dāng)點(diǎn)P在AD上，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)Q與點(diǎn)C重合，則PFQE是正方形，此時(shí)t=2+3+2=7

綜上所述，0<t≤9-352或t=【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，求正切，軸對(duì)稱的性質(zhì)，分類討論，分別畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．17．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．試猜想四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由；【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問(wèn)題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問(wèn)題：如圖2，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，AH⊥CE于點(diǎn)H，GD⊥DF交AH于點(diǎn)G，可以用等式表示線段FH，AH，CF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，AH⊥CE于點(diǎn)H，點(diǎn)M在CH上，且AH=HM，連接AM，BH，可以用等式表示線段CM，BH的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題．

【答案】（1）四邊形ABCD是正方形，證明見(jiàn)解析；（2）FH=AH+CF；（3）MC=2【分析】（1）證明，可得AD=CD，從而可得結(jié)論；（2）證明四邊形DGHF是矩形，可得∠G=90°=∠DFC，同理可得：∠ADG=∠CDF，證明，DG=DF，AG=CF，證明四邊形DGHF是正方形，可得HG=HF，從而可得結(jié)論；（3）如圖，連接AC，證明∠AHE=∠ABC=90°，ACAB=2，∠BAC=45°，△AHE∽△CBE，可得AECE=HEBE，再證明△HEB∽△AEC【詳解】解：（1）∵GD⊥DF，，AG⊥DG∴，∠ADG+∠∵矩形ABCD，∴∠ADC=90∴∠ADG=∵AG=CF，∴，∴AD=CD，∴矩形ABCD是正方形．（2）∵，AH⊥CE，GD⊥DF∴∠DFH=∴四邊形DGHF是矩形，∴∠G=90同理可得：∠ADG=∵正方形ABCD，∴AD=CD，∴，∴DG=DF，AG=CF，∴四邊形DGHF是正方形，∴HG=HF，∴FH=HG=AH+AG=AH+CF．（3）如圖，連接AC，∵AH⊥CE，正方形ABCD，∴∠AHE=∠ABC=90°，ACAB=2∵，∴△AHE∴AECE

∵∠BEH=∴△HEB∴∠HBE=∵AH⊥∴∠HAM=45∴∠HAE=∴△AHB∴HBMC∴MC=2【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)建相似三角形是解本題的關(guān)鍵．18．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，求證：∠PMN=（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．如圖，延長(zhǎng)圖中的線段AD交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)線段BC交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：∠AEM=（3）用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)．如圖，在△ABC中，AC<AB，點(diǎn)D在AC上，AD=BC，M是AB的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，連接MN并延長(zhǎng)，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連接GD，若∠ANM=60°，試判斷△CGD【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）△CGD【分析】（1）根據(jù)中位線定理即可求出PM=PN，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明∠PMN=（2）根據(jù)中位線定理即可求出∠PNM=∠F和∠PMN=∠AEM，通過(guò)第（1）問(wèn)的結(jié)果進(jìn)行等量代換即可證明∠AEM=（3）根據(jù)中位線定理推出PM∥AD和PN∥BC從而求出∠PNM=∠PMN=∠ANM=∠CGN=∠GNC=60°，證明△CGN是等邊三角形，利用中點(diǎn)求出∠NGD=30°，從而求出∠DGC度數(shù)，即可求證△CGD的形狀【詳解】證明：（1）∵P的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，∴PM=同理，PN=1，∴PM=PN∴∠（2）∵P的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，∴PN∴∠同理，∠PMN=由（1）可知∠PMN=∴∠（3）△CGD如圖，取BD的中點(diǎn)P，連接PM，PN，M是AB的中點(diǎn)，∴PM∥AD，PM=1同理，PN∥BC，PN=1，∴PM=PN∴∠∵PM∴∠∴∠∵PN∴∠又∵∠CNG=∴△∴CN=GN又∵CN=DN.∴∠NDG=∴∠∴△CGD故答案為：△CGD是直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用中位線定理.19．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P,Q分別是邊BC，線段OD上的點(diǎn)，連接與OB相交于點(diǎn)E．

(1)如圖1，連接QA．當(dāng)QA=QP時(shí)，試判斷點(diǎn)Q是否在線段PC的垂直平分線上，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若∠APB=90°，且∠BAP=①求證：；②當(dāng)OQ=OE時(shí)，設(shè)EP=a，求的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】(1)點(diǎn)Q在線段PC的垂直平分線上(2)①證明見(jiàn)解析，②【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及垂直平分線的判定證明即可；（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再由各角之間的關(guān)系得出∠BAP=∠ABD=∠CBD=30°，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；③連接QC．利用等邊三角形的判定和性質(zhì)得出AE=2a,AP=3a，再由正切函數(shù)及全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)Q在線段PC的垂直平分線上．理由如下：連接QC．∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，∴．∵QA=QP∴QC=QP∴點(diǎn)Q在線段PC的垂直平分線上．

（2）①證明：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，，∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∵BD∴∠．，∴∠BAP=，∵∠APB=90∴∠．在Rt△BPE中，．∵AE=BE∴EP=∴AE=2EP

②如圖，連接QC．∵AB=BC,∴△ABC∵∠APB=90∴BP=CP，∴在Rt△APB中，∵tan∴BP=∴∵AO=CO，∠AOE=∴△∴AE=CQ=2a,∴AE∵∠．在Rt△PCQ中，由勾股定理得PQ∴．

【點(diǎn)睛】題目主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)及解直角三角形，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．20．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識(shí)后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在正方形ABCD的邊BC上任意取一點(diǎn)G，以BG為邊長(zhǎng)向外作正方形BEFG，將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

特例感知：（1）當(dāng)BG在BC上時(shí)，連接DF，AC相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為DF的中點(diǎn)，如圖（2）小紅繼續(xù)連接EG，并延長(zhǎng)與DF相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是DF中點(diǎn)P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)判斷△APE規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，連接DF，點(diǎn)P是DF中點(diǎn)，連接AP，EP，AE，△APE【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）△APE是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析；（3）△APE【分析】（1）連接BD，，BP，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠DBF=90°，證明△APD≌△APB，推出，再利用余角的性質(zhì)求出∠PBF=∠PFB，推出PB=PF即可；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)直接得到∠CAE=∠PEA=45°，推出AP=EP,∠APE=90°，得到△APE（3）延長(zhǎng)EP至點(diǎn)M，使PM=EP，連接MA,MD，證明△MPD≌△EPFSAS，得到DM=EF,∠DMP=∠PEF，推出BG∥DM，設(shè)DF交BC于點(diǎn)H，交BG于點(diǎn)N，得到∠MDN=∠DNB，由AD∥BC得到∠ADN=∠BHN，推出∠ADM=∠BHN+∠BNH=180°-∠HBN，進(jìn)而得到∠ADM=∠ABE，再證明△ADM≌△ABESAS，得到，∠DAM=∠BAE，證得∠APE=90°