2024-2025學(xué)年重慶市七中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

-2025學(xué)年重慶市七中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷一、單選題1．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．若直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．1 B．－1 C．4 D．－43．如圖，在空間四邊形中，設(shè)分別是，的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．4．平面內(nèi)點(diǎn)P到、的距離之和是10，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．5．已如是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，，則的面積等于（

）A．24 B．26 C． D．6．我國(guó)漢代初年成書的《淮南子畢術(shù)》中記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則是四鄰矣.”這是我國(guó)古代人民利用平面鏡反射原理的首個(gè)實(shí)例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧.已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．7．點(diǎn)是圓：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓：作兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．8．設(shè)，分別為橢圓：（）的左、右頂點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)等于2，焦距為，過焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的方程為 B．橢圓的離心率為C． D．10．已知直線：和圓：，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線恒過點(diǎn)B．圓與圓：有三條公切線C．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D．圓上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則11．如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是D．使直線與平面所成的角為45°的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題12．已知空間的量，，若，則.13．設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．如：若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為，的最大值為．四、解答題15．如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長(zhǎng)為2的正方形，，底面，M、N分別為、的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．16．已知點(diǎn)在圓上．(1)求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)；(2)過點(diǎn)，斜率為的直線與圓相交于兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．17．已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，、是橢圓C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)P在第一象限，且，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．18．如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，D，E分別是線段，的中點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)的射影為.(1)求證：平面BDE；(2)若點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面BDE的距離；(3)若點(diǎn)F為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求平面FBD與平面BDE夾角的余弦值的取值范圍.19．已知點(diǎn)，是平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足(，且)，則點(diǎn)的軌跡是以有序點(diǎn)對(duì)為“穩(wěn)點(diǎn)”的—阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)滿足()，則點(diǎn)的軌跡是以為“穩(wěn)點(diǎn)”的—卡西尼卵形線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，(）.(1)當(dāng)，時(shí)，若點(diǎn)的軌跡是以為“穩(wěn)點(diǎn)”的-阿波羅尼斯圓，求點(diǎn)的軌跡方程；(2)在(1)的條件下，若點(diǎn)在以為“穩(wěn)點(diǎn)”的5—卡西尼卵形線上，求(為原點(diǎn)）的取值范圍；(3)卡西尼卵形線是中心對(duì)稱圖形，且只有1個(gè)對(duì)稱中心，若，，試判斷是否存在實(shí)數(shù)，，使得以為“穩(wěn)點(diǎn)”的—阿波羅尼斯圓與—卡西尼卵形線都關(guān)于同一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱，若存在，求出實(shí)數(shù)，的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：題號(hào)12345678910答案ABCBAADDABCACD題號(hào)11答案AB1．A【分析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合斜率公式直接求出斜率，再求出傾斜角，然后由點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為.直線經(jīng)過點(diǎn)，，所以，所以,又，所以.故選：A.2．B【分析】直接利用兩直線垂直時(shí)系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】由題可知，，解得.故選：B3．C【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則得出，再由平面向量的三角形加法運(yùn)算法則即可得出結(jié)果.【詳解】解：由題可知，分別是，的中點(diǎn)，根據(jù)平面向量的平行四邊形法則，可得，再由平面向量的三角形加法法則，得出：.故選：C.4．B【分析】求出即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【詳解】由題意，平面內(nèi)點(diǎn)P到、的距離之和是10，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓,焦點(diǎn)在軸上,,解得：，∴，∴軌跡方程為:，故選:B.5．A【解析】由定義可得，結(jié)合條件求出即可求出面積.【詳解】由橢圓方程可得焦點(diǎn)在軸上，，，，由橢圓定義可得，又，則可解得，，滿足，則，.故選：A.6．A【分析】求得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)與圓的圓心坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式可求反射光線所在直線方程.【詳解】由，可得圓心，由反射定律可知，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線上，又反射光線恰好平分圓：的圓周，所以反射光線過，由直線的兩點(diǎn)式方程可得反射光線所在直線方程為，即.故選：A.7．D【分析】將四邊形的面積表示為，求得的最大值即可.【詳解】由圓為，可得圓心為，半徑為，由，可得圓心，半徑為，連接，則在中，，所以四邊形的面積，所以最大時(shí)，四邊形面積的最大值，因?yàn)?，所以，所以四邊形面積的最大值為.故選：D.8．D【分析】由題意，根據(jù)余弦定理和同角的商數(shù)關(guān)系可得，，設(shè)，則，得，結(jié)合離心率的概念即可求解.【詳解】在中，由，得，所以，由，得，所以，設(shè)，則，

又，∴，∴，又，∴，∴.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于求得，進(jìn)而得，從而求得離心率，求解離心率問題常常需得到或構(gòu)造的齊次式求解.9．ABC【分析】求出的值，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，將代入橢圓方程，可求得的長(zhǎng)，可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用橢圓的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于橢圓，由已知可得，則，.對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，故橢圓的方程為，故A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，橢圓的離心率為，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，易知點(diǎn)，將代入橢圓方程可得，故，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．ACD【分析】根據(jù)定點(diǎn)的特征即可求解可判斷A，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可求解可判斷B，根據(jù)垂直時(shí)即可結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式求解可判斷C，根據(jù)題意可得，求解即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由直線的方程，可知直線恒經(jīng)過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由圓的方程，可得圓心，半徑，由，可得圓心，半徑為，又，由于，所以圓與圓相交，圓與圓有兩條公切線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)圓上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則圓心到直線：的距離小于，所以，整理得，解得，故D正確.故選：ACD.11．AB【分析】對(duì)A：由的面積不變，點(diǎn)到平面的距離不變，求出體積即可；對(duì)B：以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，結(jié)合向量的夾角公式，可判定B正確；對(duì)C：設(shè)，求得平面的一個(gè)法向量為，得到，可判定C錯(cuò)誤.對(duì)D：由直線與平面所成的角為，作平面，得到點(diǎn)的軌跡，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A：的面積不變，點(diǎn)到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，所以三棱錐的體積不變，且，所以A正確；對(duì)于B：以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，設(shè)，，則，，設(shè)直線與所成角為，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，所以；當(dāng)時(shí)，，由，所以，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B正確；

對(duì)于C，由，，，，設(shè)，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=a,b,c則取，可得，，所以，因?yàn)槠矫?，所以，可得，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C錯(cuò)誤.

對(duì)于D：因?yàn)橹本€與平面所成的角為45°，由平面，得直線與所成的角為45°，若點(diǎn)在平面和平面內(nèi)，因?yàn)椋?，故不成立；在平面?nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面時(shí)，作平面，如圖所示，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，綜上，點(diǎn)的軌跡的總長(zhǎng)度為，所以D錯(cuò)誤；

故選：AB.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：對(duì)于立體幾何的綜合問題的解答方法：（1）立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長(zhǎng)度及動(dòng)態(tài)角的范圍等問題，解決方法一般根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；（3）對(duì)于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在.12．13【分析】利用空間向量的坐標(biāo)表示及數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，，所以，解?故答案為：.13．【分析】曲線表示是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓，直線是一條斜率為1的直線，畫出圖象，結(jié)合圖象，即可得出答案.【詳解】由可得，即表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓，直線是一條斜率為1的直線，與軸交于兩點(diǎn)分別是，，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)；當(dāng)直線與相切時(shí)滿足，所以(舍)或，所以直線與曲線有公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿足.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14．【分析】利用直線和圓的位置關(guān)系可得的最小值，把轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離與它到距離比值的2倍，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】由得，令，則直線與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離為，解得，所以的最小值為.可以看作點(diǎn)到直線的距離與它到距離比值的2倍，設(shè)過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，此時(shí)取到最大值.設(shè)直線方程為，由，得，，解得，結(jié)合圖形可知，把代入聯(lián)立后的方程可得切點(diǎn)，代入可得的最大值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離與它到距離比值的2倍，數(shù)形結(jié)合可得答案.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量，求得平面的法向量，然后利用，證明，從而得出平面；（2）求得直線的方向向量，由（1）知平面的法向量，結(jié)合線面角的向量公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，底面，所以，，兩兩相互垂直，如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得A0,0,0，，，，，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=x1故，即，則，令，得，所以，所以，又平面，所以平面.（2）由（1）得直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.16．(1)圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為(2)【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)在圓上求出參數(shù)，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出圓心及半徑；（2）先寫出直線方程，求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為；（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，斜率為，所以直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，所以.17．(1)(2)．【分析】（1）依題意得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用橢圓的定義求得，進(jìn)而求得即可；（2）設(shè)，從而可求得，再把代入求解即可.【詳解】（1）由已知得，，，，，同理，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，且，則，，

．由橢圓方程可得，整理得，所以，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．18．(1)證明過程見解析(2)(3)【分析】（1）作出輔助線，得到⊥平面，⊥，又平行四邊形為菱形，故⊥，又，從而得到線面垂直，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，⊥平面；故平面的一個(gè)法向量為，利用點(diǎn)到平面的距離向量公式求出答案；（3）設(shè)，求出，求出平面的法向量，結(jié)合平面的一個(gè)法向量為，從而得到，換元后，得到.【詳解】（1）連接，因?yàn)樵谄矫鍭BC內(nèi)的射影為，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，⊥，因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，D是線段的中點(diǎn)，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，四邊形為平行四邊形，所以平行四邊形為菱形，故⊥，因?yàn)镈，E分別是線段，的中點(diǎn)，所以，故⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面；?）由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椤?，D是線段的中點(diǎn)，所以由三線合一可得，又，故為等邊三角形，，由（1）知，⊥平面；故平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)到平面BDE的距離；（3）點(diǎn)F為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），設(shè)，，則，故，故，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，又平面的一個(gè)法向量為，故，令，則，因?yàn)?，故，，平面FBD與平面BDE夾角的余弦值取值范圍是.【點(diǎn)睛】立體幾何二面角求解方法：（1）作出輔助線，找到二面角的平面角，并結(jié)合余弦定理或勾股定理進(jìn)行求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量相關(guān)公式求解.19．(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】(1)由題意可知，設(shè)：，則，整理計(jì)算即可求