2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 三角形的有關(guān)概念與性質(zhì) 壓軸題（十一大題型）（原卷版）

專題03三角形的有關(guān)概念與性質(zhì)壓軸題（十一大題型）目錄：題型1：三角形中線有關(guān)的面積問題題型2：與三角形高有關(guān)的計(jì)算題題型3：三角形的高在平行線中的應(yīng)用題型4：三角形的三邊關(guān)系在平行線中的應(yīng)用題型5：三角形個(gè)數(shù)問題題型6：與三角形角平分線有關(guān)的問題題型7：三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)題型8：三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)在平行線中的應(yīng)用題型9：旋轉(zhuǎn)問題題型10：定值問題題型11：角平分線、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)、平行線相結(jié)合問題題型1：三角形中線有關(guān)的面積問題1．設(shè)的面積為．(1)如圖1，延長的各邊得到，且，，，記的面積為，則______．（用含的式子表示）(2)如圖2，延長的各邊得到，且，，，記的面積為，則________．（用含的式子表示）(3)如圖3，P為內(nèi)一點(diǎn)，連接、、并延長分別交邊、、于點(diǎn)D、E、F，則把分成六個(gè)小三角形，其中四個(gè)小三角形面積已在圖上標(biāo)明，則計(jì)算得到的面積________．2．【問題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本七年級(jí)下冊上有這樣一道題：如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．又因?yàn)楦呦嗤?，所以，于是．?jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在上．①若是的中線，求證：；②若，則______．【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形的各邊，使得點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，依次連結(jié)、、、得四邊形．①求證：；②若，則______．3．探索：在圖至圖中，已知的面積為，(1)如圖，延長的邊到點(diǎn)，使，連接若的面積為，則______用含的代數(shù)式表示(2)如圖，延長的邊到點(diǎn)，延長邊到點(diǎn)，使，，連接若的面積為，則______用含的代數(shù)式表示(3)在圖的基礎(chǔ)上延長到點(diǎn)，使，連接，，得到（如圖）若陰影部分的面積為，則______用含的代數(shù)式表示(4)發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn)，得到如圖，此時(shí)，我們稱向外擴(kuò)展了一次．可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的的面積是原來面積的______倍．(5)應(yīng)用：要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進(jìn)行了如下的圖案設(shè)計(jì)：首先在的空地上種紅花，然后將向外擴(kuò)展三次圖已給出了前兩次擴(kuò)展的圖案在第一次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種黃花，第二次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種藍(lán)花．如果種紅花的區(qū)域即的面積是平方米，請你運(yùn)用上述結(jié)論求出：①種紫花的區(qū)域的面積；②種藍(lán)花的區(qū)域的面積．題型2：與三角形高有關(guān)的計(jì)算題4．在中，，，于D．（1）如圖①，已知于E，求證：（2）如圖②，P是線段AC上任意一點(diǎn)（P不與A、C重合），過P作于E，于F，求證：（3）在圖②中，若P是AC延長線上任意一點(diǎn)，其他條件不變，請畫出圖形并直接寫出PE、PF、CD之間的關(guān)系．5．設(shè)點(diǎn)為內(nèi)任意一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn),的延長線交于點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，則的值為．題型3：三角形的高在平行線中的應(yīng)用6．已知，點(diǎn)，分別在直線，上，點(diǎn)在直線，之間，平分，交直線于點(diǎn).(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；.(2)如圖2，在（1）問的條件下，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)；當(dāng)平分時(shí)，求的度數(shù)；.(3)如圖3，已知，，點(diǎn)到的距離與線段的長度之比是，點(diǎn)到的距離等于7，求線段的長度．題型4：三角形的三邊關(guān)系在平行線中的應(yīng)用7．如圖，直線a∥b，點(diǎn)A，點(diǎn)D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，CD⊥a于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，P從A點(diǎn)開始沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，M為直線a上一定點(diǎn)，連接PC，PD．（1）當(dāng)t＝m為何值時(shí)，PC+PD有最小值，求m的值；（2）當(dāng)t＜m（m為（1）中的取值）時(shí)探究∠PCM、∠PDA與∠CPD的關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)t＞m（m為（1）中的取值）時(shí)，直接寫出∠PCM、∠PDA與∠CPD的關(guān)系．題型5：三角形個(gè)數(shù)問題8．如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個(gè)不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個(gè)不同的三角形，……

（1）完成下表：連接個(gè)數(shù)123456出現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)36（2）若出現(xiàn)了45個(gè)三角形，則共連接了_____個(gè)點(diǎn)?若一直連接到An，則圖中共有______個(gè)三角形．題型6：與三角形角平分線有關(guān)的問題9．佳琪同學(xué)在學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和及角平分線定義后經(jīng)大量的測試實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)三角形中，兩個(gè)內(nèi)角的角平分線所夾的角只與第三個(gè)角的大小有關(guān).測量數(shù)據(jù)如下表：測量和度數(shù)測量工具量角器示意圖與的平分線交于點(diǎn)測量數(shù)據(jù)第一次第二次第三次第四次……（1）通過以上測量數(shù)據(jù)，請你寫出與的數(shù)量關(guān)系：______.（2）如圖，在中，若與的平分線交于點(diǎn)，則與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.10．【問題呈現(xiàn)】小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，，平分，于D，猜想、、的數(shù)量關(guān)系．（1）小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路．于是嘗試代入∠B、∠C的值求∠EAD的值，得到下面幾組對應(yīng)值：/度1030302020/度7070606080/度30152030求上表中a的度數(shù)，并判斷與、的數(shù)量關(guān)系；【變式應(yīng)用】（2）小明繼續(xù)研究，在圖2中，，，其他條件不變，若把“于D”改為“F是線段上一點(diǎn)，于D”求的度數(shù)，并寫出與、的數(shù)量關(guān)系．題型7：三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)11．在中，，點(diǎn)，分別是邊，上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．初探：（1）如圖1，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，①當(dāng)時(shí)，則；②，，之間的數(shù)量關(guān)系為：．再探：（2）若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的延長線上，交于，如圖2，則，，之間有何關(guān)系？并說明理由．拓展：（3）當(dāng)點(diǎn)在的內(nèi)部，且，，不共線時(shí)，記，，，探究，，之間的關(guān)系，并直接寫出探究結(jié)論．12．如圖1，直角三角板的直角邊所在直線與直線重合．將該三角板繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，如圖2所示．記，過B作直線．P為射線上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，從點(diǎn)P出發(fā)且位于直線上方的射線交直線于點(diǎn)Q，記．(1)若，且，求的度數(shù)；(2)①若點(diǎn)Q在線段上（不含端點(diǎn)），則與，滿足的數(shù)量關(guān)系為；②若點(diǎn)Q在線段延長線上（不含端點(diǎn)），判斷上述關(guān)系是否成立．若成立，請說明理由；若不成立，給出三者應(yīng)滿足的關(guān)系并說明理由；(3)若，且射線不經(jīng)過點(diǎn)B，設(shè)直線分別交直線、于點(diǎn)R、S，直接寫出當(dāng)，滿足什么條件時(shí)，有．題型8：三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)在平行線中的應(yīng)用13．如圖1，點(diǎn)在的延長線上，已知．(1)求證：；(2)連接的平分線和的平分線所在的直線相交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）．①如圖2，若，且點(diǎn)在平分線的反向延長線上，則______；②試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．14．已知，點(diǎn)P是直線，外一點(diǎn)．(1)【問題初探】如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線，上，連接，．求證：①；②．證明：過點(diǎn)P作，…，請將問題①，②的證明過程補(bǔ)充完整；(2)【結(jié)論應(yīng)用】如圖2，的角平分線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是射線上一動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)F不在直線上，連接，作的角平分線與相交于點(diǎn)Q，問：與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，O是上一定點(diǎn)，．在內(nèi)部作射線，使得，與相交于點(diǎn)F．動(dòng)點(diǎn)P在射線上，點(diǎn)Q在上，連接，，若在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，始終有，求n，α的值．15．探究（一）已知，P為直線所在平面上一點(diǎn)，平分，平分，（1）如圖1，P為之間一點(diǎn)，若，則°；（2）如圖2，P為外一點(diǎn)，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．探究（二）已知P為所在平面上一點(diǎn)，平分，平分，D、E分別為上的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)．（3）如圖3，若P在內(nèi)部，，則°；（4）如圖4，若P在外部，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．題型9：旋轉(zhuǎn)問題16．如圖1，一塊直尺和一塊含的直角三角板如圖放置，其中直尺和直角三角板的斜邊平行，我們可以抽象出如圖2的數(shù)學(xué)模型：，，，，分別交、于點(diǎn)、、的角平分線交于點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），連接交于點(diǎn)．(1)當(dāng)，求證：．(2)在線段上任意移動(dòng)時(shí)，求之間的關(guān)系．(3)在（1）的條件下將三角形繞著點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角形的其中一邊與三角形的某一邊平行時(shí)，求此時(shí)的值．題型10：定值問題17．如圖，分別在邊上，的角平分線交于．(1)如圖1，求的度數(shù)．(2)如圖2，如果的平分線與交于點(diǎn)，，求的度數(shù)；(3)如圖3，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，說明理由；如果不變，試求出其值．題型11：角平分線、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)、平行線相結(jié)合問題18．【問題】如圖，在中，平分，平分，若，則____________；若，則____________．

【探究】（）如圖，在中，、三等分，、三等分，若，則____________；（）如圖，是與外角的平分線和的交點(diǎn)，試分析和有怎樣的關(guān)系？請說明理由；（）如圖，是外角與外角的平分線和的交點(diǎn)，則與有怎樣的關(guān)系？請說明理由．19．【基礎(chǔ)探究】（1）如圖1，，點(diǎn)E是上的點(diǎn)，點(diǎn)P是和之間的一點(diǎn)，連接、.若，，則的度數(shù)為________；（2）如圖2，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為________；（3）如圖3，，點(diǎn)A、點(diǎn)C分別是