二元一次方程組（分層作業(yè)）（解析版）

第八章二元一次方程組8.1二元一次方程組分層作業(yè)1．（2023秋·廣東茂名·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列二元一次方程，以為解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把代入各方程，判斷方程是否成立即可．【詳解】解：A．把代入得，故A選項(xiàng)不符合題意；B．把代入得，故B選項(xiàng)不符合題意；C．把代入得，故C選項(xiàng)符合題意；D．把代入得，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握方程的解的概念：使方程兩邊左右相等的未知數(shù)的值．2．（2023秋·貴州畢節(jié)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知是方程的一個(gè)解，那么的值是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程的解，將其代入方程即可求解．【詳解】解：將代入方程，得即，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程的解以及求參數(shù)解的問(wèn)題．3．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則k的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】由得：，從而得到，即可求解．【詳解】解：，由得：，∵二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，∴，解得：．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．4．（2022·浙江杭州·?？级＃榱擞雍贾輥嗊\(yùn)會(huì)的召開，某學(xué)校組織學(xué)生開展有關(guān)亞運(yùn)會(huì)的知識(shí)競(jìng)賽．競(jìng)賽共有20道題，規(guī)定：每答對(duì)一道題得5分，每答錯(cuò)一道題扣3分，不答的題得1分．已知杭杭同學(xué)這次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?0分．設(shè)杭杭同學(xué)答對(duì)了x道題，答錯(cuò)了y道題，則有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“每答對(duì)一道題得+5分，每答錯(cuò)一道題扣3分，不答的題得1分．已知杭杭同學(xué)這次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?0分”列出方程．【詳解】解：依題意得：，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程．關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，列出方程．5．（2022秋·黑龍江綏化·七年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】將代入方程求出a、b的值，再進(jìn)一步代入計(jì)算可得結(jié)果．【詳解】解：將代入方程，得：，由①，得：，由②，得：，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問(wèn)題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．6．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）我們知道方程組的解是，現(xiàn)給出另一個(gè)方程組，它的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意被求方程組中即相當(dāng)于原方程組中x、被求方程組中即相當(dāng)于原方程組中的y，據(jù)此可得關(guān)于x、y的新方程組，解之可得．【詳解】解：根據(jù)題意知，解得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知方程組和所求方程組間的聯(lián)系，并據(jù)此得出關(guān)于x、y的新方程組．7．（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）小明在解關(guān)于x，y的二元一次方程組時(shí)，得到了正確的結(jié)果，后來(lái)發(fā)現(xiàn)“m”“n”處被墨水污損了，請(qǐng)你幫他找出m，n處的值分別是（）A．m=1，n=1 B．m=2，n=1 C．m=1，n=2 D．m=2，n=2【答案】B【分析】先把y的值代入原方程組求出n的值，再把x的值代入原方程組即可求出m的值．【詳解】解：∵是方程組的解，∴把y=1代入得，，①+②得：4x=4，解得x=1，即n=1，把x=1代入①得，1+m=3，解得m=2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是解二元一次方程組，先把y的值代入原方程組求出x的值是解答此題的關(guān)鍵．8．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）小明購(gòu)買口罩，現(xiàn)在有A、B兩種型號(hào)的口罩可供選擇，A型口罩每個(gè)6元，B型口罩每個(gè)4元，他一共花了40元錢，則小明的購(gòu)買方案有（

）．A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】B【分析】根據(jù)題意得出二元一次方程，求出方程的正整數(shù)解即可．【詳解】解：設(shè)購(gòu)買A型口罩x個(gè)，B型口罩y個(gè)，由題意得：6x＋4y＝40，∴，因?yàn)閤，y是正整數(shù)，∴或或，所以小明的購(gòu)買方案有3種，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出方程的正整數(shù)解．9．（2022春·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是關(guān)于x，y的二元一次方程，則_____．【答案】【分析】根據(jù)二次一次方程的定義，可得|m|﹣1＝1，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次一次方程的定義，絕對(duì)值，熟練掌握二次一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·廣東佛山·七年級(jí)期中）把方程改寫成用含的式子表示的形式是_____．【答案】【分析】通過(guò)移項(xiàng)，化系數(shù)為1的步驟將方程改寫成用含的式子表示的形式，即可求解．【詳解】解：，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，根據(jù)等式的性質(zhì)變形是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）方程的解為，則方程的解為______．【答案】3【分析】根據(jù)整體思想，得出，即可求出的解．【詳解】∵方程的解為∴方程中，∴故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是利用整體思想，求出．12．（2022春·甘肅天水·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若關(guān)于x、y的方程是二元一次方程，則m＝_____，n＝_____．【答案】

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，含未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為一次，求出m、n的值．【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x、y的方程是二元一次方程，所以，解得，．故答案為2，【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的定義，解題關(guān)鍵是明確二元一次方程必須符合以下三個(gè)條件：（1）方程中只含有2個(gè)未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．13．（2021春·浙江寧波·七年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于x，y的方程組的解為，則關(guān)于x，y的方程組的解為：_________．【答案】【分析】利用已知方程組的解和換元法求解即可；【詳解】解：設(shè)，，∵∴∴原方程組可化為，∵關(guān)于x，y的方程組的解為，∴關(guān)于m，n的方程組的解為，∴關(guān)于x，y的方程組中，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于，的二元一次方程的解如下表：…01……42…關(guān)于，的二元一次方程的解如下表：…01……41…則關(guān)于，的二元一次方程組的解是______．【答案】【分析】分別從兩個(gè)表格中找到兩個(gè)方程的公共解，即可求解．【詳解】解：∵從兩個(gè)表格中可知，是關(guān)于，的二元一次方程和關(guān)于，的二元一次方程的公共解，∴關(guān)于，的二元一次方程組的解是故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了含有字母參數(shù)的二元一次方程組的同解問(wèn)題，關(guān)鍵是能通過(guò)兩個(gè)表格找到兩個(gè)方程的公共解．15．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知是方程組的解，求a，b的值．【答案】【分析】將代入方程組中即可得出答案．【詳解】解：將代入方程組，得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，二元一次方程組的解即為使方程組中每個(gè)方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．16．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知是關(guān)于m，n的二元一次方程的一組解，求a的值．【答案】4【分析】把方程的解代入方程，得到關(guān)a的一元一次方程，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：將代入，得，解得，即a的值為4．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程的解，熟知方程的解滿足方程是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若是二元一次方程的一個(gè)解，求m的值．【答案】【分析】將代入此二元一次方程，即得出關(guān)于m的等式，解出m即可．【詳解】解：將代入，得：，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解的定義．掌握方程的解即是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．18．（2022秋·重慶·七年級(jí)重慶市楊家坪中學(xué)?？计谥校┒x：對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)，如果滿足個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)兩位數(shù)為“互異數(shù)”．將一個(gè)“互異數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，把這個(gè)新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為．例如：，對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)21，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，和與11的商為，所以．根據(jù)以上定義，回答下列問(wèn)題∶(1)下列兩位數(shù)30，52，77中，“互異數(shù)”為；________．(2)若“互異數(shù)”滿足，求所有“互異數(shù)”．【答案】(1)52，6(2)14或23或32或41【分析】（1）根據(jù)題目中“互異數(shù)”的定義進(jìn)行判斷；再根據(jù)的定義計(jì)算即可；（2）設(shè)“互異數(shù)”b的個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，根據(jù)題目中“互異數(shù)”的定義列式求出，即可得到所有“互異數(shù)”b的值；【詳解】（1）解：由“互異數(shù)”的定義得，兩位數(shù)30，52，77中，“互異數(shù)”為52，，故答案為：52，6；（2）解：設(shè)“互異數(shù)”b的個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，則，整理得：，∴或或或，∴所有“互異數(shù)”b的值為14或23或32或41．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義、二元一次方程的整數(shù)解、整式的加減運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是理解新定義及其運(yùn)算方法．1．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）若是方程的一個(gè)解，則k的值是（）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】把代入方程中，解方程即可求解．【詳解】解：把代入方程中，得，解得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用方程的解求參數(shù)的方法，熟練掌握和運(yùn)用利用方程的解求參數(shù)的方法是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）小亮求得方程組的解為，由于不小心，滴上了兩滴墨水，剛好遮住了兩個(gè)數(shù)●和★，請(qǐng)你幫他找回這兩個(gè)數(shù)，“●”“★”表示的數(shù)分別為（

）A．5，2 B．，2 C．8， D．5，4【答案】C【分析】根據(jù)方程的解的定義，把代入，求得的值，進(jìn)而求出●的值，即可得到答案．【詳解】解：把代入，可得，解得，把，代入可得，則“●”“★”表示的數(shù)分別為8，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解能夠滿足各個(gè)方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于的方程有正整數(shù)解，則整數(shù)的所有可能的取值的和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接解方程，根據(jù)方程有正整數(shù)解，并且a為整數(shù)求出可能的取值，相加即可．【詳解】解：，則，∴，若，則不成立，若，則，∵有正整數(shù)解，∴a的取值為0，，，，∴，故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的解，二元一次方程的解，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．4．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）無(wú)人知甲、乙兩人年齡，只知道當(dāng)甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙只有2歲；當(dāng)乙到甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲是38歲了，問(wèn)甲、乙現(xiàn)在的年齡各是（）A．24歲，14歲 B．26歲，14歲 C．26歲，16歲 D．28歲，16歲【答案】B【分析】找等量關(guān)系，列方程組解題．【詳解】解：設(shè)甲現(xiàn)在的年齡是x歲，乙現(xiàn)在的年齡是y歲，則，解得．所以甲、乙現(xiàn)在的年齡各是26歲，14歲．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組解應(yīng)用題，按等量關(guān)系列方程組是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·廣東肇慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）不是方程的自然數(shù)解的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】分別把x、y的值代入方程，即可一一判定．【詳解】解：A.當(dāng)，時(shí)，，故該選項(xiàng)是此方程的自然數(shù)解，不符合題意；B.當(dāng)，時(shí)，，故該選項(xiàng)是此方程的自然數(shù)解，不符合題意；C.當(dāng)，時(shí)，，故該選項(xiàng)是此方程的自然數(shù)解，不符合題意；D.當(dāng)，時(shí)，，但-1不是自然數(shù)，故該選項(xiàng)不是此方程的自然數(shù)解，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查方程的解的判定，熟練掌握和運(yùn)用方程的解的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）商店里甲商品每個(gè)5元，乙商品每個(gè)8元，丙商品每個(gè)1元．某顧客計(jì)劃用200元購(gòu)買這三種商品共127個(gè)，如果資金全部用完，則有（

）種購(gòu)買方案．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】設(shè)購(gòu)進(jìn)甲商品x個(gè)，乙商品y個(gè)，則購(gòu)進(jìn)丙商品（127-x-y）個(gè)，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次一次方程，結(jié)合x，y，（127-x-y）均為自然數(shù)，即可得出共有2種購(gòu)買方案．【詳解】解：設(shè)購(gòu)進(jìn)甲商品x個(gè)，乙商品y個(gè)，則購(gòu)進(jìn)丙商品（127-x-y）個(gè)，依題意得：5x+8y+（127-x-y）=200，∴x=．又∵x，y，（127-x-y）均為自然數(shù)，∴或，∴共有2種購(gòu)買方案．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）小明要用40元錢買A、B兩種型號(hào)的口罩，兩種型號(hào)的口罩必須都買，40元錢全部用盡，A型每個(gè)6元，B型每個(gè)4元，則小明的購(gòu)買方案有（

）種．A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】B【分析】設(shè)買A型號(hào)的口罩x個(gè)，B型號(hào)的口罩y個(gè)，得，根據(jù)題意列出符合題目的購(gòu)買方案即可解答；【詳解】解：設(shè)買A型號(hào)的口罩x個(gè)，B型號(hào)的口罩y個(gè)；則，，根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；符合題意，所以小明的購(gòu)買方案有3種；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意，找到兩種口罩的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·黑龍江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明帶15元去學(xué)習(xí)用品商店購(gòu)買A，B，C三種學(xué)習(xí)用品，其中A，B，C三種學(xué)習(xí)用品的單價(jià)分別為5元、3元、1元，要求每種學(xué)習(xí)用品至少買一件且A種學(xué)習(xí)用品最多買兩件，若15元?jiǎng)偤糜猛辏瑒t小明的購(gòu)買方案共有（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】B【分析】首先設(shè)種商品購(gòu)買件，種商品購(gòu)買件；然后分類討論商品買1件和商品買2件兩種情況，最后列出方程解答即可．【詳解】設(shè)種商品購(gòu)買件，種商品購(gòu)買件，第一種情況：商品買1件，則，即，，都為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，第二種情況：商品買2件，則，即，，都為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，購(gòu)買方案共有4種．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是挖掘題目中的關(guān)系，找出等量關(guān)系，列出二元一次方程，然后根據(jù)未知數(shù)的實(shí)際意義求解．9．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于的方程組的解是，則________．【答案】【分析】將代入方程，求得的值，將的值代入，可得關(guān)于的方程，可求得．【詳解】解：將代入方程，可得，再將代入，得：，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解的概念，根據(jù)方程組的解會(huì)準(zhǔn)確將方程的解代入是前提，嚴(yán)格遵循解方程的基本步驟求得方程的解是關(guān)鍵．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為厘米，且長(zhǎng)和寬都是素?cái)?shù)，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是______平方厘米．【答案】【分析】設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為厘米，寬為厘米，根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)構(gòu)建方程，再把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為素?cái)?shù)和整數(shù)解問(wèn)題即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為厘米，寬為厘米，，根據(jù)題意得：，，長(zhǎng)和寬都是素?cái)?shù)，∴長(zhǎng)方形的面積為：(平方厘米)，故這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是平方厘米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次不定方程的應(yīng)用問(wèn)題，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題．11．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若方程是關(guān)于的二元一次方程，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)二元一次方程的定義求解即可．【詳解】解：由題意，得且，解得且，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的定義和利用平方根解方程，二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的整式方程叫做二元一次方程．12．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）某同學(xué)在解方程組的過(guò)程中，錯(cuò)把b看成了6，他其余的解題過(guò)程沒有出錯(cuò)，解得此方程組的解為，又已知是關(guān)于x，y的方程y=kx+b的一個(gè)解，則b的正確值應(yīng)該是________【答案】【分析】將和b=6代入方程組，解出k的值．然后再把代入y=kx+b中解出b的值．【詳解】解：依題意將代入y=kx+6，得：2=-k+6，k=4；將和k=4代入y=kx+b，得1=3×4+b，∴b=-11．故答案為：-11．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程的解法．先將已知代入方程得出k的值，再把k代入一次函數(shù)中可解出b的值．運(yùn)用代入法是解二元一次方程常用的方法．13．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知是二元一次方程組的解，則______．【答案】10【分析】把代入二元一次方程組得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解方程組求出m，n的代入m-n計(jì)算，即可得出答案．【詳解】解：把代入二元一次方程組得：，解得：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，理解二元一次方程組的解的定義，掌握二元一次方程組的解法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．（2022春·北京延慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）周末小明和媽媽外出共消費(fèi)了300元，表中記錄了他一天所有的消費(fèi)項(xiàng)目以及部分支出．如果餅干每包13元，礦泉水每瓶2元，那么小明買了____包餅干、____瓶礦泉水．項(xiàng)目早餐午餐購(gòu)買書籍餅干礦泉水支出金額（單位：元）40100130【答案】

2

2【分析】設(shè)小明買了包餅干，瓶礦泉水，利用早餐費(fèi)＋午餐費(fèi)＋購(gòu)買書籍的費(fèi)用＋購(gòu)買餅干的費(fèi)用＋購(gòu)買礦泉水的費(fèi)用＝消費(fèi)的錢數(shù)，結(jié)合給定的數(shù)值，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，由，均為正整數(shù)，即可求出方程的解從而得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小明買了包餅干，瓶礦泉水，依題意得：，∴，∵，均為正整數(shù)，∴．∴小明買了2包餅干、2瓶礦泉水．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系．正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于，的二元一次方程組，，是常數(shù)），，．(1)當(dāng)時(shí)，求c的值；(2)若a是正整數(shù)，求證：僅當(dāng)時(shí)，該方程有正整數(shù)解．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）將，值代入方程，得到關(guān)于，，的方程求解．（2）先表示方程的解，再確定．【詳解】（1）解：代入方程得：，，，，，．；（2）證明：由題意，得，整理得，①，、均為正整數(shù)，是正整數(shù)，是正整數(shù)，是正整數(shù)，，把代入①得，，，此時(shí)，，，，方程的正整數(shù)解是．僅當(dāng)時(shí)，該方程有正整數(shù)解．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解，消元法是求解本題的關(guān)鍵．16．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于、的二元一次方程的解為和(1)求、的值；(2)求當(dāng)時(shí)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）將方程的解代入得到新的方程組解方程組即可得到答案；（2）根據(jù)（1）將代入即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可得，，解得；（2）解：由（1）得，，將代入可得，．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解得問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是方程的解滿足方程代入左右兩邊相等．17．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）北京冬奧會(huì)，給世界一個(gè)溫暖的擁抱；北京冬奧會(huì)，讓世界見證了中國(guó)科技和中國(guó)智慧；北京冬奧會(huì)，讓世界記住了一個(gè)冬奧明星“冰墩墩”某商場(chǎng)為了跟上冬奧的腳步，計(jì)劃用元從廠家購(gòu)進(jìn)個(gè)冰墩墩產(chǎn)品，已知該廠家生產(chǎn)冰墩墩鑰匙扣、冰墩墩手辦、冰墩墩挎包三種不同的冰墩墩產(chǎn)品，設(shè)冰墩墩手辦、冰墩墩挎包應(yīng)各買入，個(gè)，其中每個(gè)的價(jià)格、銷售獲利如表：冰墩墩鑰匙扣冰墩墩手辦冰墩墩挎包價(jià)格元個(gè)銷售獲利元個(gè)(1)購(gòu)買冰墩墩鑰匙扣______個(gè)用含，的代數(shù)式表示；(2)若商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)三種不同的冰墩墩產(chǎn)品每種產(chǎn)品至少有一個(gè)，恰好用了元，則商場(chǎng)有哪幾種購(gòu)進(jìn)方案？(3)在第題的基礎(chǔ)上，為了使銷售時(shí)獲利最多，應(yīng)選擇哪種購(gòu)進(jìn)方案？此時(shí)獲利為多少？【答案】(1)；(2)商場(chǎng)共有種購(gòu)進(jìn)方案，方案：購(gòu)買冰墩墩手辦個(gè)，冰墩墩挎包個(gè)，冰墩墩鑰匙扣個(gè)；方案：購(gòu)買冰墩墩手辦個(gè)，冰墩墩挎包個(gè)，冰墩墩鑰匙扣個(gè)；方案：購(gòu)買冰墩墩手辦個(gè)，冰墩墩挎包個(gè)，冰墩墩鑰匙扣個(gè)；(3)應(yīng)選擇購(gòu)進(jìn)方案，此時(shí)獲利為元．【分析】（1）利用購(gòu)買冰墩墩鑰匙扣的數(shù)量購(gòu)買冰墩墩手辦的數(shù)量購(gòu)買冰墩墩挎包的數(shù)量，即可用含，的代數(shù)式表示出購(gòu)買冰墩墩鑰匙扣的數(shù)量；（2）利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，，均為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)進(jìn)方案；（3）利用銷售總利潤(rùn)每個(gè)的銷售利潤(rùn)銷售數(shù)量進(jìn)貨數(shù)量，可分別求出選擇各方案可獲得的總利潤(rùn)，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵購(gòu)買冰墩墩手辦個(gè)，冰墩墩挎包個(gè)，購(gòu)買冰墩墩鑰匙扣個(gè)．故答案為：；（2）解：根據(jù)題意得：，，又，，均為正整數(shù)，或或，商場(chǎng)共有種購(gòu)進(jìn)方案，方案：購(gòu)買冰墩墩手辦個(gè)，冰墩墩挎包個(gè)，冰墩墩鑰匙扣個(gè)；方案：購(gòu)買冰墩墩手辦個(gè)，冰墩墩挎包個(gè)，冰墩墩鑰匙扣個(gè)；方案：購(gòu)買冰墩墩手辦個(gè)，冰墩墩挎包個(gè)，冰墩墩鑰匙扣個(gè)．（3）解：選擇方案可獲利元；選擇方案可獲利元；選擇方案可獲利元．，應(yīng)選擇購(gòu)進(jìn)方案，此時(shí)獲利為元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含，的代數(shù)式表示出購(gòu)買冰墩墩鑰匙扣的數(shù)量；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，分別求出選擇各方案可獲得的總利潤(rùn)．18．（2023秋·重慶·八年級(jí)校聯(lián)考期末）對(duì)于一個(gè)各位數(shù)字都不為0的三位正整數(shù)，若滿足個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，則稱M為“開心數(shù)”．將一個(gè)“開心數(shù)”任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到三個(gè)兩位數(shù)，把這三個(gè)兩位數(shù)之和記為．如“開心數(shù)”，去掉百位上的數(shù)字后得到12，去掉十位上的數(shù)字后得到32，去掉個(gè)位上的數(shù)字后得到31，則．(1)求，的值；(2)若能被11整除，求出滿足條件的所有“開心數(shù)”．【答案】(1)65，100(2)212，424，636，848【分析】（1）根據(jù)新定義內(nèi)容列式計(jì)算；（2）設(shè)M的百位數(shù)字c，十位數(shù)字為a，則個(gè)位數(shù)字為2a，然后根據(jù)新定義內(nèi)容列出的式子，并結(jié)合a和c的取值范圍以及能被11整除的特點(diǎn)確定a和c的值，從而求值．【詳解】（1）解：，；（2）設(shè)M的百位數(shù)字c，十位數(shù)字為a，則個(gè)位數(shù)字為2a，，則，又∵能被11整除，∴，且能被11整除，當(dāng)時(shí)，解得：，此時(shí)“開心數(shù)”M為212；當(dāng)時(shí)，解得：，此時(shí)“開心數(shù)”M為424；當(dāng)時(shí)，解得：，此時(shí)“開心數(shù)”M為636；當(dāng)時(shí)，解得：，此時(shí)“開心數(shù)”M為848；滿足條件的所有“開心數(shù)”M為：212，424，636，848．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義內(nèi)容，考查二元一次方程的解，理解新定義內(nèi)容，列出二元一次方程并確定其符合題意的正整數(shù)解是解題關(guān)鍵．1．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）某體育比賽的門票分A票和B票兩種，A票每張x元，B票每張y元．已知10張A票的總價(jià)與19張B票的總價(jià)相差320元，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系列出方程即可解題；【詳解】解：由10張A票的總價(jià)與19張B票的總價(jià)相差320元可知，或，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能根據(jù)實(shí)際情況對(duì)題目全面分析．2．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）為迎接2022年北京冬奧會(huì)，某校開展了以迎冬奧為主題的演講活動(dòng)，計(jì)劃拿出180元錢全部用于購(gòu)買甲、乙兩種獎(jiǎng)品（兩種獎(jiǎng)品都購(gòu)買），獎(jiǎng)勵(lì)表現(xiàn)突出的學(xué)生，已知甲種獎(jiǎng)品每件15元，乙種獎(jiǎng)品每件10元，則購(gòu)買方案有（

）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種【答案】A【分析】設(shè)購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品為x件，乙種獎(jiǎng)品為y件，由題意可得，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：設(shè)購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品為x件，乙種獎(jiǎng)品為y件，由題意可得：，∴，∵，且x、y都為正整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；∴購(gòu)買方案有5種；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2020·黑龍江鶴崗·統(tǒng)考中考真題）學(xué)校計(jì)劃用200元錢購(gòu)買、兩種獎(jiǎng)品，種每個(gè)15元，B種每個(gè)25元，在錢全部用完的情況下，有多少種購(gòu)買方案（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】B【分析】設(shè)購(gòu)買了A種獎(jiǎng)品x個(gè)，B種獎(jiǎng)品y個(gè)，根據(jù)學(xué)校計(jì)劃用200元錢購(gòu)買A、B兩種獎(jiǎng)品，其中A種每個(gè)15元，B種每個(gè)25元，錢全部用完可列出方程，再根據(jù)x，y為正整數(shù)可求出解．【詳解】設(shè)購(gòu)買了種獎(jiǎng)品個(gè)，種獎(jiǎng)品個(gè)，根據(jù)題意得：，化簡(jiǎn)整理得：，得，∵，為非負(fù)整數(shù)，∴，，，∴有3種購(gòu)買方案：方案1：購(gòu)買了種獎(jiǎng)品0個(gè)，種獎(jiǎng)品8個(gè)；方案2：購(gòu)買了種獎(jiǎng)品5個(gè)，種獎(jiǎng)品5個(gè)；方案3：購(gòu)買了種獎(jiǎng)品10個(gè)，種獎(jiǎng)品2個(gè).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題意列出二元一次方程，然后根據(jù)解為非負(fù)整數(shù)確定出x，y的值．4．（2020·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在抗擊疫情網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽中，為獎(jiǎng)勵(lì)成績(jī)突出的學(xué)生，學(xué)校計(jì)劃用元錢購(gòu)買、、三種獎(jiǎng)品，種每個(gè)元，種每個(gè)元，種每個(gè)元，在種獎(jiǎng)品不超過(guò)兩個(gè)且錢全部用完的情況下，有多少種購(gòu)買方案（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】設(shè)購(gòu)買、、三種獎(jiǎng)品分別為個(gè)，根據(jù)題意列方程得，化簡(jiǎn)后根據(jù)均為正整數(shù)，結(jié)合種獎(jiǎng)品不超過(guò)兩個(gè)分類討論，確定解的個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)購(gòu)買、、三種獎(jiǎng)品分別為個(gè)，根據(jù)題意列方程得，即，由題意得均為正整數(shù)．①當(dāng)z=1時(shí)，∴，∴y分別取1，3，5，7，9，11，13，15共8種情況時(shí)，x為正整數(shù)；②當(dāng)z=2時(shí)，∴，∴y可以分別取2，4，6，8，10，12共6種情況，x為正整數(shù)；綜上所述：共有8+6=14種購(gòu)買方案．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了求方程組的正整數(shù)解，根據(jù)題意列出方程，并確定方程組的解為正整數(shù)是解題關(guān)鍵．5．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）某班為獎(jiǎng)勵(lì)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)異的同學(xué)，花費(fèi)48元錢購(gòu)買了甲、乙兩種獎(jiǎng)品，每種獎(jiǎng)品至少購(gòu)買1件，其中甲種獎(jiǎng)品每件4元，乙種獎(jiǎng)品每件3元，則有______種購(gòu)買方案．【答案】3##三【分析】設(shè)購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品x件，乙種獎(jiǎng)品y件，列出關(guān)系式，并求出，由于，且x，y都是正整數(shù)，所以y是4的整數(shù)倍，由此計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)：購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品x件，乙種獎(jiǎng)品y件，，解得，∵，且x，y都是正整數(shù)，∴y是4的整數(shù)倍，∴時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，不符合題意，故有3種購(gòu)買方案，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查列關(guān)系式，根據(jù)題意判斷出y是4的整數(shù)倍是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）已知是方程ax+