易錯易混淆集訓：有理數(shù)及有理數(shù)的運算有關(guān)的六大易錯全攻略（解析版）

專題08易錯易混淆集訓：有理數(shù)及有理數(shù)的運算有關(guān)的六大易錯全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯點一與運算相關(guān)的符號的判斷不準確】 1【易錯點二乘法運算律應(yīng)用不熟導致易錯】 4【易錯點三乘除混合運算時，運算順序錯誤導致易錯】 9【易錯點四數(shù)軸上多解時考慮不全產(chǎn)生漏解】 11【易錯點五含絕對值化簡時考慮不全產(chǎn)生漏解】 14【易錯點六含乘方運算時符號考慮不全產(chǎn)生漏解】 16【典型例題】【易錯點一與運算相關(guān)的符號的判斷不準確】例題：（2022秋·四川遂寧·七年級統(tǒng)考期末）在，0，，，五個數(shù)中，負數(shù)有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先化簡，后判斷即可．【詳解】∵，，，，∴有，兩個負數(shù)，故選B．【點睛】本題考查了有理數(shù)的化簡，負數(shù)的判定，熟練掌握有理數(shù)的化簡是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022秋·貴州貴陽·七年級統(tǒng)考期末）下列各組的兩個數(shù)中，值相等的一組是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方計算法則分別計算并判斷．【詳解】解：A、，，兩個數(shù)相等，故符合題意；B、，，兩個數(shù)不相等，故不符合題意；C、，，兩個數(shù)不相等，故不符合題意；D、，，兩個數(shù)不相等，故不符合題意；故選：A．【點睛】此題考查了有理數(shù)的乘方計算，熟記乘方計算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級統(tǒng)考期末）在這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡絕對值，計算乘方，再比較各數(shù)的大小，即可得到答案．【詳解】解：，且，∴這四個數(shù)中，最大的數(shù)是4，故選：B．【點睛】此題考查了有理數(shù)的乘方計算，化簡絕對值，有理數(shù)的大小比較，正確掌握有理數(shù)的計算及大小比較法則是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·寧夏銀川·七年級?？计谀┰谥?，負數(shù)的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】先根據(jù)去括號法則、有理數(shù)的乘方法則、絕對值的性質(zhì)化簡各數(shù)，再根據(jù)負數(shù)的定義即可得．【詳解】解：，，，，，，則負數(shù)的個數(shù)是4個，故選：C．【點睛】本題考查了化簡多重符號、有理數(shù)的乘方、絕對值、負數(shù)，熟練掌握各運算法則和定義是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）在各數(shù)中，正有理數(shù)的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念可進行求解．【詳解】解：∵，∴在各數(shù)中，正有理數(shù)的有：，共4個；故選D．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的概念、絕對值及有理數(shù)的乘方運算，熟練掌握有理數(shù)的概念、絕對值及有理數(shù)的乘方運算是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·山東威?！ち昙壗y(tǒng)考期末）下列各數(shù)：，，，，，，其中非負數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】先計算有理數(shù)的乘方和絕對值，然后判斷即可．【詳解】解：，∴非負數(shù)有3.14，0，一共3個，故選C．【點睛】本題主要考查了非負數(shù)，有理數(shù)的乘方，化簡絕對值，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【易錯點二乘法運算律應(yīng)用不熟導致易錯】例題：（2022秋·全國·七年級期末）簡便計算(1)(2)【答案】(1)6(2)【分析】（1）逆用乘法分配律變形為，再進一步計算即可；（2）原式變形為，再進一步計算即可．【詳解】（1）解：=6；（2）解：．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運算順序和運算法則及運算律．【變式訓練】1．（2022秋·全國·七年級期末）計算：【答案】【分析】首先運用乘法分配律計算，再根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．2．（2023春·黑龍江大慶·六年級統(tǒng)考期末）怎樣簡便就怎樣算．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）直接利用乘法分配律逆運算計算即可；（2）先把除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，再利用乘法分配律逆運算計算即可．【詳解】（1），，，，（2），，，，．【點睛】此題考查了運算定律與簡便運算，解題的關(guān)鍵是靈活運用運算律進行簡便計算．3．（2022秋·山西陽泉·七年級統(tǒng)考期末）閱讀并解答問題：學習有理數(shù)的乘法后，老師南同學思考這樣道題目：計算，看誰算得又快又對．有三位同學的解法如下：小方：原式；小軍：；小紅：原式．(1)對于以上三種解法，你認為哪位同學的解法比較簡單？(2)根據(jù)上面解法對你的啟示，請用你認為最合適的方法計算：．【答案】(1)小紅解法比較簡單(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用乘法分配律進行計算，湊整計算較簡單，（2）按照小紅的解法計算即可【詳解】（1）解：利用乘法分配律進行計算，湊整計算較簡單，小紅解法比較簡單；（2）【點睛】本題考查了有理數(shù)運算中的簡便運算，掌握乘法分配律是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·全國·七年級期末）我們知道乘法有分配律，遇到比較復雜的混合運算時．有的時候可以運用乘法分配律很容易去解決．(1)計算：(2)由于除法沒有分配律，在遇到除法的類似混合運算時，我們計算會很困難，在學完倒數(shù)時，小明對這種除法的混合運算有了自己的想法：先算這個式子的倒數(shù)，再利用倒數(shù)的意義得出原結(jié)果下面是小明的計算過程解：原式的倒數(shù)為：．故原式請你根據(jù)對小明的方法的理解，計算【答案】(1)5(2)【分析】（1）直接利用乘法對加法的分配律計算即可；（2）先計算的倒數(shù)，把除法化為乘法，利用乘法分配律計算，最后把計算的結(jié)果求倒數(shù)即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：原式的倒數(shù)為：，故原式．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，乘法分配律的靈活運用是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期末）利用運算律有時能進行簡便計算：例1、；例2、．請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)0【分析】（1）先將寫成的形式，再使用乘法分配律計算即可；（2）提取公因式，先計算括號內(nèi)的，再進行簡便運算即可．【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題主要考查了有理數(shù)混合運算，熟練掌握乘法的分配律，準確計算是解題的關(guān)鍵．【易錯點三乘除混合運算時，運算順序錯誤導致易錯】例題：（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級校考期末）計算【答案】【分析】直接根據(jù)有理數(shù)乘除混合運算法則計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023秋·廣西桂林·七年級統(tǒng)考期末）計算的結(jié)果是．【答案】【分析】將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分計算．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·七年級課前預(yù)習）計算的結(jié)果是．【答案】9【分析】按照乘除混合運算順序和運算法則計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：9．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．3．（2023春·上海·六年級專題練習）計算：．【答案】2【分析】把除法轉(zhuǎn)化為乘法，運用乘法法則求積即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)的運算法則是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·浙江·七年級專題練習）計算：．【答案】3【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則，除以一個不為零的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，先將除法統(tǒng)一成乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法法則解題，注意偶數(shù)個負數(shù)相乘，結(jié)果為正．【詳解】【點睛】本題考查有理數(shù)的乘除混合運算，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）計算：．【答案】-3300【分析】先將除法變?yōu)槌朔ǎ龠\用乘法交換律進行計算即可.【詳解】原式．【點睛】本題考查有理數(shù)的乘除運算，根據(jù)有理數(shù)的乘除法運算法則，運用乘法交換律簡便計算是解題的關(guān)鍵【易錯點四數(shù)軸上多解時考慮不全產(chǎn)生漏解】例題：（2023秋·江蘇·七年級專題練習）數(shù)軸上點A表示的數(shù)是﹣5，將點A在數(shù)軸上平移8個單位長度得到點B，則點B表示的數(shù)是．【答案】-13或3/3或-13【分析】點A在數(shù)軸上平移8個單位長度，可以是向左或向右，即向右平移8個單位，即增加8，向左平移就減少8．【詳解】解：如果A向右平移得到，點B表示的數(shù)是：，如果A向左平移得到，點B表示的數(shù)是：，故點B表示的數(shù)是3或?13．故答案為：3或?13．【點睛】此題主要考查了數(shù)軸，掌握數(shù)軸上的點平移法則是解題關(guān)鍵．數(shù)軸上點的平移：向左平移，表示的數(shù)減少，向右平移，表示的數(shù)增大．【變式訓練】1．（2023春·山東濟南·六年級統(tǒng)考開學考試）數(shù)軸上點A表示的數(shù)是，將點A在數(shù)軸上平移4個單位長度得到點B．則點B表示的數(shù)是．【答案】2或【分析】應(yīng)用數(shù)軸上點的意義分類進行計算即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，將點A在數(shù)軸上向右平移4個單位得到點B，則點B表示的數(shù)是；將點A在數(shù)軸上向左平移4個單位得到點B，則點B表示的數(shù)是；則點B表示的數(shù)是2或．故答案為：2或．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的意義進行求解是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級?？茧A段練習）在數(shù)軸上，點A表示數(shù)，點B到點A的距離為5．則點B表示的數(shù)為．【答案】或2/2或【分析】與A點距離為4的點有兩個，分別在A點左側(cè)4個單位長度和A點右側(cè)4個單位長度．【詳解】解：設(shè)點B表示的數(shù)為m，∵點A表示數(shù)，點B到點A的距離為5，∴，解得或，∴點B表示的數(shù)為或2，故答案為：或2．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的特征，兩點間距離的求法是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上有，兩點，，之間的距離為2，點與原點的距離為3，那么點對應(yīng)的數(shù)是．【答案】或【分析】先根據(jù)點A到原點的距離為3，求出點A表示的數(shù)，再根據(jù)點A、點B之間距離為2，即可求出答案．【詳解】解：點與原點的距離為3，點A所表示的數(shù)為：3或，又A、B之間的距離為2，當點A所表示的數(shù)為3時，點B表示的數(shù)為1或5；當點A所表示的數(shù)為時，點B表示的數(shù)為或；綜上所述，點對應(yīng)的數(shù)是或．故答案為：或．【點睛】此題考查了數(shù)軸上的點所表示的數(shù)與數(shù)軸上兩點間的距離，熟練掌握數(shù)軸上點的特征以及數(shù)軸上兩點距離求法，并學會用數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）在一條可以折疊的數(shù)軸上，A和B表示的數(shù)分別是和6，點C為A、B之間一點（不與A、B重合），以點C為折點，將此數(shù)軸向右對折，且，則C點表示的數(shù)是．

【答案】或【分析】設(shè)點C表示的數(shù)為x，根據(jù)點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為6，得到，，根據(jù)，或，且，分類討論即得．【詳解】設(shè)點C表示的數(shù)為x，∵點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為6，∴，，∵，∴，，或，．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點間的距離，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式，分類討論．5．（2023秋·全國·七年級專題練習）已知點、點、點是同一條數(shù)軸上的三個點，且，若點在數(shù)軸上表示的數(shù)是1，則點在數(shù)軸上表示的數(shù)是．【答案】、1或【分析】分在左側(cè)，右側(cè)，重合，三種情況分類討論即可；【詳解】解：①當重合時，即表示的數(shù)是1時，滿足題意；②當不重合時，為的中點，在左側(cè)時：表示的數(shù)是：；在右側(cè)時：表示的數(shù)是：；綜上：點在數(shù)軸上表示的數(shù)是、1或；故答案為：、1或．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離．根據(jù)題意，正確的畫圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．【易錯點五含絕對值化簡時考慮不全產(chǎn)生漏解】例題：（2022秋·浙江杭州·七年級校聯(lián)考期中）若，則的值為（

）A．0或1 B．或0 C． D．【答案】C【分析】先得到，再分當時，，當時，，兩種情況討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，當時，，則；當時，，則；故選C．【點睛】本題主要考查了化簡絕對值，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022秋·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習）已知三個有理數(shù)、、，其積是負數(shù)，則．【答案】或【分析】根據(jù)題意可知，有兩種情況：①、、均為負數(shù)；②、、中有一個負數(shù)，根據(jù)絕對值的意義化簡求值，即可得到答案【詳解】解：由題意可知，，則有兩種情況：①、、均為負數(shù)，則②、、中有一個負數(shù)，則，故答案為：或【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，絕對值的意義，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習）已知有理數(shù)a、b、c滿足，則．【答案】0【分析】根據(jù)“”可以判斷三數(shù)中的正負數(shù)個數(shù)，再根據(jù)絕對值的化簡法則即可求解．【詳解】解：∵∴中有兩個正數(shù)一個負數(shù)∵∴∴；故答案為：0【點睛】本題考查絕對值的化簡．判斷絕對值符號里面的式子正負是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）在解決數(shù)學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學思想，下面是運用分類討論的數(shù)學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的“探究”．【提出問題】三個有理數(shù)a、b、c滿足，求的值．【解決問題】解：由題意得：a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)．①當a，b，c都是正數(shù)，即，，時，則：；②當a，b，c有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，設(shè)，，則：所以：的值為3或-1．【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：（1）三個有理數(shù)a，b，c滿足，求的值；（2）已知，，且，求的值．【答案】（1）-3或1；（2）或．【分析】（1）根據(jù)題意因為abc＜0，可分類兩種情況，a、b、c三數(shù)均為負，a、b、c只有一個負數(shù)，另兩個為正數(shù)，再根據(jù)題目中給出的解題過程求解即可得出答案；（2）根據(jù)絕對值的意義，先計算出a=±3，b=±1，根據(jù)條件a＜b求解即可得出答案．【詳解】解：（1），∴a，b，c都是負數(shù)或其中一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)，①當a，b，c都是負數(shù)，即，，時，則：；②a，b，c有一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)時，設(shè)，，，則.（2）∵，，∴a=±3，b=±1，∵，∴，或，則或.【點睛】本題主要考查了絕對值的意義及有理數(shù)加減乘除運算，根據(jù)題意應(yīng)用絕對值意義求解是解決本題的關(guān)鍵．【易錯點六含乘方運算時符號考慮不全產(chǎn)生漏解】例題：（2023秋·安徽蚌埠·七年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】先進行乘方運算，再進行乘除運算，最后計算減法．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算．熟練掌握有理數(shù)的運算法則和運算順序，正確的進行計算，是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·陜西西安·七年