高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 4.2.2函數(shù)最值的應(yīng)用

函數(shù)最值的應(yīng)用

科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐中也常常會(huì)碰到最大、最小值問題，例如，在一定條件下，如何使“產(chǎn)量最高”、“成本最低”、“油耗最小”等等。函數(shù)的最值

例

1

某同學(xué)在上網(wǎng)時(shí)，通過下載一個(gè)文件對(duì)自家的網(wǎng)速進(jìn)行簡(jiǎn)單的測(cè)量，假設(shè)下載量

與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為：

(KB)。試求

為何值，下載速度

最小。解：由題意得：則：令

，得

，它是唯一臨界點(diǎn)，因此，

時(shí)，下載速度

最小。習(xí)題講解

設(shè)在電路中，電源電動(dòng)勢(shì)為

（常數(shù)），內(nèi)電阻為（常量）,問負(fù)債電阻多大時(shí)，輸出功率

最大？例2由歐姆定律知，

，所以

，

要求輸出的最大功率

，則只需求上述函數(shù)的最大值，所以令

，得

，依題意，在

內(nèi)，功率

的最大值存在且唯一，因此，當(dāng)

時(shí)

，功率最大。

由電學(xué)知，消耗在負(fù)載電阻R上的功率(為回路中的電流）解：習(xí)題講解

例3問題歸結(jié)為：求

為何值時(shí)，函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)取得最大值。設(shè)截去的小正文形的邊長(zhǎng)為

，鐵盒的容積為

，據(jù)題意有：解：習(xí)題講解

解：令

，求得在

內(nèi)函數(shù)的駐點(diǎn)為

，

習(xí)題講解

例3

設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20千米，垂足為B，鐵路線上距離B為100千米處有一原料供應(yīng)站C，如圖所示?，F(xiàn)在要從鐵路BC中間某處D修建一個(gè)車站，再由車站D向工廠修一條公路，問D應(yīng)選在何處才能使得從原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最??？已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3：5。例4由于鐵路每千米貨物運(yùn)費(fèi)與公路每千米貨運(yùn)費(fèi)之比為3:5。因此，不妨設(shè)鐵路上3，則公路上為5

，并設(shè)從C到A點(diǎn)，需要的總運(yùn)費(fèi)為

，

設(shè)

，則

，解：習(xí)題講解

令

，則

為函數(shù)

在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，故知

在

處取得最小值，即D應(yīng)選在距B為

處，運(yùn)費(fèi)最省。解：由題意得：則：

設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20千米，垂足為B，鐵路線上距離B為100千米處有一原料供應(yīng)站C，如圖所示?，F(xiàn)在要從鐵路BC中間某處D修建一個(gè)車站，再由車站D向工廠修一條公路，問D應(yīng)選在何處才能使得從原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最??？已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3：5。例4習(xí)題講解

函數(shù)的最值

在求函數(shù)的最大（?。┲禃r(shí)，若在一個(gè)區(qū)間（有限或無限）內(nèi)連續(xù)函數(shù)

只有唯一的一個(gè)駐點(diǎn)或不可導(dǎo)的點(diǎn),那么，當(dāng)

是

的極大（小）值時(shí)，

必定也是

在該區(qū)間的最大（小）值。在實(shí)際問題中若能根據(jù)問題