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文檔簡介

定積分的性質(zhì)性質(zhì)一定積分的性質(zhì)

兩個函數(shù)代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和，即：可以推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情形。性質(zhì)二被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外，即：（

為常數(shù)）性質(zhì)三定積分的性質(zhì)

（定積分對區(qū)間的可加性）對任意點

有：性質(zhì)四

（比較性）如果函數(shù)

與

在區(qū)間

上總滿足條件：

,則

點

的任意性是指，不論

是區(qū)間

內(nèi)的點，還是區(qū)間

外的點，這一性質(zhì)均成立.推論

如果函數(shù)

在區(qū)間

上滿足條件：

，則定積分的性質(zhì)

（估值性）如果函數(shù)

在區(qū)間

上的最大值與最小值分別為

與,則：性質(zhì)五性質(zhì)5的幾何意義是：

由曲線

，直線

所圍成的曲邊梯形面積，介于以區(qū)間

為底，最小值

為高的矩形面積，和以區(qū)間

為底，最大值

為高的矩形面積之間，如圖所示。定積分的性質(zhì)

性質(zhì)六（定積分中值定理）如果函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，則在

上至少存在一點

，使得：定積分中值定理的幾何意義是：

設

，則該性質(zhì)表示以區(qū)間

為底，以連續(xù)曲線

為曲邊的曲邊梯形的面積，總可以等于底邊相同而高為

的一個矩形的面積，如圖所示。

特別地，當

時，定積分的性質(zhì)

通常我們把

叫做連續(xù)曲線

在閉區(qū)間

上的平均高度，或叫做函數(shù)

在區(qū)間

上的平均值。因此，定積分中值定理也叫做平均值定理。

連續(xù)函數(shù)的平均值概念應用廣泛，如求平均速度、平均電壓、平均溫度、人均收入等。習題講解

利用定積分的性質(zhì)，比較

與

值的大小。例題2

解：當

時，

，所以根據(jù)定積分性質(zhì)4知：習題講解

例題3利用定積分的性質(zhì)，估計定積分

的值。

解：首先計算函數(shù)

在區(qū)間

上的最大值和最小值。因為

，令

，得駐點

，所以

在區(qū)間

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