第03講 圓中的切線方程、切點(diǎn)弦方程及圓系方程（高階拓展、競(jìng)賽適用）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第03講圓中的切線方程、切點(diǎn)弦方程及圓系方程（高階拓展、競(jìng)賽適用）（6類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第10題,6分圓中切線問(wèn)題切線長(zhǎng)根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題2023年新I卷，第6題,5分圓中切線問(wèn)題給值求值型問(wèn)題余弦定理解三角形2022年新I卷，第14題,5分圓的公切線方程判斷圓與圓的位置關(guān)系2021年新I卷，第11題,5分切線長(zhǎng)直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等，分值為5-6分【備考策略】1.熟練掌握?qǐng)A中切線問(wèn)題的快速求解2.熟練掌握?qǐng)A系方程的快速求解【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的拓展內(nèi)容，需要大家掌握二級(jí)結(jié)論來(lái)快速解題，需強(qiáng)化練習(xí)知識(shí)講解一、圓中切線問(wèn)題已知圓方程為:,若已知切點(diǎn)在圓上,則切線只有一條,其方程是:已知圓方程為:,若已知切點(diǎn)在圓上,則該圓過(guò)點(diǎn)的切線方程為;已知圓方程為圓:.(1)過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為.(2)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線,則切點(diǎn)弦方程為.4.過(guò)圓外一點(diǎn)引圓(標(biāo)準(zhǔn)方程,一般方程)的切線長(zhǎng)度一般方程(標(biāo)準(zhǔn)方程)二、常見(jiàn)的圓系方程1、同心圓圓系(1)以為圓心的同心圓圓系方程:;(2)與圓同心圓的圓系方程為:;2、過(guò)線圓交點(diǎn)的圓系過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為:;3、過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程為,此圓系不含)(1)特別地,當(dāng)時(shí),上述方程為一次方程,兩圓相交時(shí),表示公共弦方程;兩圓相切時(shí),表示公切線方程.(2)為了避免利用上述圓系方程時(shí)討論圓過(guò),可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過(guò)圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:考點(diǎn)一、過(guò)圓上一點(diǎn)的切線問(wèn)題1．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的切線l，求切線l的方程【答案】【分析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，由圓心到直線的距離等于半徑判斷；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：設(shè)直線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，圓心到直線的距離為，不成立；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離等于半徑為：，解得，所以直線方程為：，即.故答案為：.2．（23-24高三下·福建·開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相切，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)P在圓C上，由切線性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】由點(diǎn)P在圓C上，又由直線的斜率為，可得直線l的斜率為2，則直線l的方程為．故選：B．1．（22-23高二上·上海浦東新·期中）已知圓，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為.【答案】【分析】根據(jù)切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直即可求解.【詳解】點(diǎn)在圓上,圓心為，，所以切線的斜率，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為,即.故答案為：.2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圓在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】容易知道點(diǎn)為切點(diǎn)，圓心，設(shè)切線斜率為k，從而，由此即可得解.【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，∵點(diǎn)在圓上，∴點(diǎn)P為切點(diǎn)．從而圓心與點(diǎn)P的連線應(yīng)與切線垂直．又∵圓心為，設(shè)切線斜率為k，∴，解得．∴切線方程為．故選：D.考點(diǎn)二、過(guò)圓外一點(diǎn)的切線問(wèn)題1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為【答案】或【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.【詳解】圓：即，圓心為，半徑，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線恰好與圓相切；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，即，則，解得，所求切線方程為，綜上可得過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為或.故答案為：或2．（22-23高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)切線斜率是否存在分類(lèi)討論，利用圓心到切線距離等于半徑可求結(jié)果．【詳解】由圓心為，半徑為2，斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，則，可得，所以，即；斜率不存在時(shí)，，顯然與圓相切，綜上，切線方程為或．故選：D．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出切線方程，然后根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，然后根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)得答案.【詳解】由題可得，圓的圓心為，半徑．易知切線的斜率都存在，設(shè)切線的方程為，即，圓心到切線的距離，解得或，如圖，設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)下方，，（提示：由圓的性質(zhì)可知）．

另法：由題可得，圓的圓心為，半徑．易知直線是圓的一條切線，不妨設(shè)切點(diǎn)為，則．又（提示：圓的切線的性質(zhì)），．故選：A．1．（24-25高三上·山東濰坊·開(kāi)學(xué)考試）已知圓，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先說(shuō)明點(diǎn)在圓外，再設(shè)點(diǎn)斜式方程，利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，解出即可.【詳解】將代入圓方程得，則該點(diǎn)在圓外，，即，則其圓心為，半徑為1，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為，顯然不合題意，故舍去，則設(shè)切線方程為：，即，則有，解得，此時(shí)切線方程為.故選：C.2．（22-23高二上·湖南岳陽(yáng)·期中）經(jīng)過(guò)向圓作切線，切線方程為（

）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】根據(jù)切線的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案.【詳解】（1）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線是圓的切線；（2）當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，由到切線距離為得，此時(shí)切線方程為即.故選：C3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法1：如圖，由題意確定圓心坐標(biāo)和半徑，求出，由二倍角的余弦公式求出即可求解；解法2：如圖，由題意確定圓心坐標(biāo)和半徑，利用余弦定理求出即可求解；解法3：易知切線斜率存在，利用點(diǎn)到直線的距離公式和斜率的定義求出，進(jìn)而求出即可.【詳解】解法1：如圖，圓，即，則圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，則，得，則，即為鈍角，且為銳角，所以.故選：A.解法2：如圖，圓，即，則圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，則，因?yàn)?，且，則，即，解得，即為鈍角，且為銳角，則.故選：A.解法3：圓，即，則圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，則設(shè)切線方程為，即，則圓心到切線的距離，解得，所以，又為銳角，由解得.故選：A.考點(diǎn)三、切點(diǎn)弦方程1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，則直線的方程為.【答案】【分析】由二級(jí)結(jié)論：若點(diǎn)在圓外，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則切點(diǎn)弦(兩切點(diǎn)的連線段)所在直線的方程為（圓的方程為），代入即可的直線的方程.【詳解】由題意，切點(diǎn)弦所在直線的方程為:，化簡(jiǎn)得：.故答案為：.2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則原點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求解四邊形的外接圓的方程，再求解直線的方程，即可求解點(diǎn)到直線的距離.【詳解】由圖可知，，，則四點(diǎn)共圓，圓的直徑是，點(diǎn)，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以四邊形的外接圓的方程為，即，圓，兩式相減得直線的方程，則原點(diǎn)到直線的距離.故選：A1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，點(diǎn)，若直線分別切圓于兩點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：利用直線，得出，在中，利用幾何關(guān)系求出及，進(jìn)而可求出點(diǎn)到直線MN的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出結(jié)果；方法二：利用直線為圓和以AC為直徑的圓的公共弦，求出以AC為直徑的圓，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意得直線垂直平分線段，又圓：，所以圓心，，又由，得直線AC的斜率，所以直線MN的斜率，可設(shè)直線的方程為，又，在中，，，得到，則點(diǎn)到直線MN的距離，即，解得或，當(dāng)時(shí)，直線MN與圓C相離，不符合題意，所以直線MN的方程為．

一題多解

因?yàn)榉謩e是圓C的切線，所以，所以點(diǎn)在以AC為直徑的圓上．因?yàn)?，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為故以為直徑的圓的方程為，又因?yàn)閳AC：，所以直線MN的方程為，化簡(jiǎn)得，故選：B．2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，則直線的方程為.【答案】【分析】由二級(jí)結(jié)論：若點(diǎn)在圓外，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則切點(diǎn)弦(兩切點(diǎn)的連線段)所在直線的方程為：（圓的方程為），代入即可的直線的方程【詳解】由題意，切點(diǎn)弦所在直線的方程為：，化簡(jiǎn)得：.故答案為：.考點(diǎn)四、切線長(zhǎng)1．（2024·四川攀枝花·三模）由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，求得，由此可知時(shí)，PQ取得最小值，由此即可求解.【詳解】由已知有：圓的圓心，半徑為，直線的一般方程為，設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為，則有，所以，所以取最小值時(shí)，PQ取得最小值，因?yàn)橹本€上點(diǎn)到圓心的距離最小值為圓心到直線的距離，所以，故PQ的最小值為.故選：B2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知P為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的一條切線，切點(diǎn)為A，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合勾股定理以及點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】連接，則，而PC的最小值為點(diǎn)C到直線l的距離，所以.故選：A.1．（24-25高三上·陜西·開(kāi)學(xué)考試）由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，則切線段的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由圓的方程得圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求出切線長(zhǎng)的最小值即可.【詳解】由圓的方程，得圓心，半徑，如圖，切線長(zhǎng)，當(dāng)最小時(shí)，最小，最小值為圓心到直線的距離，所以切線長(zhǎng)的最小值.故選：C.

2．（24-25高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）已知圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為A，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．3【答案】C【分析】求出切線長(zhǎng)，得出PC最小時(shí)，最小，再由點(diǎn)到直線距離公式求解可得.【詳解】連接，則，當(dāng)PC最小時(shí)，最小，又圓的圓心為1,0，半徑為，則，故的最小值為.故選：C.考點(diǎn)五、圓中的公切線問(wèn)題（含根軸）1．（23-24高三下·山東·開(kāi)學(xué)考試）圓和圓的公切線方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】先判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，確定公切線的條數(shù)，求解出兩圓的公共點(diǎn)，然后根據(jù)圓心連線與公切線的關(guān)系求解出公切線的方程.【詳解】解：，圓心，半徑，，圓心，半徑，因?yàn)?，所以兩圓相內(nèi)切，公共切線只有一條，因?yàn)閳A心連線與切線相互垂直，，所以切線斜率為，由方程組解得，故圓與圓的切點(diǎn)坐標(biāo)為，故公切線方程為，即．故選：A.2．（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）（多選）已知直線與圓：和圓：都相切，則直線的方程可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先明確兩圓位置關(guān)系，從而根據(jù)兩圓位置關(guān)系明確公切線的情況，再根據(jù)公切線特征情況分情況直接計(jì)算求解即可.【詳解】由題知，兩圓半徑，所以，故圓、外切，則兩圓有三條公切線，如圖，的中點(diǎn)為兩圓外切切點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)的中點(diǎn)，且與垂直時(shí)，因?yàn)?，所以直線的方程為，即；當(dāng)直線與平行，且到的距離為時(shí)，設(shè)直線的方程為，所以，解得或，所以直線的方程為或．故選：ABC．1．（2024·河北張家口·三模）圓與圓的公切線的方程為．【答案】【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，然后將圓化為一般式，兩式相減可得.【詳解】圓的圓心為1,0，半徑為1，圓的圓心為，半徑為6，因?yàn)椋詢蓤A內(nèi)切，只有一條公切線，將圓化為一般式得：，，兩式相減得，即，所以圓的公切線的方程為.故答案為：2．（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）與圓和圓都相切的直線方程是．【答案】【分析】根據(jù)題意，判斷兩圓的位置關(guān)系內(nèi)切，聯(lián)立方程組求得公切線方程.【詳解】設(shè)圓的圓心為，半徑為，則，，設(shè)圓的院系為，半徑為，則，，所以，所以兩圓內(nèi)切.聯(lián)立方程，解得，所以兩圓的公切線方程為.故答案為：.考點(diǎn)六、圓系方程1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知圓系方程（，m為參數(shù)），這些圓的公切線方程為.【答案】【分析】先求圓心的軌跡,再設(shè)切線方程計(jì)算即可求出公切線.【詳解】圓心坐標(biāo)為，所以圓心在直線上，設(shè)圓的切線為，即，所以兩直線間的距離為圓的半徑，，所以直線方程為.故答案為:.2．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若圓與圓相交，我們把經(jīng)過(guò)圓和圓交點(diǎn)的圓稱為圓、圓的圓系方程，其方程可設(shè)為．根據(jù)以上信息，解決如下問(wèn)題：已知圓與交于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓的一般方程為．【答案】【分析】由題意可設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的圓的方程，化簡(jiǎn)整理可得圓心為，圓和圓方程相減，求出直線的方程，再把圓心代入直線的方程求出的值即可．【詳解】由題意可設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的方程為，整理得，則圓心為．圓①，圓②，由①-②得，，即直線的方程為．因?yàn)闉橹睆?，圓心在直線上，所以，解得，故以為直徑的圓的方程為．故答案為：．1．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（多選）已知圓和圓相交于兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．所有過(guò)點(diǎn)的圓系的方程可以記為（其中，）B．直線的方程為C．線段的長(zhǎng)為D．兩圓有兩條公切線與【答案】CD【分析】根據(jù)圓系方程的條件，可判定A錯(cuò)誤；利用兩圓相減，求得公共弦的方程，可判定B錯(cuò)誤；利用圓的弦長(zhǎng)公式，求得弦長(zhǎng)，可判定C正確；根據(jù)得到為兩圓的公切線，得到關(guān)于兩圓圓心所在直線對(duì)稱的直線得到另一條公切線，求得公切線的方程，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，圓系方程（其中，）此時(shí)不含圓M，所以A錯(cuò)誤．對(duì)于B選項(xiàng)，聯(lián)立方程組，兩式相減得到直線AB的方程為，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C中，原點(diǎn)O到直線AB的距離為，根據(jù)勾股定理得，所以C正確．對(duì)于D中，由圓，可得，可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，又由圓，可得圓心，半徑為，可得直線與兩圓相切，即為兩圓的公切線，則關(guān)于兩圓圓心所在直線對(duì)稱的直線即為另一條公切線，由和，可得兩圓心所在直線為，即，聯(lián)立方程組，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，可得，解得，即對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所求的另一條切線過(guò)點(diǎn)，，可得其方程為，故所求切線方程為或，所以D正確.故選：CD.

一、單選題1．（23-24高二上·江蘇連云港·期中）圓在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】易知該切線斜率存在，不妨設(shè)切線方程，易知圓心，半徑，所以到的距離為，解之得，即切線.故選：A2．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)是、，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圓的切線的特點(diǎn)求出的長(zhǎng)，然后得出以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓的方程，兩圓的交點(diǎn)就是、，再把兩圓的方程作差即可求出直線的方程.【詳解】把（1）轉(zhuǎn)化為，圓心，半徑，則，，圓的方程為（2），（1）（2），得．故選：B.二、填空題3．（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）過(guò)圓上點(diǎn)的切線方程為．【答案】【分析】由圓的切線性質(zhì)求出切線斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可得.【詳解】由題知，，則切線斜率，所以切線方程為，整理為．故答案為：4．（2023·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的切線與軸交于點(diǎn)，則．【答案】【分析】由直線與圓的位置關(guān)系作出切線，求得，即可得解.【詳解】如圖所示，設(shè)圓心為點(diǎn)，則，，則點(diǎn)在圓上，且，由與圓相切可得，所以切線方程為，令，解得，故，所以故答案為：.5．（23-24高三上·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)為.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用圓的切線長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心，半徑，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，可得，所以切線長(zhǎng)為.故答案為：.6．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·期末）已知圓，過(guò)作圓的切線，則直線的傾斜角為．【答案】（或?qū)憺椋痉治觥糠治隹芍?，點(diǎn)在圓上，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，求出直線的斜率，即可得出直線的傾斜角.【詳解】因?yàn)椋?，點(diǎn)在圓上，直線的斜率為，由圓的幾何性質(zhì)可知，，則直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，故.即直線的傾斜角為（或）.故答案為：（或?qū)憺椋?7．（2023·江西·二模）已知圓，圓.請(qǐng)寫(xiě)出一條與兩圓都相切的直線方程：.【答案】或【分析】由題可知兩圓相交，兩圓有2條公切線，求出切線與兩圓圓心連線的交點(diǎn)，點(diǎn)斜式設(shè)切線方程，利用圓心到切線距離等于半徑，計(jì)算即可.【詳解】圓圓心，半徑，圓圓心，半徑，由兩圓相交，所以兩圓有2條公切線，設(shè)切線與兩圓圓心連線的交點(diǎn)為，如圖所示，則，即，所以，解得，所以，設(shè)公切線l︰，所以圓心到切線l的距離，解得，所以公切線方程為，即或.故答案為：或8．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）寫(xiě)出與圓和圓都相切的一條直線的方程.【答案】（或或，寫(xiě)出一個(gè)即可）【分析】根據(jù)題意，得到圓與圓相外切，將兩圓的方程相減，求得其中一條公切線的方程，再由圓與圓的半徑相等，得到外公切線與平行，求得，設(shè)，結(jié)合圓心到直線的距離等于半徑，列出方程，求得的值，即可得到公切線的方程.【詳解】由題意得，圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，因?yàn)?，可得，所以圓與圓相外切，將兩圓的方程相減，可得，此方程為圓與圓的公切線，又由圓與圓的半徑相等，故外公切線與直線平行，因?yàn)?，所以圓C與圓D的外公切線的方程可設(shè)為，即，則，解得或，所以兩條外公切線的方程為或，綜上所述，圓C與圓D公切線的方程為或或.故答案為：或或.

9．（22-23高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知圓的方程為，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為.【答案】或【分析】若直線斜率存在，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程求解,若直線斜率不存在，直接驗(yàn)證可得答案.【詳解】圓的方程為，即.因?yàn)?，所以點(diǎn)P在圓外，若直線斜率存在，設(shè)切線的斜率為，則切線方程為，即所以，解得.所以切線方程為，若直線斜率不存在，直線方程為，滿足題意.綜上過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為或故答案為：或三、解答題10．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）平面上有兩個(gè)圓，它們的方程分別是和，求這兩個(gè)圓的內(nèi)公切線方程．【答案】【分析】判斷出兩圓外切，兩圓的方程相減可得答案.【詳解】圓，圓心，半徑，圓，其圓心，半徑，，∴這兩圓外切，∴，可得，∴所求的兩圓內(nèi)公切線的方程為：．一、單選題1．（23-24高三上·廣西百色·階段練習(xí)）圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓與圓位置關(guān)系的判斷可知兩圓外離，得公切線條數(shù)；根據(jù)兩圓半徑相同可確定兩條公切線過(guò)，兩條公切線平行于，假設(shè)公切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得公切線.【詳解】由兩圓方程得：圓心，，半徑，兩圓圓心距，，即兩圓外離，公切線共有條；兩圓半徑相同，兩圓兩條公切線經(jīng)過(guò)中點(diǎn)，兩條公切線與平行，經(jīng)過(guò)中點(diǎn)的公切線斜率顯然存在，可設(shè)為：，，解得：或，即公切線方程為：或；，與平行的公切線方程為，即，，解得：，即公切線方程為或；綜上所述：兩圓的公切線方程為：或或或.故選：C.2．（23-24高二上·江西·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓：的切線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與，軸及軸圍成一個(gè)四邊形，且該四邊形的所有頂點(diǎn)都在圓上，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，圓的半徑為，設(shè)：，由直線與圓相切得，解得，：，令得，若，交于點(diǎn)，且，設(shè)原點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以四邊形?duì)角互補(bǔ)，點(diǎn)，，，都在圓上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，直線的方程為，到直線的距離為；若，設(shè)與軸交于點(diǎn)，四邊形是等腰梯形，對(duì)角互補(bǔ)，點(diǎn)，，，都在圓上，此時(shí)點(diǎn)既在線段的垂直平分線上，又在線段的垂直平分線上，所以，此時(shí)直線的方程為，到直線的距離為，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用圓的切線性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的性質(zhì).3．（23-24高二上·廣東·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若圓上存在點(diǎn)P，由點(diǎn)P向圓C引一條切線，切點(diǎn)為M，且滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可求出點(diǎn)P的軌跡方程，根據(jù)點(diǎn)P的軌跡與圓D有交點(diǎn)列出不等式求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖所示：由可知：，而，∴∴，整理得，即.∴點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，又∵點(diǎn)P在圓D上，∴所以點(diǎn)P為圓D與圓E的交點(diǎn)，即要想滿足題意，只要讓圓D和圓E有公共點(diǎn)即可，∴兩圓的位置關(guān)系為外切，相交或內(nèi)切，∴，解得.故選：D4．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知圓M：，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線切，，切點(diǎn)為A，B，則四邊形面積的最小值為（

）A．2 B． C．2 D．【答案】B【分析】把四邊形面積轉(zhuǎn)化為和的面積的和，而和均為直角三角形且面積相等，進(jìn)而面積的最小值轉(zhuǎn)化為求最小，由此求得答案.【詳解】圓M的方程可化為，所以x軸與圓M相離.又，且和均為直角三角形，，為圓的半徑，且，所以面積的最小值轉(zhuǎn)化為求最小，當(dāng)垂直于x軸時(shí)，四邊形面積取得最小值，此時(shí)，所以四邊形面積最小值為.故選：B.

5．（23-24高三上·浙江·開(kāi)學(xué)考試）過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最大時(shí)，直線的斜率為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由題意確定當(dāng)三點(diǎn)線時(shí)，最大，進(jìn)而得到即可得解.【詳解】，當(dāng)最大時(shí)，也即取最大，因?yàn)椋谥苯侨切沃?，?dāng)最短時(shí)，最大，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)線時(shí)最小，此時(shí)，，所以直線的斜率為.故選：.二、多選題6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，P是直線l:上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．圓C上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為 B．切線長(zhǎng)PA的最小值為1C．的最小值為 D．直線AB恒過(guò)定點(diǎn)【答案】BCD【分析】用點(diǎn)到直線的距離可判斷A，由圓的切線長(zhǎng)可判斷B，用面積法可判斷C，兩圓聯(lián)立得直線方程，可判斷D.【詳解】如圖，由圓C：，可知圓心，半徑．對(duì)于A，圓心到直線l：的距離為，則圓上任意一點(diǎn)到直線l的距離的取值范圍為．而，所以圓C上有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為．故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，由圓的性質(zhì)可得切線長(zhǎng)，所以當(dāng)最小時(shí)，最?。蔅正確．對(duì)于C，四邊形ACBP的面積，，而，故．故C正確．對(duì)于D，設(shè)，因?yàn)镻A，PB為過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線，所以點(diǎn)A，B在以PC為直徑的圓D上．圓D上任意一點(diǎn)滿足，則以PC為直徑的圓為，即，與圓C：聯(lián)立，兩式相減得直線AB的方程為．由得即直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．故D正確．故選：BCD.

7．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，點(diǎn)為直線：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．直線與圓相離B．圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C．過(guò)點(diǎn)向圓引一條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為D．過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線、，、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)【答案】ABD【分析】A、B應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑，判斷直線與圓的位置及點(diǎn)到直線的距離等于1的個(gè)數(shù)；C由圓切線性質(zhì)求最小切線長(zhǎng)；D設(shè)點(diǎn)Px0,y0，寫(xiě)出以為直徑的圓，結(jié)合已知圓求公共弦的方程為，進(jìn)而求定點(diǎn)即可判斷.【詳解】A：圓：的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離．正確；B：圓心到直線的距離，所以，則圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，正確；C：由切線的性質(zhì)知，為直角三角形，，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，錯(cuò)誤；D：設(shè)點(diǎn)Px0,y0，，，所以四點(diǎn)，，，共圓，以為直徑，圓心為，半徑，圓的方程為，又圓：，兩圓相減得，所以直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)Px0,y0所以，整理得，由，得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，正確．故選：ABD

三、填空題8．（23-24高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）寫(xiě)出與圓和圓都相切的一條直線的方程.【答案】或或（答案不唯一）【分析】根據(jù)兩圓方程可得兩圓相離，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，兩圓半徑相等，所以有過(guò)原點(diǎn)的兩條公切線和與平行的兩條公切線，利用點(diǎn)到直線距離即可求出結(jié)果.【詳解】由題設(shè)知，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，即兩圓外離，故共有4條公切線；又易知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且兩圓半徑相等，則有過(guò)原點(diǎn)的兩條公切線和與平行的兩條公切線.設(shè)過(guò)原點(diǎn)的公切線為，則，即，解得或，所以公切線為或；設(shè)與平行的公切線為，且M，N與公切線距離都為1，則，即，所以公切線為.故答案為：或或9．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P向圓作切線，切點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)P向圓作切線，切點(diǎn)為B，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為【答案】【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑，再利用切線的性質(zhì)結(jié)合已知求解即得.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)榉謩e切圓，圓于點(diǎn)，且，于是，則，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.故答案為：10．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知圓，過(guò)直線上一動(dòng)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為．【答案】【分析】首先利用圖形，解決向量的運(yùn)算，再利用PC的最小值，即可求解.【詳解】如圖，連結(jié)，，，和交于點(diǎn)，，因?yàn)?，所?設(shè)，易知其在0,+∞為增函數(shù)，則PC的最小值為圓心到直線的距離，所以的最小值為，那么的最小值為.故答案為：1．（2024·全國(guó)·高考真題）（多選）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來(lái)判斷；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長(zhǎng)；C選項(xiàng)，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化成的點(diǎn)的存在性問(wèn)題，此時(shí)考察的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和相切，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，此時(shí)切線長(zhǎng)，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故或，當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；于是不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時(shí)點(diǎn)的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成時(shí)點(diǎn)的存在性問(wèn)題，，中點(diǎn)，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，即存在兩個(gè)點(diǎn)，使得，D選項(xiàng)正確.方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個(gè)解，即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD2．（2023·全國(guó)·高考真題）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因?yàn)榍遥瑒t，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即