第07講 圓錐曲線中的離心率問題（高階拓展、競賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第07講圓錐曲線中的離心率問題（高階拓展、競賽適用）（7類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第12題,5分求雙曲線的離心率無2024年新I卷，第16題,15分求橢圓的離心率根據(jù)橢圓過的點求標準方程橢圓中三角形(四邊形)的面積根據(jù)韋達走理求參數(shù)2023年新I卷，第5題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍無2023年新I卷，第16題,5分利用定義解決雙曲線中集點三角形問題求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無2022年全國甲卷（文科），第11題,5分根據(jù)離心率求橢圓的標準方程根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程2022年全國甲卷（理科），第10題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍已知兩點求斜率2022年全國乙卷（理科），第11題,5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍用和、差角的正弦公式化簡、求值正弦定理解三角形2022年新I卷，第16題,5分根據(jù)離心率求楠圓的標準方程橢圓中焦點三角形的周長問題2021年全國乙卷（理科），第11題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)2021年全國甲卷（理科），第5題,5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5分【備考策略】1.理解離心率的定義及對曲線的影響2.能用定義法求離心率3.能用文中其他方法快速求解離心率4.能求解離心率的相關(guān)最值問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在大題中命題，需重點強化練習(xí)知識講解橢圓離心率求解的5種常用方法公式1:公式2:變形證明:公式3:已知棚圓方程為,兩焦點分別為,設(shè)焦點三角形,,則橢圓的離心率證明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以橢圓兩焦點及橢圓上任一點(除長軸兩端點外)為頂點,則證明:由正弦定理有.公式5:點是橢圓的焦點,過的弦與橢圓焦點所在軸的夾角為為直線的斜率,且.,則當曲線焦點在軸上時,注:或者而不是或雙曲線離心率求解的5種常用方法公式1:公式證明:公式3:已知雙曲線方程為兩焦點分別為,設(shè)焦點三角形,則證明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以雙曲線的兩個焦點及雙曲線上任意一點除實軸上兩個端點外)為頂點的,則離心率證明:由正弦定理,有即又公式5:點是雙曲線焦點,過弦與雙曲線焦點所在軸夾角為為直線斜率,,則,當曲線焦點在軸上時,注:或者而不是或考點一、橢圓、雙曲線中的定義法或公式法求離心率1．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．2．（2023·全國·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．3．（全國·高考真題）雙曲線C:的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為A．2sin40° B．2cos40° C． D．4．（2024·新Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點.(1)求C的離心率;5．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．(1)求橢圓的方程及離心率；1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知焦點在軸上的橢圓的短軸長為2，則其離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽·模擬預(yù)測）雙曲線的一條漸近線過點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知雙曲線的焦距與其虛軸長之比為3：2，則的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2024·四川樂山·三模）設(shè)雙曲線，橢圓的離心率分別為，若，則（

）A． B． C． D．5．（2024·山東·二模）如圖所示，已知雙曲線的焦點分別是是等邊三角形，若的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率等于．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，焦點為,，一個短軸頂點為，則（

）A．40° B．50° C．80° D．100°考點二、利用“公式3”求焦點三角形中橢圓、雙曲線的離心率已知是橢圓的兩個焦點,是上的一點,若,且,則的離心率為)A.B.C.D.2．（全國·高考真題）設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，∠=，則C的離心率為A． B． C． D．5．（全國·高考真題）設(shè)是等腰三角形，，則以，為焦點，且過點的雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．1．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，其右頂點為A，若橢圓上一點P，使得，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023·北京·校考模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個焦點，P為雙曲線C上一點，且，那么雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．4．（2024·山東菏澤·高三統(tǒng)考）設(shè)，是橢圓的兩個焦點.若在上存在一點，使，且，則的離心率為.考點三、利用“公式5”求橢圓、雙曲線離心率1．（全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若，則C的離心率為A． B． C． D．2．（全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點．若，則A．1 B． C． D．23．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．1．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為（

）.A． B． C． D．2．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F為橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交橢圓C于點D，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．考點四、斜率乘積求離心率1．（2024·四川達州·二模）雙曲線的左、右頂點分別為為上一點，若直線與直線斜率之積為2，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．32．（2024·陜西銅川·三模）已知原點為，橢圓與直線交于兩點，線段的中點為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．1．（2024·廣東茂名·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于另一點，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）橢圓的右頂點為，直線與橢圓交于A，B兩點，直線PA，PB的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．考點五、余弦定理求離心率1．（2021·全國·高考真題）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）設(shè)，是橢圓（）的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測）已知是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且斜率為的直線與橢圓的一個交點為，若，則橢圓的離心率為（

）A． B．或 C．或 D．或1．（2024·湖南長沙·二模）已知，分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓的上頂點，過作的垂線，并與橢圓交于點，且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江溫州·三模）已知是橢圓的左右焦點，上兩點滿足：，，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．3．（2024·江西鷹潭·三模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為，傾斜角為且過原點的直線交橢圓于兩點.若，設(shè)橢圓的離心率為A． B．C． D．4．（2024·浙江·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線l與橢圓相交于A、B兩點，與y軸相交于點C．連接，．若O為坐標原點，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．考點六、構(gòu)造齊次方程求離心率1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓的左?右焦點分別為，以為圓心的圓交軸正半軸于點，交軸于兩點，線段與交于點.若的面積為（為橢圓的半焦距），則的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左右焦點為，右頂點為，已知點在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．1．（2024·海南·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，已知橢圓：，點，，若以為直徑的圓過橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023·山東·煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線過點且與橢圓的長軸垂直，直線過橢圓的上頂點與右頂點且與交于點，若（為坐標原點），且，則橢圓的離心率為（

）．A． B． C． D．4．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，（如圖），過的直線交于，兩點，且軸，，則的離心率為（

）

A． B． C． D．考點七、離心率的范圍及最值問題1．（2021·全國·高考真題）設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（北京·高考真題）橢圓的焦點為，兩條準線與x軸的交點分別為M，N．若，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（湖南·高考真題）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，若在其右準線上存在P，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且，其離心率分別為，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．6 D．125．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知是橢圓上的動點，若動點到定點的距離的最小值為1，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知是橢圓的左、右焦點，若上存在不同的兩點，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）點是橢圓上的點，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點，圓與軸相交于兩點，若是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，點為兩曲線的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，那么最小為（

）A． B． C． D．4．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線l的焦距為2c，右頂點為A，過A作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點，若則E的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．[3，2]1．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的離心率是橢圓的離心率的倍，則的長軸長為（

）A．1 B． C．2 D．2．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）若動直線始終與橢圓（且）有公共點，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇南京·二模）設(shè)分別為橢圓的左，右焦點，為橢圓上一點，直線與以為圓心、為半徑的圓切于點為坐標原點，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是雙曲線的左、右頂點，點在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）雙曲線的一條漸近線為，則其離心率為（

）．A． B． C． D．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）橢圓的左頂點為，點均在上，且點關(guān)于點軸對稱，若直線均存在斜率，且斜率之積為，記的離心率為，則（

）.A． B． C． D．二、多選題8．（2024·甘肅酒泉·三模）已知橢圓上存在點，使得，其中分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率可能為（

）A． B． C． D．9．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）已知，則雙曲線與有相同的（

）A．焦點 B．焦距 C．離心率 D．漸近線三、填空題10．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則C的離心率為.一、單選題1．（2024·黑龍江大慶·三模）已知橢圓的左?右焦點分別為，若經(jīng)過的弦滿足，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．2．（2024·江蘇蘇州·三模）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點，此時，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．33．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上第一象限內(nèi)的一點，且與軸相交于點，離心率，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·山東菏澤·二模）已知分別為橢圓和雙曲線的離心率，雙曲線漸近線的斜率不超過，則的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知雙曲線:的左焦點為，過的直線交圓于，兩點，交的右支于點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．6．（2024·天津·二模）設(shè)雙曲線：的左、右焦點分別為，，過坐標原點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．27．（2024·湖南·三模）已知是橢圓的左、右焦點，O是坐標原點，過作直線與C交于A，B兩點，若，且的面積為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題8．（2024·陜西西安·三模）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線的左支于A，B兩點，，，則雙曲線的離心率為．9．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知P、Q為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，點P在第一象限，、是橢圓C的左、右焦點，，若，則橢圓C的離心率的取值范圍為.10．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左頂點是，右焦點是，點是雙曲線右支上異于頂點的動點，的平分線與直線交于點，過作軸，垂足是，若恒成立，則雙曲線的離心率為．1．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為．2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．3．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點為F，右頂點A和上頂點為B滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共