第07講 圓錐曲線中的離心率問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第07講圓錐曲線中的離心率問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（7類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第12題,5分求雙曲線的離心率無2024年新I卷，第16題,15分求橢圓的離心率根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中三角形(四邊形)的面積根據(jù)韋達(dá)走理求參數(shù)2023年新I卷，第5題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍無2023年新I卷，第16題,5分利用定義解決雙曲線中集點(diǎn)三角形問題求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無2022年全國(guó)甲卷（文科），第11題,5分根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程2022年全國(guó)甲卷（理科），第10題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍已知兩點(diǎn)求斜率2022年全國(guó)乙卷（理科），第11題,5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值正弦定理解三角形2022年新I卷，第16題,5分根據(jù)離心率求楠圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)問題2021年全國(guó)乙卷（理科），第11題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)2021年全國(guó)甲卷（理科），第5題,5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5分【備考策略】1.理解離心率的定義及對(duì)曲線的影響2.能用定義法求離心率3.能用文中其他方法快速求解離心率4.能求解離心率的相關(guān)最值問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時(shí)也會(huì)在大題中命題，需重點(diǎn)強(qiáng)化練習(xí)知識(shí)講解橢圓離心率求解的5種常用方法公式1:公式2:變形證明:公式3:已知棚圓方程為,兩焦點(diǎn)分別為,設(shè)焦點(diǎn)三角形,,則橢圓的離心率證明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以橢圓兩焦點(diǎn)及橢圓上任一點(diǎn)(除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)外)為頂點(diǎn),則證明:由正弦定理有.公式5:點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),過的弦與橢圓焦點(diǎn)所在軸的夾角為為直線的斜率,且.,則當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí),注:或者而不是或雙曲線離心率求解的5種常用方法公式1:公式證明:公式3:已知雙曲線方程為兩焦點(diǎn)分別為,設(shè)焦點(diǎn)三角形,則證明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)及雙曲線上任意一點(diǎn)除實(shí)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外)為頂點(diǎn)的,則離心率證明:由正弦定理,有即又公式5:點(diǎn)是雙曲線焦點(diǎn),過弦與雙曲線焦點(diǎn)所在軸夾角為為直線斜率,,則,當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí),注:或者而不是或考點(diǎn)一、橢圓、雙曲線中的定義法或公式法求離心率1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．2．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．3．（全國(guó)·高考真題）雙曲線C:的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為A．2sin40° B．2cos40° C． D．4．（2024·新Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;5．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程及離心率；1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的短軸長(zhǎng)為2，則其離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦距與其虛軸長(zhǎng)之比為3：2，則的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2024·四川樂山·三模）設(shè)雙曲線，橢圓的離心率分別為，若，則（

）A． B． C． D．5．（2024·山東·二模）如圖所示，已知雙曲線的焦點(diǎn)分別是是等邊三角形，若的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率等于．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)為,，一個(gè)短軸頂點(diǎn)為，則（

）A．40° B．50° C．80° D．100°考點(diǎn)二、利用“公式3”求焦點(diǎn)三角形中橢圓、雙曲線的離心率已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),是上的一點(diǎn),若,且,則的離心率為)A.B.C.D.2．（全國(guó)·高考真題）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的點(diǎn)，⊥，∠=，則C的離心率為A． B． C． D．5．（全國(guó)·高考真題）設(shè)是等腰三角形，，則以，為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．1．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，其右頂點(diǎn)為A，若橢圓上一點(diǎn)P，使得，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023·北京·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線C上一點(diǎn)，且，那么雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．4．（2024·山東菏澤·高三統(tǒng)考）設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).若在上存在一點(diǎn)，使，且，則的離心率為.考點(diǎn)三、利用“公式5”求橢圓、雙曲線離心率1．（全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F且斜率為的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為A． B． C． D．2．（全國(guó)·高考真題）已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)．若，則A．1 B． C． D．23．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為．1．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（

）.A． B． C． D．2．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交橢圓C于點(diǎn)D，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四、斜率乘積求離心率1．（2024·四川達(dá)州·二模）雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，若直線與直線斜率之積為2，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．32．（2024·陜西銅川·三模）已知原點(diǎn)為，橢圓與直線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．1．（2024·廣東茂名·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的右頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五、余弦定理求離心率1．（2021·全國(guó)·高考真題）已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為（

）A． B．或 C．或 D．或1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，過作的垂線，并與橢圓交于點(diǎn)，且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江溫州·三模）已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足：，，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．3．（2024·江西鷹潭·三模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為，傾斜角為且過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若，設(shè)橢圓的離心率為A． B．C． D．4．（2024·浙江·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．連接，．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六、構(gòu)造齊次方程求離心率1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，以為圓心的圓交軸正半軸于點(diǎn)，交軸于兩點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若的面積為（為橢圓的半焦距），則的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：，點(diǎn)，，若以為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023·山東·煙臺(tái)二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過點(diǎn)且與橢圓的長(zhǎng)軸垂直，直線過橢圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)且與交于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則橢圓的離心率為（

）．A． B． C． D．4．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，（如圖），過的直線交于，兩點(diǎn)，且軸，，則的離心率為（

）

A． B． C． D．考點(diǎn)七、離心率的范圍及最值問題1．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（北京·高考真題）橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為M，N．若，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（湖南·高考真題）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在P，使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，其離心率分別為，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．6 D．125．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最小值為1，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若上存在不同的兩點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸相交于兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，那么最小為（

）A． B． C． D．4．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線l的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，過A作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，若則E的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．[3，2]1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的離心率是橢圓的離心率的倍，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．2．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）若動(dòng)直線始終與橢圓（且）有公共點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇南京·二模）設(shè)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線與以為圓心、為半徑的圓切于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的一條漸近線為，則其離心率為（

）．A． B． C． D．7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)均在上，且點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)軸對(duì)稱，若直線均存在斜率，且斜率之積為，記的離心率為，則（

）.A． B． C． D．二、多選題8．（2024·甘肅酒泉·三模）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率可能為（

）A． B． C． D．9．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則雙曲線與有相同的（

）A．焦點(diǎn) B．焦距 C．離心率 D．漸近線三、填空題10．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則C的離心率為.一、單選題1．（2024·黑龍江大慶·三模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，若經(jīng)過的弦滿足，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．2．（2024·江蘇蘇州·三模）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點(diǎn)，此時(shí)，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．33．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)，離心率，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·山東菏澤·二模）已知分別為橢圓和雙曲線的離心率，雙曲線漸近線的斜率不超過，則的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線:的左焦點(diǎn)為，過的直線交圓于，兩點(diǎn)，交的右支于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．6．（2024·天津·二模）設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．27．（2024·湖南·三模）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過作直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若，且的面積為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題8．（2024·陜西西安·三模）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線的左支于A，B兩點(diǎn)，，，則雙曲線的離心率為．9．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知P、Q為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，、是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，，若，則橢圓C的離心率的取值范圍為.10．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左頂點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的平分線與直線交于點(diǎn)，過作軸，垂足是，若恒成立，則雙曲線的離心率為．1．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為．2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．3．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)為B滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共