第18講 圓錐曲線中的極點極線問題（高階拓展、競賽適用）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page圓錐曲線中的極點極線問題（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線極點極線的定義2.理解、掌握圓錐曲線的極點極線問題及其相關(guān)計算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運算，需強化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識講解極點極線的定義如圖,設(shè)P是不在圓雉曲線上的一點,過P點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點P對應(yīng)的極線.若P為圓雉曲線上的點,則過P點的切線即為極線.

同理,PM為點N對應(yīng)的極線,PN為點M所對應(yīng)的極線.因而將△MNP稱為自極三點形.設(shè)直線MN其他定義對于圓錐曲線C:Axl:Ax0x+B?x0y+y0x2+C替換原則x0x極點極線的幾何意義(以橢圓為例)

已知橢圓方程:x2a2+y2b2=1,設(shè)點Px(2)當點P在橢圓外時,極線l與橢圓相交,且為由P點向橢圓所引切線的切點弦所在直線。(3)當點P在橢圓內(nèi)時,極線l與橢圓相離,極線l為經(jīng)過點P的弦在兩端點處的切線交點的軌跡,且極線l與以點P為中點的弦所在的直線平行。特別地:

(1)對于橢圓x2a2+y2b2=1,與點Px0,y0對應(yīng)的極線方程為x0考點一、極點極線初步學(xué)習(xí)1．（2024·全國·一模）如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點與雙曲線的焦點重合.點，斜率為的直線與橢圓交于兩點.

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進行解答)極點與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點Px0,y0（不是原點）對應(yīng)的極線為，且若極點在軸上，則過點作橢圓的割線交于點，則對于上任意一點，均有（當斜率均存在時）.已知點是直線上的一點，且點的橫坐標為2.連接交軸于點.連接分別交橢圓于兩點.①設(shè)直線、分別交軸于點、點，證明：點為、的中點；②證明直線：恒過定點，并求出定點的坐標.【答案】(1)，(2)①證明過程見解析②證明過程見解析，定點坐標為【分析】（1）由橢圓焦點在軸上面，列出不等式組即可得的范圍，由的關(guān)系以及短軸長列出方程組即可得，由此即可得橢圓方程.（2）為了說明結(jié)論的驗證性，首先證明一下題述引理（用解析幾何方法），即聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由韋達定理以及斜率公式證明即可，從而對于①由結(jié)論法說明Q是和的交點，且，結(jié)合由此即可進一步得證；對于②由結(jié)論法可表示出的方程，由此整理即可得解.【詳解】（1）由題意焦點在軸上，所以，解得，即的范圍為，且，解得，所以橢圓方程為.（2）我們首先給出題目給出的引理的證明：設(shè)，則Q在P的極線上，現(xiàn)在如果經(jīng)過P的直線交橢圓于：那么，代入橢圓就得到，所以，由韋達定理有，此時要證明的是：，也就是，也就是，也就是，

也就是，也就是，

也就是，也就是，也就是，也就是，也就是，這顯然成立，所以結(jié)論得證.接下來我們回到原題，

①首先由于Q在P的極線上，故由引理有，，而，所以，這表明Q是和的交點，又由于，故，設(shè)，而，，，所以，也就是E是的中點；②設(shè)，那么，所以，這表明的方程是，即，所以恒過點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問的關(guān)鍵是用解析幾何證明題述引理的正確性，由此即可利用結(jié)論法進一步求解.2．（22-23高二上·貴州貴陽·期末）閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內(nèi)時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應(yīng)的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)，(2)存在，【分析】(1)根據(jù)題意和離心率求出a、b，即可求解；(2)利用代數(shù)法證明點Q在橢圓C外，則點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.根據(jù)題意中的概念求出點Q對應(yīng)的極線MN方程，可得該直線恒過定點T（2,1），利用點差法求出直線的斜率，即可求解.【詳解】（1）因為橢圓過點P(4,0)，則，得，又，所以，所以，所以橢圓C的方程為.根據(jù)閱讀材料，與點P對應(yīng)的極線方程為，即；（2）由題意，設(shè)點Q的坐標為(,)，因為點Q在直線上運動，所以，聯(lián)立，得，，該方程無實數(shù)根，所以直線與橢圓C相離，即點Q在橢圓C外，又QM，QN都與橢圓C相切，所以點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.對于橢圓，與點Q(,)對應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，又因為定點T的坐標與的取值無關(guān)，所以，解得，所以存在定點T(2,1)恒在直線MN上.當時，T是線段MN的中點，設(shè)，直線MN的斜率為，則，兩式相減，整理得，即，所以當時，直線MN的方程為，即.1．（23-24高二下·廣東深圳·期中）閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線：，則稱點和直線：是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理：①當在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；②當在外時，其極線是從點向曲線所引兩條切線的切點所在的直線（即切點弦所在直線）；③當在內(nèi)時，其極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓：.(1)點是直線：上的一個動點，過點向橢圓引兩條切線，切點分別為，，是否存在定點恒在直線上，若存在，當時，求直線的方程；若不存在，請說明理由.(2)點在圓上，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求面積的最大值.【答案】(1)存在，(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，求得點對應(yīng)的極線方程，進而求出定點，再利用點差法求解即得.（2）求出極線方程，并與橢圓方程聯(lián)立求出弦長及點到直線的距離，進而求得三角形面積的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.【詳解】（1）設(shè)點，由點在直線上運動，得，由消去并整理得，顯然，即此方程組無實數(shù)解，于是直線與橢圓相離，即點在橢圓外，又，都與橢圓相切，因此點和直線是橢圓的一對極點和極線，對于橢圓，與點對應(yīng)的極線方程為，將代入，整理得，顯然定點的坐標與的取值無關(guān)，即有，解得，所以存在定點恒在直線上，當時，是線段的中點有在橢圓內(nèi)，設(shè)，直線的斜率為，則，兩式相減并整理得，即，所以當時，直線的方程為，即.（2）由（1）知直線的方程為，由題意知，由消去并整理得：，而，則，設(shè)，，則，，所以，

點到直線的距離為：，因此面積，當時，令，求導(dǎo)得，即在單調(diào)遞增，則的最大值為，由對稱性可知當時，的最大值也為，所以面積的最大值為.【點睛】思路點睛：涉及直線被圓錐曲線所截弦中點及直線斜率問題，可以利用“點差法”，設(shè)出弦的兩個端點坐標，代入曲線方程作差求解.2．（2024·湖南長沙·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為為上頂點，離心率為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標準方程;(2)橢圓方程，平面上有一點.定義直線方程是橢圓在點處的極線.①若在橢圓上，證明:橢圓在點處的極線就是過點的切線;②若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，割線交橢圓于兩點，過點分別作橢圓的兩條切線，且相交于點.證明:三點共線.【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）由題意得，，再結(jié)合，從而可求出，進而可求出橢圓的標準方程；（2）①由定義可知橢圓在點處的極線方程為，然后分和兩種情況證明；②設(shè)點，然后由①可得過點的切線方程和過點的切線方程，則可求出割線的方程，同時可求出切點弦的方程，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1）由已知，，則所以直線，即，該直線與圓與相切，則，所以解得，，故橢圓的標準方程為（2）①由(1)得橢圓的方程是.因為在橢圓上，所以，即，由定義可知橢圓在點處的極線方程為，當時，，此時極線方程為，所以處的極線就是過點的切線，當時，極線方程為，即，由，得，所以，所以處的極線就是過點的切線，綜上所述，橢圓在點處的極線就是過點的切線;②設(shè)點，由①可知，過點的切線方程為，過點的切線方程為，因為都過點，所以有，則割線的方程為，同理可得過點的兩條切線的切點弦的方程為，即，又因為割線過點，代入割線方程得，即，所以三點共線，都在直線上．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的切線，考查橢圓中點共線問題，解題的關(guān)鍵是合理利用過橢圓上一點的切線方程的定義，考查計算能力，屬于較難題.考點二、極點極線在圓錐曲線中的應(yīng)用1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點.②若過點的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點【點睛】求定點、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.2．（北京·高考真題）已知橢圓：的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點的坐標（用，表示）；（Ⅱ）設(shè)為原點，點與點關(guān)于軸對稱，直線交軸于點．問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）存在點．【詳解】（Ⅰ）由于橢圓：過點且離心率為，，，橢圓的方程為.,直線的方程為：，令，；（Ⅱ），直線的方程為：，直線PB與x軸交于點N，令，則.設(shè),,,則，所以，（注：點在橢圓上，），則，存在點使得.考點：1.求橢圓方程；2.求直線方程及與坐標軸的交點；3.存在性問題.3．（全國·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為.（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標原點，證明：.【答案】（1）的方程為或；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)與軸垂直，且過點，求得直線的方程為，代入橢圓方程求得點的坐標為或，利用兩點式求得直線的方程；（2）方法一：分直線與軸重合、與軸垂直、與軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關(guān)系來體現(xiàn)，從而證得結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，的方程為.由已知可得，點的坐標為或.所以的方程為或.（2）［方法一］：【通性通法】分類＋常規(guī)聯(lián)立當與軸重合時，.當與軸垂直時，為的垂直平分線，所以.當與軸不重合也不垂直時，設(shè)的方程為，，則，直線、的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.則.從而，故、的傾斜角互補，所以.綜上，.［方法二］：角平分線定義的應(yīng)用當直線l與x軸重合或垂直時，顯然有．當直線l與x軸不垂直也不重合時，設(shè)直線l的方程為，交橢圓于，．由得．由韋達定理得．點A關(guān)于x軸的對稱點，則直線的方程為．令，，則直線過點M，．［方法三］：直線參數(shù)方程的應(yīng)用設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．（*）將（*）式代入橢圓方程中，整理得．則，．又，則，即．所以．［方法四］：【最優(yōu)解】橢圓第二定義的應(yīng)用當直線l與x軸重合時，．當直線l與x軸不重合時，如圖，過點A，B分別作準線的垂線，垂足分別為C，D，則有軸．

由橢圓的第二定義，有，，得，即．由軸，有，即，于是，且．可得，即有．［方法五］：角平分線定理逆定理＋極坐標方程的應(yīng)用橢圓以右焦點為極點，x軸正方向為極軸，得.設(shè)．．所以，．由角平分線定理的逆定理可知，命題得證．［方法六］：角平分線定理的逆定理的應(yīng)用設(shè)點O（也可選點F）到直線的距離分別為，根據(jù)角平分線定理的逆定理，要證，只需證．當直線l的斜率為0時，易得．當直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為：．由方程組得恒成立，．．直線的方程為：．因為點A在直線l上，所以，故．同理，．．因為，所以，即．綜上，．［方法七］：【通性通法】分類＋常規(guī)聯(lián)立當直線l與x軸重合或垂直時，顯然有．當直線l與x軸不垂直也不重合時，設(shè)直線l的方程為，交橢圓于，．由得．由韋達定理得．所以，故、的傾斜角互補，所以.［方法八］：定比點差法設(shè)，，所以，由作差可得，，所以，，又，所以，，故，、的傾斜角互補，所以.當時，與軸垂直，為的垂直平分線，所以.故．【整體點評】（2）方法一：通過分類以及常規(guī)聯(lián)立，把角相等轉(zhuǎn)化為斜率和為零，再通過韋達定理即可實現(xiàn)，是解決該類問題的通性通法；方法二：根據(jù)角平分線的定義可知，利用點關(guān)于軸的對稱點在直線上，證直線過點即可；方法三：利用直線的參數(shù)方程證明斜率互為相反數(shù)；方法四：根據(jù)點M是橢圓的右準線與x軸的交點，用橢圓的第二定義結(jié)合平面幾何知識證明，運算量極小，是該題的最優(yōu)解；方法五：利用橢圓的極坐標方程以及角平分線定理的逆定理的應(yīng)用，也是不錯的方法選擇；方法六：類比方法五，角平分線定理的逆定理的應(yīng)用；方法七：常規(guī)聯(lián)立，同方法一，只是設(shè)直線的方程形式不一樣；方法八：定比點差法的應(yīng)用．4．（全國·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.（2）方法一：設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點的坐標為，同理可得點的坐標為，當時，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點，當時，直線：，直線過點，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：

由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設(shè)而求點法證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點的坐標為.同理可得：點的坐標為當時，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點．當時，直線：，直線過點．故直線CD過定點．[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結(jié)合設(shè)，則直線的方程為，即．同理，可求直線的方程為．則經(jīng)過直線和直線的方程可寫為．可化為．④易知A，B，C，D四個點滿足上述方程，同時A，B，C，D又在橢圓上，則有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直線，則表示直線．令，得，即直線恒過點．【整體點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.第二問的方法一最直接，但對運算能力要求嚴格；方法二曲線系的應(yīng)用更多的體現(xiàn)了幾何與代數(shù)結(jié)合的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計算更為簡單.1．（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A、B，左、右焦點分別為．過右焦點的直線l交橢圓于點M、N，且的周長為16．(1)求橢圓C的標準方程；(2)記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件結(jié)合橢圓定義、離心率公式，確定a,b,c的值，得出橢圓的標準方程.（2）設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理得到，，再把用，表示出來，化簡即可得解.【詳解】（1）由的周長為16，及橢圓的定義，可知：，即，又離心率為所以．所以橢圓C的方程為：．（2）依題意，直線l與x軸不重合，設(shè)l的方程為：．聯(lián)立得：，因為在橢圓內(nèi)，所以，即，易知該不等式恒成立，設(shè)，由韋達定理得．又，則注意到，即：.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.2．（2023·遼寧·二模）已知橢圓的離心率為，直線，左焦點F到直線l的距離為．(1)求橢圓的標準方程；(2)直線與橢圓相交于A，B兩點．C，D是橢圓T上異于A，B的任意兩點，且直線AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N．設(shè)直線AC，BC的斜率為，．①求的值；②求直線MN的斜率．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由距離公式求出，再由離心率求出，即可求出，從而得解；（2）首先求出，兩點坐標，①設(shè)，利用斜率公式計算可得；②設(shè)，的斜率分別為，，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，即可求出點坐標，同理求出點坐標，再由斜率公式計算即可得解.【詳解】（1）因為，所以，又左焦點到直線的距離為，有，解得或（舍去），所以，，橢圓方程為．（2）由（1）知，橢圓的方程為，由，解得或，所以，．①，斜率都存在，即，存在．設(shè)，顯然，且，從而．②設(shè)，的斜率分別為，，設(shè)直線的方程為，直線的方程為．由，解得，從而點的坐標為，因為，，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)直線的方程為，即，用代，代得點的坐標為，即點的坐標為，所以．3．（2023·湖北·三模）已知分別為橢圓的左、右焦點，點是橢圓C上一點．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓C上且處于第一象限的動點，直線與橢圓C分別相交于兩點，直線，相交于點N，試求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求出，然后根據(jù)的關(guān)系即可求解；（2）設(shè)，得到，將的方程與曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到，，代入進而利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由，得，∴橢圓C的方程是；（2）設(shè)，根據(jù)題意設(shè)的方程為：，由題意知，，

將，代入中，整理得，，又，．，，同理可得，，

（當且僅當時取等號）的最大值是．4．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知橢圓過和兩點.

(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點P和Q.（i）證明：點B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）6【分析】（1）將兩點代入橢圓中，解方程組即可求得橢圓C的方程；（2）（i）分別將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出兩點坐標，由數(shù)量積可得為鈍角，得出證明；（ii）由（i）可寫出四邊形的面積為，再利用基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性即可得出面積的最大值為6.【詳解】（1）依題意將和兩點代入橢圓可得，解得；所以橢圓方程為（2）（i）易知，由橢圓對稱性可知，不妨設(shè)，；根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且；所以直線的方程為，的方程為；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達定理可得，解得，則；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達定理可得，解得，則；則，；所以；即可知為鈍角，所以點B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）易知四邊形的面積為，設(shè)，則，當且僅當時等號成立；由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，可得，由對稱性可知，即當點的坐標為或時，四邊形的面積最大，最大值為6.【點睛】關(guān)鍵點點睛：證明點和圓的位置關(guān)系時，可利用向量數(shù)量積的正負判斷與直徑所對圓周角的大小即可得出結(jié)論；在求解四邊形面積的最值時，首先可用一個變量表示出面積的表達式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求出最值即可.5．（24-25高三上·上海嘉定·階段練習(xí)）如圖，橢圓：的左右焦點分別為、，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓上的一點，、的延長線分別交橢圓于點，

(1)若軸，求的面積；(2)若，求點的坐標；(3)求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由橢圓方程求出，從而可得坐標，將其橫坐標代入橢圓方程中可求出的值，進而可求出的面積;（2）設(shè)點的坐標為，則直線的方程為，代入橢圓方程中求出得，因為，可得，計算即可得出坐標；（3）由（2）同理可求得，從而可得化簡后結(jié)合基本不等式可得答案【詳解】（1）設(shè)橢圓的半長軸長為，短半軸長為，半焦距為，由橢圓，得，則，所以，當時，，得，所以所以的面積為;（2）設(shè)點的坐標為（），則直線的方程為，將其代入橢圓方程中可得，整理得，所以，得，所以，因為，所以，可得，化簡得，解得，代入得出所以點的坐標為（3）由（2）得同理可求得，所以當且僅當，即時取等號，所以的最大值為【點睛】關(guān)鍵點點睛：的最大值得關(guān)鍵是結(jié)合韋達定理得出,再轉(zhuǎn)換未知量,最后應(yīng)用基本不等式求解即可.1．（23-24高二上·山東日照·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求C的標準方程；(2)M，N為C上且在x軸上方的兩點，，與的交點為P，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)定值為．【分析】（1）根據(jù)面積求出，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)，根據(jù)相似三角形表示出，利用直線與橢圓方程化簡可得的和積，代入化簡即可得解.【詳解】（1）橢圓的左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，因為四邊形是面積為8的正方形，所以有且，解得，故，所以橢圓的標準方程為；（2）由已知，則，設(shè)，因為，所以．又因為，所以，所以．即．設(shè)，的方程分別為：，，設(shè)，，則，所以，因此，同理可得：，因此，，所以．所以為定值，定值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于運算，大量的運算保證了消參的進行，為求證定值的必要條件，運算能力的培養(yǎng)是解決問題的關(guān)鍵.2．（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，橢圓的上頂點和右頂點分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個動點，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)求四邊形面積的最大值；(3)試判斷直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)4(3)是，定值為【分析】（1）由題意求出b的值，根據(jù)離心率可求出，即得答案；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓方程可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合弦長公式求出的表達式，即可求得四邊形面積的表達式，利用三角代換，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得面積的最大值；（3）求出直線與的斜率之積的表達式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡，即可得結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以，又離心率為，所以，即，，所以橢圓的標準方程為（2）因為，所以，所以，設(shè)直線的方程為，，，由，得，由得，則，，故，直線方程為，，所以，直線與之間的距離為，故四邊形的面積為，令，則，令，則，，所以，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，即時，四邊形面積的最大值為4；（3）由第（2）問得，，，故直線與的斜率之積為定值，且定值為.3．（2024·云南·模擬預(yù)測）拋物線的圖象經(jīng)過點，焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于點，，如圖．

(1)求拋物線的標準方程；(2)當時，求弦AB的長；(3)已知點，直線，分別與拋物線交于點，．證明：直線過定點．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由曲線圖象經(jīng)過點，可得，則得拋物線的標準方程；（2）寫出的方程,和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，則；（3）設(shè)直線的方程為，，，，，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，．直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，同理可得，由，可得，則直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令，可得，則的直線過定點．【詳解】（1）曲線圖象經(jīng)過點，所以，所以，所以拋物線的標準方程為．（2）由（1）知，當時，,所以的方程為，聯(lián)立，得，則，由，所以弦．（3）由（1）知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立得，，因此，．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，因此，，得，同理可得，所以．因此直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令得，，所以，直線過定點．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；(3)求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.4．（23-24高二下·四川成都·期末）已知橢圓的左、右焦點別為，，離心率為，過點的動直線l交E于A，B兩點，點A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長為，直線與E交于另一點C，直線與E交于另一點D，點P為橢圓E的下頂點，如圖．(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用橢圓的定義和離心率，求解橢圓方程；（2）設(shè)點Ax1,y1，Bx2,y2，，，【詳解】（1）由橢圓定義可知，BF1所以的周長為，所以，又因為橢圓離心率為，所以，所以，又，所以橢圓的方程：．（2）設(shè)點Ax1,y1，B則直線的方程為，則，由得，，所以，因為，所以，所以，故，又，同理，，，由A，，B三點共線，得，所以，直線CD的方程為，由對稱性可知，如果直線CD過定點，則該定點在x軸上，令得，，故直線CD過定點．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.5．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學(xué)考試）已知橢圓，右焦點為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點分別為為上任意一點，且不在軸上，與橢圓的另一個交點為與橢圓C的另一個交點為.

(1)直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；(2)求證：直線過定點.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率列式求，即可得橢圓方程，結(jié)合斜率公式分析證明；（2）解法一：設(shè)，聯(lián)立方程可得韋達定理，根據(jù)斜率關(guān)系列式求得，即可得結(jié)果；解法二：設(shè)，聯(lián)立方程求坐標，進而根據(jù)直線方程分析定點.【詳解】（1）由題意，可得，所以橢圓，且設(shè)，則，即，可得，所以為定值.（2）解法一：設(shè)，則，可得，設(shè)直線，，聯(lián)立方程，消去x可得，則，解得，且，則，整理可得，則，因為，則，解得，所以直線過定點解法二：設(shè)，則，直線，可知與橢圓必相交，聯(lián)立方程，消去y可得，則，解得，同理，直線的斜率存在時，，則，令，；當?shù)男甭什淮嬖跁r，則，解得；綜上所述：直線過定點【點睛】方法點睛：1．過定點問題的兩大類型及解法（1）動直線l過定點問題．解法：設(shè)動直線方程（斜率存在）為由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動直線過定點；（2）動曲線C過定點問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．2．求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．6．（22-23高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知橢圓的右頂點為，離心率為，P是直線上任一點，過點且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線PA，PM，PB的斜率分別為，，，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)右頂點和離心率求出和，進而求出，即可得到橢圓的方程.（2）假設(shè)存在，然后對直線斜率是否存在進行分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，代入，即可求出的值.【詳解】（1）由題意在橢圓中，右頂點為，離心率為，∴，∴∴∴橢圓的方程為：（2）由題意及（1）得在橢圓中，設(shè)存在常數(shù)，使得當直線斜率不存在時，其方程為：，代入橢圓方程得，，此時,可得當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，將直線方程代入橢圓方程得：∴，∵P是直線上任一點，過點且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點∴直線的方程為：∴由幾何知識得：，，∵∴將，，，代入方程，并化簡得：解得：綜上，存在常數(shù)，使得7．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知圓心為H的圓和定點，B是圓上任意一點，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點M，當點B在圓上運動時，點M的軌跡記為曲線C．(1)求C的方程．(2)如圖所示，過點A作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F(xiàn)，求的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）由l是線段AB的中垂線得，根據(jù)橢圓定義可得答案；（2）由直線EF與直線PQ垂直可得，①當直線PQ的斜率不存在時，直線EF的斜率為零，可取，，，，可得；②當直線PQ的斜率為零時，直線EF的斜率不存在，同理可得；③當直線PQ的斜率存在且不為零時，直線EF的斜率也存在，于是可設(shè)直線PQ的方程為，設(shè)直線EF的方程為，將直線PQ的方程代入曲線C的方程，令，利用韋達定理代入，根據(jù)的范圍可得答案．【詳解】（1）由，得，所以圓心為，半徑為4，連接MA，由l是線段AB的中垂線，得，所以，又，根據(jù)橢圓的定義可知，點M的軌跡是以A，H為焦點，4為長軸長的橢圓，所以，，，所求曲線C的方程為；（2）由直線EF與直線PQ垂直，可得，于是，①當直線PQ的斜率不存在時，直線EF的斜率為零，此時可不妨取，，，，所以，②當直線PQ的斜率為零時，直線EF的斜率不存在，同理可得，③當直線PQ的斜率存在且不為零時，直線EF的斜率也存在，于是可設(shè)直線PQ的方程為，，，，，則直線EF的方程為，將直線PQ的方程代入曲線C的方程，并整理得，，所以，，于是，將上面的k換成，可得，所以，令，則，于是上式化簡整理可得，，由，得，所以，綜合①②③可知，的取值范圍為．8．（23-24高二上·湖北·期中）已知橢圓C的方程為，其離心率為，，為橢圓的左右焦點，過作一條不平行于坐標軸的直線交橢圓于A，B兩點，的周長為．

(1)求橢圓C的方程；(2)過B作x軸的垂線交橢圓于點D．①試討論直線AD是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．②求面積的最大值．【答案】(1)；(2)①恒過定點；②.【分析】（1）根據(jù)已知焦點三角形周長，由橢圓定義及其離心率求橢圓參數(shù)即可得方程；（2）①設(shè)直線AD為且，，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達定理并結(jié)合A，B，共線有，整理化簡求參數(shù)m，即可確定定點；②由直線AD所過定點，結(jié)合并將韋達公式代入化簡，應(yīng)用基本不等式求面積最大值，注意取值條件.【詳解】（1）由題的周長，可得，又，則，，故橢圓的方程為．（2）①由題，設(shè)直線AD為且，，，，聯(lián)立方程可得：，化簡可得：，所以，，因為A，B，共線，則有，化簡可得，即，化簡可得恒成立．∴，即直線AD的方程為恒過定點．②設(shè)直線AD恒過定點記為，由上，可得，所以，·，令，則，當且僅當，即時，取等號．∴面積的最大值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，設(shè)直線AD為且，利用橢圓方程，應(yīng)用韋達定理及已知條件求出參數(shù)m為關(guān)鍵.9．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知橢圓的右焦點，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設(shè)的中點分別為．(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線必過定點，并求出此定點坐標；(3)若弦的斜率均存在，求面積的最大值．【答案】(1)(2)證明見解析；；(3)【分析】（1）根據(jù)題意求出的值，即可得答案；（2）討論直線斜率是否存在，存在時，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，得根與系數(shù)關(guān)系式，進而求得M，N坐標，求出直線方程，化簡即可得結(jié)論；（3）結(jié)合（2）求出面積的表達式，利用換元法化簡，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得最值.【詳解】（1）由題意：，則，故橢圓的方程為；（2）證明：當斜率均存在時，設(shè)直線方程為：，設(shè)，則，聯(lián)立得，得，直線過橢圓焦點，必有，則，故，將上式中的換成，則同理可得：，如，得，則直線斜率不存在，此時直線過點，設(shè)點為P，下證動直線過定點.若直線斜率存在，則，直線為，令，得，即直線過定點；當斜率有一條不存在時，不妨設(shè)AB斜率不存在，則CD斜率為0，此時M即為F，N即為O點，直線也過定點，綜上，直線過定點；（3）由第（2）問可知直線過定點，故，令，，則，則在單調(diào)遞減，故當時，取得最大值，此時取得最大值，此時.【點睛】難點點睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的定點定值問題，綜合性較強；解答時要注意聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式化簡求值，難點在于計算過程比較復(fù)雜，計算量較大，需要十分細心.10．（23-24高二上·陜西渭南·期末）如圖，過點C0,1的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于點，過點的直線與橢圓交于另一點，并與軸交于點，直線與直線交于點；(1)當直線過橢圓右焦點時，求點的坐標；(2)當點異于點時，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合離心率，以及關(guān)系，即可求得橢圓方程和直線方程，聯(lián)立方程即可得出結(jié)果；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立得到點坐標，再表示出直線方程，與直線聯(lián)立即可得到坐標，利用向量的數(shù)量積即可得證.【詳解】（1）由題知，，又，，所以，，則橢圓方程為，此時為焦點，所以直線斜率為，所以直線方程為，聯(lián)立得：，解得，代入直線方程，得，可得點坐標為.（2）當直線與軸垂直時不符合題意；因為，，則直線方程：，設(shè)直線方程：，和橢圓聯(lián)立得：，解得，代入直線得，則點坐標為，又，則，則直線方程為，和直線聯(lián)立，解得，則，又為與軸交點，則，所以為定值.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點與圓、點與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.2．（北京·高考真題）已知拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)．過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；(2)求證：A為線段BM的中點．【答案】（1）拋物線C的焦點坐標為，準線方程為x＝－；（2）見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）代入點求得拋物線的方程，根據(jù)方程表示焦點坐標和準線方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為（），與拋物線方程聯(lián)立，再由根與系數(shù)的關(guān)系，及直線ON的方程為，聯(lián)立求得點的坐標為，再證明.試題解析：（Ⅰ）由拋物線C：過點P（1，1），得.所以拋物線C的方程為.拋物線C的焦點坐標為（，0），準線方程為.（Ⅱ）由題意，設(shè)直線l的方程為（），l與拋物線C的交點為，.由，得.則，.因為點P的坐標為（1，1），所以直線OP的方程為，點A的坐標為.直線ON的方程為，點B的坐標為.因為，所以.故A為線段BM的中點.【名師點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，當看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)的關(guān)系，找準題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來即可，有時不一定要把結(jié)果及時求出來，可能需要整體代換到后面的計算中去，從而減少計算量.3．（四川·高考真題）橢圓有兩頂點A（﹣1，0）、B（1，0），過其焦點F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P．直線AC與直線BD交于點Q．（Ⅰ）當|CD|=時，求直線l的方程；（Ⅱ）當點P異于A、B兩點時，求證：為定值．【答案】（Ⅰ）y=x+1（Ⅱ）見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓有兩頂點A（﹣1，0）、B（1，0），焦點F（0，1），可知橢圓的焦點在y軸上，b=1，c=1，，可以求得橢圓的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理和弦長公式可求出直線l的方程；（Ⅱ）根據(jù)過其焦點F（0，1）的直線l的方程可求出點P的坐標，該直線與橢圓交于C、D兩點，和直線AC與直線BD交于點Q，求出直線AC與直線BD的方程，解該方程組即可求得點Q的坐標，代入即可證明結(jié)論．（Ⅰ）∵橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標準方程為（a＞b＞0），由已知得b=1，c=1，所以a=，橢圓的方程為，當直線l與x軸垂直時與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），將直線l的方程代入橢圓的方程化簡得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，則x1+x2=﹣，x1?x2=﹣，∴|CD|====，解得k=．∴直線l的方程為y=x+1；（Ⅱ）證明：當直線l與x軸垂直時與題意不符，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），∴P點的坐標為（﹣，0），由（Ⅰ）知x1+x2=﹣，x1?x2=﹣，且直線AC的方程為y=，且直線BD的方程為y=，將兩直線聯(lián)立，消去y得，∵﹣1＜x1，x2＜1，∴與異號，==，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1==﹣，∴與y1y2異號，與同號，∴=，解得x=﹣k，故Q點坐標為（﹣k，y0），=（﹣，0）?（﹣k，y0）=1，故為定值．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題點評：此題是個難題．本題考查了橢圓的標準方程和簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力．體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想4．（北京·高考真題）已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【分析】(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達式，結(jié)合韋達定理確定t的值即可證明直線恒過定點.【詳解】（Ⅰ）因為橢圓的右焦點為，所以；因為橢圓經(jīng)過點,所以，所以，故橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)聯(lián)立得，，，.直線，令得，即；同理可得.因為,所以；，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．5．（全國·高考真題）在直角坐標系中，曲線C：y=與直線交與M,N兩點，（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐標，再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標和P點坐標，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來，利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關(guān)系，從而找出適合條件的P點坐標.試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)可得，，或，.∵，故在=處的導(dǎo)數(shù)值為，C在處的切線方程為，即.故在=-處的導(dǎo)數(shù)值為-，C在處的切線方程為，即.故所求切線方程為或.（Ⅱ）存在符合題意的點，證明如下：設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點，，，直線PM，PN的斜率分別為.將代入C得方程整理得.∴.∴==.當時，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故∠OPM=∠OPN，所以符合題意.