第07講 立體幾何中的軌跡、截面、動點(diǎn)、范圍問題（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第07講立體幾何中的軌跡、截面、動點(diǎn)、范圍問題（9類核心考點(diǎn)精講精練）立體幾何中的動點(diǎn)軌跡問題，是一個(gè)備受關(guān)注的重要專題，它在各級各類考試中占據(jù)一席之地，特別是在高考中亦常有所見。此類題型不僅是檢驗(yàn)學(xué)生空間想象能力、思維能力和創(chuàng)新意識的有效手段，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。在高考復(fù)習(xí)備考過程中，其試題常以選擇、多選、填空等形式呈現(xiàn)，設(shè)計(jì)巧妙，注重知識間的交匯與融合，題型新穎靈活，旨在全面考查學(xué)生的綜合素質(zhì)。通過此類題型，不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生對各部分知識間的縱向和橫向聯(lián)系的掌握程度，還能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，滲透數(shù)學(xué)思想方法，充分體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育目標(biāo)。然而，由于這類問題通常涉及較為復(fù)雜的空間幾何體結(jié)構(gòu)特征，對于許多學(xué)生而言，確實(shí)存在一定的挑戰(zhàn)和難度。知識講解方法點(diǎn)睛1：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：1、立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般是根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動點(diǎn)的軌跡方程；3、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.方法點(diǎn)睛2：立體幾何中的軌跡問題：1、由動點(diǎn)保持平行性求軌跡.（1）線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡；（2）平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡.2、動點(diǎn)保持垂直求軌跡.（1）可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡；（2）利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡；（3）利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡.3、由動點(diǎn)保持等距（或者定距）求軌跡.（1）距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線的定義或者球和圓的定義等知識求解軌跡；（2）利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡.4、由動點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡.（1）直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面；（2）直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面；（3）利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡.5、投影求軌跡.（1）球的非正投影，可能是橢圓面；（2）多面體的投影，多為多邊形.6、翻折與動點(diǎn)求軌跡.（1）翻折過程中尋求不變的垂直關(guān)系求軌跡；（2）翻折過程中尋求不變的長度關(guān)系求軌跡；（3）利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡.考點(diǎn)一、軌跡形狀1．（浙江·高考真題）如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是A．直線 B．拋物線C．橢圓 D．雙曲線的一支2．（北京·高考真題）平面的斜線交于點(diǎn)，過定點(diǎn)的動直線與垂直，且交于點(diǎn)，則動點(diǎn)的軌跡是（）A．一條直線 B．一個(gè)圓 C．一個(gè)橢圓 D．曲線的一支3．（北京·高考真題）如圖，在正方體中，是側(cè)面內(nèi)一動點(diǎn)，若到直線與直線的距離相等，則動點(diǎn)的軌跡是（

）A．直線 B．圓C．雙曲線 D．拋物線4．（天津·高考真題）如圖，定點(diǎn)A，B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)，C是內(nèi)異于A和B的動點(diǎn)，且，則動點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是（

）A．一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C．一段弧，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D．半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)5．（重慶·高考真題）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是（

）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線6．（浙江·高考真題）如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動，使得△ABP的面積為定值，則動點(diǎn)P的軌跡是A．圓 B．橢圓C．一條直線 D．兩條平行直線7．（重慶·高考真題）若三棱錐的側(cè)面內(nèi)一動點(diǎn)P到底面的距離與到棱的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡與組成圖形可能是（

）A． B．C． D．8．（北京·高考真題）如圖，動點(diǎn)在正方體的對角線上，過點(diǎn)作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于M，N．設(shè)，，則函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C．D．1．（2023·浙江·一模）已知線段垂直于定圓所在的平面，是圓上的兩點(diǎn)，是點(diǎn)在上的射影，當(dāng)運(yùn)動，點(diǎn)運(yùn)動的軌跡（

）A．是圓 B．是橢圓 C．是拋物線 D．不是平面圖形2．（2023·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，當(dāng)直線與的所成角為45°時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為（

）A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓3．（2024·廣東梅州·一模）如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)是面上的動點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的2倍，則動點(diǎn)的軌跡是（

）的一部分A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知空間中兩條直線、異面且垂直，平面且，若點(diǎn)到、距離相等，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線5．（2023·云南文山·模擬預(yù)測）用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓，用一個(gè)不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線．記圓錐軸截面半頂角為，截口曲線形狀與，有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，截口曲線為拋物線：當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線．其中，，現(xiàn)有一定線段AB，其與平面所成角（如圖），B為斜足，上一動點(diǎn)P滿足，設(shè)P點(diǎn)在的運(yùn)動軌跡是，則（

）A．當(dāng)，時(shí)，是橢圓 B．當(dāng)，時(shí)，是雙曲線C．當(dāng)，時(shí)，是拋物線 D．當(dāng)，時(shí)，是圓6．（2024·浙江溫州·一模）如圖，所有棱長都為1的正三棱柱，，點(diǎn)是側(cè)棱上的動點(diǎn)，且，為線段上的動點(diǎn)，直線平面，則點(diǎn)的軌跡為（

）

A．三角形（含內(nèi)部） B．矩形（含內(nèi)部）C．圓柱面的一部分 D．球面的一部分7．（2023·貴州黔西·一模）在正方體中，點(diǎn)為平面內(nèi)的一動點(diǎn)，是點(diǎn)到平面的距離，是點(diǎn)到直線的距離，且（為常數(shù)），則點(diǎn)的軌跡不可能是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線考點(diǎn)二、軌跡長度1．（2023·湖北省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為2，M為棱的中點(diǎn)，N為底面正方形ABCD上一動點(diǎn)，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動點(diǎn)N的軌跡的長度為．2．（2024·四川南充·二模）三棱錐中，，，為內(nèi)部及邊界上的動點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正四棱錐的體積為，底面的四個(gè)頂點(diǎn)在經(jīng)過球心的截面圓上，頂點(diǎn)在球的球面上，點(diǎn)為底面上一動點(diǎn)，與所成角為，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）如圖，二面角的大小為，已知A、B是l上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，，，AB與平面BCD所成的角為，若點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影H在的內(nèi)部（包括邊界），則點(diǎn)H的軌跡的長度為（

）A． B． C． D．5．（2024·江西·二模）已知正方體的棱長為4，點(diǎn)滿足，若在正方形內(nèi)有一動點(diǎn)滿足平面，則動點(diǎn)的軌跡長為（

）A．4 B． C．5 D．6．（2023·江西贛州·二模）在棱長為4的正方體中，點(diǎn)滿足，，分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動，滿足面，則點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長為（

）A． B． C． D．7．（2024·廣西南寧·一模）在邊長為4的菱形中，．將菱形沿對角線折疊成大小為的二面角．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，為三棱錐表面上的動點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)軌跡的長度為（

）A． B． C． D．8．（22-23高三下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將，，，分別沿，，，把這個(gè)矩形折成一個(gè)空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點(diǎn)分別記為，，為的中點(diǎn)，則多面體的體積為；若點(diǎn)是該多面體表面上的動點(diǎn)，滿足時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為．1．（2024·江蘇·一模）在棱長為的正方體中，點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在該正方體的表面上，且，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．2（2023·河北·模擬預(yù)測）已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐）P－ABCD的底面正方形邊長為2，其內(nèi)切球O的表面積為，動點(diǎn)Q在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，且滿足，則動點(diǎn)Q形成軌跡的周長為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川成都·三模）在棱長為5的正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的內(nèi)切球的球面上運(yùn)動，且，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點(diǎn)，為平面上的動點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知點(diǎn)是邊長為1的正方體表面上的動點(diǎn)，若直線與平面所成的角大小為，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．6．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）在正四棱臺中，，，是四邊形內(nèi)的動點(diǎn)，且，則動點(diǎn)運(yùn)動軌跡的長度為（

）A． B． C． D．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）在三棱錐中，底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰直角三角形，，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．8．（2023·青海·模擬預(yù)測）在正四棱臺中，，點(diǎn)在底面內(nèi)，且，則的軌跡長度是.考點(diǎn)三、軌跡區(qū)域面積1．（2023·四川成都·三模）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點(diǎn)，已知，圓柱的高為5．若點(diǎn)在圓柱表面上運(yùn)動，且滿足，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為．2．（2024·四川成都·二模）在所有棱長均相等的直四棱柱中，，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為，則該四棱柱的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2022·山東濰坊·三模）已知正方體的棱長為1，空間一動點(diǎn)滿足，且，則，點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為．4．（2023·上?！つM預(yù)測）正方體的邊長為1，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，是側(cè)面上動點(diǎn)，若直線與面的交點(diǎn)位于內(nèi)（包括邊界），則所有滿足要求的點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積為.5．（2023·廣西·一模）如圖，在正方體中，，P是正方形ABCD內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動點(diǎn)，則（

）A．有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得 B．平面C．若，則三棱錐外接球的表面積為 D．M為的中點(diǎn)，若MP與平面ABCD所成的角為，則點(diǎn)P的軌跡長為1．（2024·四川成都·二模）在正方體中，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為，則該正方體的表面積為（

）A．6 B．8 C．24 D．542．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知四棱錐中，側(cè)面底面，，底面是邊長為的正方形，是四邊形及其內(nèi)部的動點(diǎn)，且滿足，則動點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為（

）A． B． C． D．3．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）已知正方體中，，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為．4．（2024·北京延慶·一模）已知在正方體中，，是正方形內(nèi)的動點(diǎn)，，則滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積等于（

）A． B． C． D．5．（22-23高三上·江西撫州·期中）已知菱形的各邊長為.如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時(shí).若是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動，且始終保持則點(diǎn)的軌跡的面積為.

6．（2024·四川綿陽·三模）如圖，正方體的棱長為3，點(diǎn)是側(cè)面上的一個(gè)動點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)在棱上，且．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若保持．則點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度為B．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度為C．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為D．當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為考點(diǎn)四、軌跡中長度的最值及范圍1．（2022·青海西寧·二模）在棱長為3的正方體中，P為內(nèi)一點(diǎn)，若的面積為，則AP的最大值為．2．（17-18高二下·山西大同·階段練習(xí)）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)M，N分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)，點(diǎn)Q在線段上，若，則長度的最小值為.

3．（23-24高三上·河北承德·期中）如圖，在直三棱柱中，，若為空間一動點(diǎn)，且，則滿足條件的所有點(diǎn)圍成的幾何體的體積為；若動點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動，且，則線段長的最小值為．

1．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）如圖，在四面體中，和均是邊長為6的等邊三角形，，則四面體外接球的表面積為；點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在四面體的外接球上運(yùn)動，且始終保持EF⊥AC，則點(diǎn)F的軌跡的長度為.2．（2023·山東棗莊·二模）如圖，在棱長為1的正方體中，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面上的動點(diǎn)，且．平面，則線段MP長度的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為是正方形（含邊界）內(nèi)的動點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離等于，則兩點(diǎn)間距離的最大值為（

）A． B．3 C． D．考點(diǎn)五、軌跡中體積的最值及范圍1．（2024·重慶·三模）已知棱長為1的正方體內(nèi)有一個(gè)動點(diǎn)M，滿足，且，則四棱錐體積的最小值為.2．（2023·福建龍巖·二模）正方體的棱長為2，若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．1．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直，點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動．設(shè)，，若，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，則該四面體的內(nèi)切球半徑為．2．（2024·山東青島·三模）已知長方體中，，點(diǎn)為矩形內(nèi)一動點(diǎn)，記二面角的平面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值為.考點(diǎn)六、軌跡中空間角的最值及范圍1．（2021·山東濱州·二模）在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動點(diǎn)，若平面，則異面直線與所成角的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇鹽城·三模）動點(diǎn)在正方體從點(diǎn)開始沿表面運(yùn)動，且與平面的距離保持不變，則動直線與平面所成角正弦值的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（17-18高三上·江西鷹潭·階段練習(xí)）如圖，已知平面，，A、B是直線l上的兩點(diǎn)，C、D是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，，，．P是平面上的一動點(diǎn)，且直線PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（

）A． B． C． D．14．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知正方形的邊長為2，是平面外一點(diǎn)，設(shè)直線與平面的夾角為，若，則的最大值是（

）A． B． C． D．1．（2021·湖南永州·模擬預(yù)測）已知正四面體內(nèi)接于半徑為的球中，在平面內(nèi)有一動點(diǎn)，且滿足，則的最小值是；直線與直線所成角的取值范圍為.2．（2023·河南·模擬預(yù)測）正方體的棱長為，為中點(diǎn)，為平面內(nèi)一動點(diǎn)，若平面與平面和平面所成銳二面角相等，則點(diǎn)到的最短距離是（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·青海西寧·開學(xué)考試）如圖，正四面體的棱長為2，點(diǎn)E在四面體外側(cè)，且是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．現(xiàn)以為軸，點(diǎn)E繞旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)三棱錐E?BCD的體積最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的平方為（

）

A． B． C． D．考點(diǎn)七、截面問題1．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知，底面半徑的圓錐內(nèi)接于球，則經(jīng)過和中點(diǎn)的平面截球所得截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東廣州·二模）用兩個(gè)平行平面去截球體，把球體夾在兩截面之間的部分稱為球臺．根據(jù)祖暅原理（“冪勢既同，則積不容異”），推導(dǎo)出球臺的體積，其中分別是兩個(gè)平行平面截球所得截面圓的半徑，是兩個(gè)平行平面之間的距離．已知圓臺的上、下底面的圓周都在球的球面上，圓臺的母線與底面所成的角為，若圓臺上、下底面截球所得的球臺的體積比圓臺的體積大，則球O的表面積與圓臺的側(cè)面積的比值的取值范圍為．4．（22-23高三下·湖北武漢·期中）在正四棱臺中，，AA1=23，M為棱的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺的體積最大時(shí)，平面MBD截該正四棱臺的截面面積是（

A． B． C． D．5．（2024·北京豐臺·二模）“用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線”．利用這個(gè)原理，小明在家里用兩個(gè)射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻上投影出兩個(gè)相同的橢圓（圖1），光錐的一條母線恰好與墻面垂直．圖2是一個(gè)射燈投影的直觀圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，橢圓所在平面為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．1．（2024·四川瀘州·三模）已知正方體的棱長為2，P為的中點(diǎn)，過A，B，P三點(diǎn)作平面，則該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測）正方體外接球的體積為，、、分別為棱的中點(diǎn)，則平面截球的截面面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，過點(diǎn)作三棱錐的截面，使截面平行于直線和，當(dāng)該截面面積取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·四川德陽·階段練習(xí)）已知正三棱錐的外接球是球，正三棱錐底邊，側(cè)棱，點(diǎn)在線段上，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·重慶·三模）在三棱錐中，為正三角形，為等腰直角三角形，且，，則三棱錐的外接球的體積為；若點(diǎn)滿足，過點(diǎn)作球的截面，當(dāng)截面圓面積最小時(shí)，其半徑為.考點(diǎn)八、軌跡、截面、動點(diǎn)、范圍多選題綜合1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為2，M為的中點(diǎn)，N為ABCD（包含邊界）上一動點(diǎn)，為平面上一點(diǎn)，且平面ABCD，那么（

）A．若，則N的軌跡為圓的一部分B．若三棱柱的側(cè)面積為定值，則N的軌跡為橢圓的一部分C．若點(diǎn)N到直線與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線的一部分D．若與AB所成的角為，則N的軌跡為雙曲線的一部分2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體中，若點(diǎn)為四邊形內(nèi)（包括邊界）的動點(diǎn)，為平面內(nèi)的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，則平面截正方體所得截面的面積為B．若直線與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線C．若，則點(diǎn)的軌跡長度為D．若正方體以直線為軸，旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，則的最小值是1203．（2024·遼寧大連·二模）在棱長為2的正方體中，M為中點(diǎn)，N為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面BMD，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為C．點(diǎn)N的軌跡長度為 D．的取值范圍為4．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為1，空間中一動點(diǎn)滿足，分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得平面B．設(shè)與平面交于點(diǎn)，則C．若，則點(diǎn)的軌跡為拋物線D．三棱錐的外接球半徑最小值為5．（23-24高二上·廣東清遠(yuǎn)·期末）如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的值最小B．當(dāng)時(shí)，C．若平面上的動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是橢圓D．直線與平面所成角的正弦值是6．（23-24高二上·湖北·期末）如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體的表面上一個(gè)動點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)在平面上運(yùn)動時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)在線段上運(yùn)動時(shí)，與所成角的取值范圍是C．當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為D．當(dāng)在底面上運(yùn)動，且滿足平面時(shí)，線段長度的取值范圍是7．（2024·湖南長沙·二模）在正方體中，為的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部一點(diǎn)（不含邊界），則（

）A．平面平面B．平面內(nèi)存在一條直線與直線成角C．若到邊距離為，且，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分D．以的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，到平面的距離的取值范圍是8．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）用平面截圓柱面，圓柱的軸與平面所成角記為，當(dāng)為銳角時(shí)，圓柱面的截線是一個(gè)橢圓．著名數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的雙球?qū)嶒?yàn)證明了上述結(jié)論．如圖所示，將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切．下列結(jié)論中正確的有（

）

A．橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等B．橢圓的長軸長與嵌入圓柱的兩球的球心距相等C．所得橢圓的離心率D．其中為橢圓長軸，為球半徑，有9．（2024·浙江臺州·二模）已知正方體的棱長為1，為平面內(nèi)一動點(diǎn)，且直線與平面所成角為，E為正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡為拋物線B．正方體的內(nèi)切球被平面所截得的截面面積為C．直線與平面所成角的正弦值的最大值為D．點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，則的最小值為1．（2024·遼寧大連·一模）正四棱柱中，，動點(diǎn)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，直線平面B．當(dāng)時(shí)，的最小值為C．若直線與所成角為，則動點(diǎn)P的軌跡長為D．當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球半徑的取值范圍是2．（2024·河北保定·二模）已知正三棱柱的所有棱長均為為的中點(diǎn)，平面過點(diǎn)與直線垂直，與直線分別交于點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，則（

）A．為的中點(diǎn)B．C．為的中點(diǎn)D．的最小值為3．（2024·浙江·三模）在棱長為1的正方體中，已知分別為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)，四棱錐的外接球的表面積是C．周長的最小值為D．若，則點(diǎn)的軌跡長為4．（2024·河北石家莊·三模）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）

A．若點(diǎn)為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為B．若點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最小值為C．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則平面與四邊形的交線長為D．若點(diǎn)在側(cè)面正方形內(nèi)（包含邊界）且，則點(diǎn)的軌跡長度為5．（2024·湖南益陽·三模）如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體的表面上的一個(gè)動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)P在平面上運(yùn)動時(shí)，四棱錐的體積不變B．當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動時(shí)，與所成角的取值范圍為C．使直線AP與平面ABCD所成角為的動點(diǎn)P的軌跡長度為D．若F是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在底面ABCD上運(yùn)動，且滿足平面時(shí)，PF長度的最小值為6．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿足，其中，則（

）A．當(dāng)時(shí)，最小值為B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，平面AB1P⊥D．若，則P的軌跡長度為7．（2024·河北衡水·三模）已知在正方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且平面，球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，下列說法正確的是（

）A．球的體積為 B．點(diǎn)的軌跡長度為C．異面直線與BP所成角的余弦值取值范圍為 D．三棱錐外接球與球內(nèi)切8．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體的表面上一個(gè)動點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)P在平面上運(yùn)動時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動時(shí)，與所成角的取值范圍是C．若F是的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面ABCD上運(yùn)動，且滿足時(shí)，長度的最小值是D．使直線AP與平面ABCD所成的角為的點(diǎn)P的軌跡長度為9．（23-24高三下·山東·開學(xué)考試）如圖，在棱長為1的正方體中，M為平面所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，則（

）

A．若M在線段上，則的最小值為B．過M點(diǎn)在平面內(nèi)一定可以作無數(shù)條直線與垂直C．若平面，則平面截正方體的截面的形狀可能是正六邊形D．若與所成的角為，則點(diǎn)M的軌跡為雙曲線考點(diǎn)九、軌跡、截面、動點(diǎn)、范圍大題綜合1．（2022·廣東汕頭·二模）如圖所示，C為半圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐底面圓心，BD為底面直徑，A為弧BD中點(diǎn)．是邊長為2的等邊三角形，弦AD上點(diǎn)E使得二面角的大小為30°，且．(1)求t的值；(2)對于平面ACD內(nèi)的動點(diǎn)P總有平面BEC，請指出P的軌跡，并說明該軌跡上任意點(diǎn)P都使得平面BEC的理由．2．（2024·重慶·一模）如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，．

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面；(2)若平面與平面所成的角的余弦值為．（?。┣缶€段的長；（ⅱ）設(shè)為內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，求滿足條件的所有點(diǎn)組成的軌跡的長度．3．（22-23高二上·北京石景山·期末）如圖1，在中，是直角，，是斜邊的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．沿中線將折起，連接，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，如圖2所示．(1)求證：平面；(2)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)．求的值．條件①：；條件②：．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形是直角梯形，，平面是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，的面積為，四棱錐的體積為．(1)求證：平面;(2)若P是線段上一動點(diǎn)，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求的值．5．（2024·江西新余·二模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面平面；(2)若，，線段上的點(diǎn)滿足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值.1．（2023·湖南·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐內(nèi)，平面，四邊形為正方形，，．過的直線交平面于正方形內(nèi)的點(diǎn)，且滿足平面PAM⊥平面.(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡長度；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求二面角的余弦值.2．（22-23高二上·重慶九龍坡·期中）如圖①所示，長方形中，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將△沿翻折到△PAM，連接，，得到圖②的四棱錐.(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設(shè)的大小為，若，求平面PAM和平面夾角余弦值的最小值.3．（22-23高三上·浙江寧波·期末）在菱形中，G是對角線上異于端點(diǎn)的一動點(diǎn)（如圖1），現(xiàn)將沿向上翻折，得三棱錐（如圖2）.(1)在三棱錐中，證明：；(2)若菱形的邊長為，，且，在三棱錐中，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.4．（23-24高二上·上海·期末）把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”．如圖，橢圓柱中底面長軸，短軸長為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，為上的動點(diǎn)，為上的動點(diǎn)，為過點(diǎn)的下底面的一條動弦（不與重合）．(1)求證：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面(2)若點(diǎn)是下底面橢圓上的動點(diǎn)，是點(diǎn)在上底面的投影，且與下底面所成的角分別為，試求出的取值范圍．(3)求三棱錐的體積的最大值．5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在梯形中，，，.將沿對角線折到的位置，點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影H恰好落在直線上.(1)求二面角的正切值；(2)點(diǎn)F為棱上一點(diǎn)，滿足，在棱上是否存在一點(diǎn)Q，使得直線與平面所成的角為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.6．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段與上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.1．（2021·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）在長方體中，點(diǎn)是底面上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)三角形的面積為定值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)所形成的圖形為（

）A．圓的一部分 B．直線的一部分C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分2．（2021·河北保定·一模）已知長方體，動點(diǎn)到直線的距離與到平面的距離相等，則在平面上的軌跡是（

）A．線段 B．橢圓一部分 C．拋物線一部分 D．雙曲線一部分3．（2021·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知正四棱柱，底面邊長為4，側(cè)棱長為，平面為經(jīng)過且與平面平行的平面，平面內(nèi)一動點(diǎn)P滿足到點(diǎn)的距離與到直線BD的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡為（

）A．圓 B．雙曲線 C．兩條直線 D．拋物線4．（陜西西安·階段練習(xí)）如圖，正方體中，P為底面上的動點(diǎn)，于E，且則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．線段 B．圓 C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分5．（2021·廣東韶關(guān)·一模）設(shè)正方體的棱長為1，為底面正方形內(nèi)的一動點(diǎn)，若三角形的面積，則動點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓的一部分 B．雙曲線的一部分C．拋物線的一部分 D．橢圓的一部分6．（2021·福建龍巖·一模）正方體的棱長為a，P是正方體表面上的動點(diǎn)，若，則動點(diǎn)P的軌跡長度為.7．（2023·上海松江·一模）動點(diǎn)的棱長為1的正方體表面上運(yùn)動，且與點(diǎn)的距離是，點(diǎn)的集合形成一條曲線，這條曲線的長度為8．（2021·浙江溫州·模擬預(yù)測）已知過平面外一點(diǎn)A的斜線l與平面所成角為，斜線l交平面于點(diǎn)B，若點(diǎn)A與平面的距離為1，則斜線段在平面上的射影所形成的圖形面積是（

）A． B． C． D．9．（2022·河南許昌·三模）如圖，在體積為3的三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，，若點(diǎn)M是側(cè)面CBP內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)M的軌跡長度的最大值為（

）A．3 B．6 C． D．10．（2023·河南·三模）如圖，在棱長為1的正方體中，是截面上的一個(gè)動點(diǎn)（不包含邊界），若，則的最小值為（

）

A． B． C． D．11．（2021·北京海淀·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，是側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則下