2021屆重慶市縉云教育聯(lián)盟高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁2020-2021學(xué)年重慶市縉云教育聯(lián)盟高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，若，則實數(shù)a的取值所組成的集合是（）A． B． C．0， D．0，【答案】D【分析】等價于，分、兩種情況討論，從而可得答案.【詳解】.當(dāng)時，為空集，滿足條件.當(dāng)時，或，解得或.綜上可得，實數(shù)a的取值所組成的集合是2，.故選：D.【點睛】本題主要考查集合的表示方法，空集的定義，以及并集與子集的定義，屬于基礎(chǔ)題.2．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判定,利用換底公式化為同底數(shù)的對數(shù)，可以證明從而比較大小.【詳解】，，，故選:A.3．函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，的單調(diào)減區(qū)間為在定義域上的單調(diào)增區(qū)間.再根據(jù)一元二次函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】解：函數(shù)的定義域為令，則為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：的單調(diào)遞減區(qū)間為在上的單調(diào)增區(qū)間.，對稱軸為，開口向下，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.方法點睛：（1）先求出函數(shù)的定義域；（2）判斷外層函數(shù)的單調(diào)性；（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，判斷要求的內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性；（4）求出單調(diào)區(qū)間.4．已知中，點是線段上靠近的三等分點，是線段的中點，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】不妨設(shè)為等腰直角三角形，其中，以線段所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系,分別求得向量的坐標(biāo)，利用平面向量的基本定理求解.【詳解】不妨設(shè)為等腰直角三角形，其中，以線段所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系；設(shè)，故，，故，，，故，，設(shè)，則，解得，故．故選：C5．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，若恒成立，則的最小值為（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】由，求得，又由，求得，求得，得到，進而求得，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，整理得，即，由，可得，即，所以，所以，所以，所以，因為恒成立，所以，故的最小值為1.故選：A.【點睛】若把一個數(shù)列的通項拆成兩項之差，在去和時中間的一些項可以相互抵消，從而取得前和，其中常見裂項的技巧：①；②；③；④；⑤.6．已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】令，利用奇偶性定義和導(dǎo)數(shù)可確定的奇偶性和單調(diào)性；將已知等式進行變形，令，，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性可知且，利用等差數(shù)列求和公式可確定結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，為上的奇函數(shù)；又，為上的增函數(shù).由得：，由得：，令，，則，，即，，為等差數(shù)列，；又為增函數(shù)且，，即，.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)函數(shù)值的大小關(guān)系確定自變量的大小關(guān)系，進而確定數(shù)列中的項之間的關(guān)系，從而推導(dǎo)得出結(jié)論.7．在棱長為2的正方體中，P，Q，R分別是AB，AD，的中點，設(shè)過P，Q，R的截面與面以及面的交線分別為l，m，則l，m所成的角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作交于G，連接QP并延長與CB的延長線交于M，連接MR交于E，連接PE，延長PQ交CD的延長線于N，連接NG交于F，連接QF，F(xiàn)G，從而可得l，m所成的角即為EP，EM所成的角，在中即可求解.【詳解】如圖所示，作交于G，連接QP并延長與CB的延長線交于M，連接MR交于E，連接PE，RE為截面的部分圖形，同理延長PQ交CD的延長線于N，連接NG交于F，連接QF，F(xiàn)G，則l，m所成的角即為EP，EM所成的角，設(shè)為，易知，，，所以.故選：D.8．若，且，則等于（）A．81 B．27 C．243 D．729【答案】A【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)先求出n值，再用賦值法即可得解.【詳解】因，由組合數(shù)的性質(zhì)得(2n+6)+(n+2)=20，解得n=4，所求值的式子是x=-1時二項展開式的值，所以.故選：A二、多選題9．下列結(jié)論正確的有（）A．公共汽年上有10位乘客，沿途5個車站，乘客下車的可能方式有種B．兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是C．若隨機變量X服從二項分布，則D．已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個，剩下的六個數(shù)據(jù)分別是3，3，5，3，6，11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)，眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為12【答案】BCD【分析】應(yīng)用排列組合的“住店法”，每個乘客可在5個站任一站下車即可判斷A是否正確；應(yīng)用捆綁、插空法即可知B的正誤；由二項分布得到分布列即可求，進而判斷C正誤；由平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念，應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合分類討論中位數(shù)求出所有可能值并加總，即可知D是否正確.【詳解】A選項：10位乘客，沿途5個車站，則每位乘客都可能在5個車站任意一個車站下車，所以每位乘客的下車可能方式有種，故10位乘客一共有種；B選項：兩位男生和兩位女生隨機排成一列，兩位女生不相鄰：先將女生看成一組，在兩位男生所排的隊列中插空有種排法，而一共有，所以不相鄰的情況有，故概率為；C選項：X服從二項分布有，則分布列如下：012345∴；D選項：設(shè)丟失數(shù)據(jù)為，則平均數(shù)為，而數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定為3，對于中位數(shù)有：當(dāng)時，中位數(shù)是3；當(dāng)時，中位數(shù)是；當(dāng)時，中位數(shù)是5；∴中位數(shù)是3時，有，即；中位數(shù)是時，，即；中位數(shù)是5時，，即；∴丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為12.故選：BCD【點睛】本題考查了排列組合、概率等知識，綜合應(yīng)用了排列組合的住店法、捆綁插空法，利用二項分布得到分布列，進而求概率，以及中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的概念，結(jié)合等差數(shù)列、分類討論等方法求值，屬于難題.10．已知拋物線，焦點為F，過焦點的直線l拋物線C相交于，兩點，則下列說法一定正確的是（）A．的最小值為2B．線段AB為直徑的圓與直線相切C．為定值D．過點A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，則【答案】BCD【分析】由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，，直線的方程為：代入可得：，所以，，可判斷A，求出的中點坐標(biāo)計算到直線的距離是否等于弦長的一半即可判斷B，計算可判斷選項C，，，分別計算等式左右兩端可以判斷選項D，即可得正確答案.【詳解】由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，，直線的方程為：代入可得：，所以，，弦長，所以過焦點的弦的最小值為，故選項A不正確；所以的中點為到直線的距離為，而，所以半徑，所以圓心到直線的距離等于半徑，可得以線段AB為直徑的圓與直線相切，故選項B正確；，即，故選項C正確；，，所以，，所以，故選項D正確；故選：BCD【點睛】結(jié)論點睛：拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論設(shè)是過拋物線的焦點的弦，若，，則：（1），；（2）若點在第一象限，點在第四象限，則，，弦長，（為直線的傾斜角）；（3）；（4）以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；（5）以或為直徑的圓與軸相切.11．已知，為正實數(shù)，且，則（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最大值為【答案】ABD【分析】依次將代數(shù)式進行適當(dāng)變形，通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值.【詳解】對于A，由，得，令，則，，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時滿足，即，故選項A正確；對于B，由，得.令，則，可得，解得(舍去)或，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項B正確；對于C，，即.，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，選項C不正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，選項D正確.故選：ABD.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.12．在單位圓上任取一點，圓O與x軸正半軸的交點為A，設(shè)將OA繞原點O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角為，記x，y關(guān)于的表達式分別為，，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間為D．函數(shù)的最大值為【答案】BCD【分析】依據(jù)三角函數(shù)的基本概念可知，，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷A、B；根據(jù)輔助角公式知，再利用三角函數(shù)求單調(diào)遞減區(qū)間即可判斷C；對于D，，先對函數(shù)求導(dǎo)，從而可知函數(shù)的單調(diào)性，進而可得當(dāng)，時，函數(shù)取得最大值，結(jié)合正弦的二倍角公式，代入進行運算即可得解．【詳解】由題意知，，對于A，，，為奇函數(shù)，故錯誤；對于B，，最小正周期為，故正確；對于C，，因為，又在單調(diào)遞減，故C正確；對于D，，因為，當(dāng)，是減函數(shù)，當(dāng)，是增函數(shù)，所以當(dāng)，，t最大，則，正確，故選：BCD.【點睛】方法點睛：考查三角函數(shù)的值域時，常用的方法：（1）將函數(shù)化簡整理為，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求值域；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值.三、雙空題13．兄弟三人同在某單位上班，該單位規(guī)定，每位職工可以在每周7天中任選2天休息，一旦選定以后不再改動，則兄弟三人恰有兩人休息日完全一致的概率為____；設(shè)兄弟三人中休息日完全一致的人數(shù)為X，則隨機變量X的均值是_____.【答案】【分析】先求出三人中每個人都從7天選2天的試驗的基本事件總數(shù)，再求出恰有兩人選擇完全一致的事件所含基本事件數(shù)即可得解；寫出X的可能值，并求出各個取值時的概率即可作答.【詳解】每個人從7天中選2天休息有種，三人中每個人都從7天選2天的試驗的基本事件總數(shù)是，它們等可能，三人中取兩人選擇一致有種，再選兩天有種，第三人選兩天選法有種，三人恰有兩人休息日完全一致的事件A有個基本事件，；隨機變量X的可能值是0，2，3，，，，，所以隨機變量X的均值是.故答案為：；【點睛】關(guān)鍵點睛：古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求概率的事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉；(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.四、填空題14．拋物線的焦點為F，點F關(guān)于原點的對稱點為，P為拋物線上一點，，，若，則直線PF的斜率為________.【答案】【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為，過點作，垂足為．可求出，由此可求出，，進而求出，從而求出直線的斜率．【詳解】解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為，過點作，垂足為．則，根據(jù)拋物線的定義，知．在△中，，，，，可求得．與不能重合，所以直線與拋物線有兩個交點，，即，直線的斜率為．故答案為：15．將6個半徑都為1的鋼球完全裝入形狀為圓柱的容器里，分兩層放入，每層3個，下層的3個小球兩兩相切且均與圓柱內(nèi)壁相切，則該圓柱體的高的最小值為______.【答案】【分析】上面三個球心記為，下面三個球心記為，平面到圓柱上底面距離為1，平面到圓柱下底面距離為1，再求出平面和平面的距離即可得圓柱高的最小值．【詳解】6個球抽象出6個球心，上面三個球心記為，下面三個球心記為，平面到圓柱上底面距離為1，平面到圓柱下底面距離為1，平面與平面平行，多面體棱長均為2，設(shè)分別是和的中心，則在路線上，在中線上，平面，易知，連接作于，則，，由題意，，∴，∴圓柱高的最小值為．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查圓柱內(nèi)切球問題，解題關(guān)鍵由6個球外切抽象出球心構(gòu)成有多面體，由對稱性得出這個多面體的性質(zhì)，從而求得兩個平面和平面的距離，得出圓柱體的高的最小值．16．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)遞增，則a的取值范圍是_____________.【答案】【分析】是復(fù)合函數(shù)，由其外函數(shù)的單調(diào)性和已知條件，確定出內(nèi)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性即可作答.【詳解】因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而復(fù)合函數(shù)在區(qū)間內(nèi)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)遞增，又二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則有，即.故答案為：五、解答題17．已知是等差數(shù)列，其前項和為，是正項等比數(shù)列，且，，，．（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）若，記，，求．【答案】（1），，；（2）．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意得，，從而可求出，，進而可求得數(shù)列與的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用錯位相減法求數(shù)列的前項和，利用等比數(shù)列的前項和公式求出數(shù)列的前項和，進而可求出【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，得，．由，，得解得，（舍負(fù)），故，，．（2）由（1）得設(shè)．①．②由①-②得∴又∴18．在中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若角為鈍角，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和，可得，再利用正弦定理邊化角可得，結(jié)合角，的范圍，利用二倍角公式，可得，即可求得角的大??；（2）根據(jù)角B為鈍角得，即可求得角C的范圍，進而可得的范圍，利用正弦定理邊化角可得，利用兩角和的正弦公式，展開化簡，可得，根據(jù)的范圍，即可求得答案.【詳解】解：（1）因為，所以，由正弦定理邊化角得：．由，得，所以，因為，所以，所以，所以，所以．（2）由角B為鈍角，得，解得，從而，．由正弦定理邊化角得：故的取值范圍是．【點睛】易錯點為：根據(jù)角B為鈍角，需列出，進而可得角C的范圍，再結(jié)合正弦定理求解，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.19．已知圓臺軸截面，圓臺的上底面圓半徑與高相等，下底面圓半徑為高的兩倍，點為下底圓弧的中點，點為上底圓周上靠近點A的的四等分點，經(jīng)過、，三點的平面與弧交于點，且，，三點在平面的同側(cè)．（1）判斷平面與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論﹔（2）為上底圓周上的一個動點，當(dāng)四棱錐的體積最大時，求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）平面；證明見解析；（2）．【分析】（1）先證，由線線平行得到線面平行；（2）設(shè)圓臺的上底面圓的半徑為，建立空間直角坐標(biāo)系，表示出向量，，再求解夾角的余弦值即可.【詳解】（1）平面∵圓臺的兩個底面互相平行∴平面與圓臺兩個底面的交線平行．又因為點為上底圓周上靠近點的的四等分點，∴點為下底圓周上靠近點的的四等分點，∴．∵點為下底圓弧的中點，∴，所以．又平面，平面，∴平面．（2）當(dāng)四棱錐的體積最大時，也就是點到平面的距離最大，此時點為上底圓周上的中點．設(shè)圓臺的上底面圓的半徑為，則高為，以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，則，∴異面直線與所成角的余弦值為．當(dāng)點在的另一側(cè)中點時，異面直線與所成角的余弦值也是∴異面直線與所成角的余弦值為．【點睛】本題采用建立空間直角坐標(biāo)系的方法求解異面直線所成角，可求出兩條直線所在向量，利用，求出向量夾角的余弦值，由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．20．已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為m.（1）求m的值；（2）若對，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可以求出最值；（2）構(gòu)造函數(shù)，然后按照含參數(shù)的求導(dǎo)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，然后求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).，即.（2）原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立.設(shè)，，，令，.（i）若，則恒成立，在上為增函數(shù)，，，即恒成立，在上為增函數(shù)，而，.（ii）若，令，得.①當(dāng)，即時，在上為增函數(shù)，又，同（i）成立；②當(dāng)，即時，此時在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，

在上有唯一的解，在上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，而，存在，不符合題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】恒成立問題解題思路：（1）參變量分離：（2）構(gòu)造函數(shù)：①構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；②構(gòu)造函數(shù)后，研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化之后參數(shù)分離即可解決問題.21．已知曲線上的點D到點的距離與到直線：的距離的比為，點P為直線m上的一個動點，且過點M的直線l與曲線C交于A，B兩點.（1）求曲線C的方程；（2）若為等邊三角形，求線段AB的長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)點，由題意直接列方程，化簡整理即可求解.（2）討論直線l的斜率不存在或直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出，求出AB的中點為，根據(jù)，求出直線l的斜率即可求解.【詳解】（1）設(shè)點為曲線上的一點，則，整理得曲線C的方程為.（2）由（1）知，，，.當(dāng)直線l的斜率不存在時，，此時，或，，，若為等邊三角形，則點P在x軸上，又點P為直線上的一個動點，，，此時不是等邊三角形，不符合題意當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立消去y，得.直線恒過定點，在橢圓內(nèi)部，恒成立.設(shè)，，則有，，則.設(shè)AB的中點為，則，，直線PQ的斜率為由題意知，又P為直線上的一點，，.當(dāng)為等邊三角形時，，即，解得，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)求出直線的斜率，考查了數(shù)學(xué)運算能力.2