（講評用卷）2024年河南某鄭州外國語三模·數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷第頁（共頁）2024年河南某鄭州外國語三?！?shù)學(xué)全卷總分:120分考試時間:100分鐘一、選擇題1.2024的絕對值是（）A．

?2024 B．2024C．12024

D．

1.B2.“春江潮水連海平，海上明月共潮生”，水是詩人鐘愛的意象，經(jīng)測算，一個水分子的直徑約為0.0000000004m，數(shù)據(jù)0.0000000004用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．4×10﹣11 B．4×10﹣10C．4×10﹣9 D．0.4×10﹣92.B3.廟底溝彩陶罐是用紅陶泥燒制而成，表面做了拋光處理．它上身肥胖，下身纖細(xì)，整個彩陶罐體型較大，完整無缺，是仰韶文化廟底溝類型的典型遺物．如圖所示，關(guān)于它的三視圖下列說法正確的是（）A．主視圖與俯視圖的形狀相同 B．主視圖與左視圖的形狀相同C．左視圖與俯視圖的形狀相同 D．三種視圖的形狀都相同3.B4.下列調(diào)查中，適宜采用抽樣調(diào)查方式的是（）A．調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力B．選出某班短跑最快的學(xué)生參加運動會C．企業(yè)招聘，對應(yīng)聘人員進(jìn)行面試D．地鐵站工作人員對乘客進(jìn)行安全檢查4.A5.下列運算正確的是（）A．5+6=11

B．a(chǎn)7÷aC．（﹣3a）2＝6a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣15.B【解析】A．

5與6不是同類二次根式，無法合并，A選項不合題意；B．a(chǎn)7÷a3＝a4，B選項符合題意；C．（﹣3a）2＝9a2，C選項不合題意；D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，D選項不合題意．6.如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD相交于點E，F(xiàn)，G是AB上一點，連接FG.若∠CFG＝112°，∠GEF＝73°，則∠EFG的度數(shù)為（）A．73° B．56° C．41° D．39°6.D【解析】∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠GEF＝73°，∵∠CFG＝112°，∴∠EFG＝112°﹣73°＝39°．7.明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀；七兩分之多四兩，九兩分之少半斤．其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩，問有多少人，多少銀兩（注：明代當(dāng)時1斤＝16兩，故有“半斤八兩”這個成語）．設(shè)有x人，銀子有y兩，可列方程組是（）A．

7xB．

7C．

x=D．

x7.B8.兩千四百多年前，我國學(xué)者墨子就在《墨經(jīng)》中記載了小孔成像實驗的做法與成因，圖①是小孔成像實驗圖，抽象為數(shù)學(xué)問題如圖②，AC與BD交于點O，AB∥CD，若點O到AB的距離為10cm，點O到CD的距離為15cm，蠟燭火焰AB的高度是3cm，則蠟燭火焰倒立的像CD的高度是（）A．5cm B．4.5cm C．6.5cm D．8cm8.B【解析】∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO，又∵點O到AB的距離為10cm，點O到CD的距離為15cm，∴

ABCD=1015，又∵AB＝9.已知點A（?1，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在二次函數(shù)y＝?2(x?3)2+a的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y19.C【解析】由題意可知，二次函數(shù)y＝?2(x?3)2+a的圖象的對稱軸為直線x＝3，開口方向向下，則離對稱軸越遠(yuǎn)的點的縱坐標(biāo)越小，點A離對稱軸最遠(yuǎn)，點B離對稱軸最近，所以y2＞y3＞y1．10.如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點E是邊AB的中點，點P是邊BC上一動點，設(shè)PC＝x，PA+PE＝y(tǒng)，圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H是圖象中的最低點，那么a+b的值為（）A．143B．23+C．63

D．2110.A【解析】當(dāng)P與B重合時，由圖②知，BE+BA＝6，∵點E是邊AB的中點，∴BE

=12AB，∴BE＝2，AB＝4＝AC，作A關(guān)于直線BC的對稱點A'，連接A'E交BC于點P，AA'交BC于點K，連接A'B，如圖，此時PA＝PA'，∴PA+PE＝PA'+PE，當(dāng)A'，P，E三點共線時，PA'+PE最小，即PA+PE最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵A，A'關(guān)于BC對稱，∴∠AKC＝90°，∴AK＝A'K

=12AC＝2，∠CAK＝60°，∴AA'＝AB＝4，∠BAA'＝∠BAC﹣∠CAK＝60°，∴△ABA'是等邊三角形，∵E是AB中點，∴∠AA'E

=12∠AA'B＝30°，∠AEA'＝90°，∵AP＝A'P，∴∠PAA'＝30°，∴∠PAK＝∠PAE＝30°，∴∠PAC＝∠PAK+∠CAK＝90°，在Rt△APC中，AP＝AC?tan30°=433，CP＝2AP=833=b，在Rt△APE中，PE

=12AP=233，∴a二、填空題11.諺語“冰凍三尺，非一日之寒”體現(xiàn)了冰的厚度隨時間變化的一個變化過程，在該變化過程中因變量是

．11.冰的厚度12.今年春節(jié)電影《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《熊出沒逆轉(zhuǎn)時空》《第二十條》在網(wǎng)絡(luò)上持續(xù)引發(fā)熱議，根據(jù)國家電影局2月18日發(fā)布數(shù)據(jù)，我國2024年春節(jié)檔電影票房達(dá)80.16億元，創(chuàng)造了新的春節(jié)檔票房紀(jì)錄．甲、乙兩位同學(xué)打算去觀看這四部影片的其中一部，則這兩位同學(xué)選擇觀看相同影片的概率為

．12.1【解析】將《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》、《熊出沒逆轉(zhuǎn)時空》、《第二十條》分別記為A，B，C，D，列表如下，共有16種等可能的結(jié)果，其中這兩位同學(xué)選擇觀看相同影片的結(jié)果有4種，∴這兩位同學(xué)選擇觀看相同影片的概率為

416ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）13.若點A（a，b）在雙曲線

y=5x上，則代數(shù)式ab﹣5的13.0【解析】∵點A（a，b）在雙曲線

y=5x上，∴ab＝5，∴ab﹣5＝5﹣514.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△DCE，點B經(jīng)過的路徑為BE?，將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后，點B恰好落在CE上的點F處，點B經(jīng)過的路徑為BF?，則圖中陰影部分的面積是

.（14.3【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，∴AB＝AF＝2AC＝2，BC＝CE＝

3AC

=3，∴S陰影＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF

=12×15.如圖，在邊長為6的等邊三角形ABC中，點D在AB邊上，且AB＝3AD，點E為BC邊上一動點，將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得線段EF，連接DF，CF，當(dāng)DF與△ABC的某條邊平行時，則線段CF的長為

．15.2或2【解析】在邊長為6的等邊三角形ABC中，點D在AB邊上，且AB＝3AD，∴

AD=13AB=2，則BD＝4，若DF∥AC，如答案圖①，∵將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得線段EF，∴△DEF是等邊三角形，且邊長為4，∴CF＝BC﹣BF＝2；若DF∥BC，如答案圖②，∵將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得線段EF，∴△DEF是等邊三角形，∵DF∥BC，∴∠ADF＝60°，∠DEB＝60°，則∠BDE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BDE為等邊三角形，且邊長為4，連接CF，如答案圖③，設(shè)AC與EF交于點H，∠FEC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△HEC是等邊三角形，則HE＝EC＝CH＝2，∠EHC＝∠HCE＝60°，∵EF＝4，∴HF＝2，即CH＝HF，則∠HFC＝∠HCF＝30°，∴∠FCE＝90°，在Rt△EFC中，EF＝4，EC＝2，則由勾股定理可得CF＝2

3；當(dāng)E與C重合時，如答案圖④，∴DF∥AB的情況不存在；綜上所述，線段三、解答題16.（1）計算：

12+（2）解不等式組

5+16.解：（1）

原式＝23+2+1＝2

3+（2）

5+由①得

x＜由②得x≥﹣5，∴不等式組的解集為

?5≤x

＜8∴它的正整數(shù)解為1，2．17.為了解學(xué)生掌握垃圾分類知識的情況，增強學(xué)生環(huán)保意識．某校舉行了“垃圾分類人人有責(zé)”的知識測試活動，現(xiàn)從該校七、八年級中各隨機抽取20名學(xué)生的測試成績（滿分為10分，6分及6分以上為合格）進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．七年級20名學(xué)生的測試成績?yōu)椋?，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6八年級20名學(xué)生的測試成績條形統(tǒng)計圖如圖；七、八年級抽取的學(xué)生的測試成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、8分及以上人數(shù)所占百分比如表所示：年級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)8分及以上人數(shù)所占百分比七年級7.5a745%八年級7.58bc根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）a＝

，b＝

，c＝

；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生掌握垃圾分類知識較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七、八年級共2000名學(xué)生參加了此次測試活動，估計參加此次測試活動成績合格的學(xué)生人數(shù)是多少？17.解：（1）7；7.5；50%；【解法提示】∵七年級20名學(xué)生的測試成績?yōu)椋?，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，其中7出現(xiàn)次數(shù)的最多，∴a＝7，由條形統(tǒng)計圖可得，b＝（7+8）÷2＝7.5，c＝（5+2+3）÷20×100%＝50%.（2）八年級學(xué)生掌握垃圾分類知識較好，理由如下，∵八年級的8分及以上人數(shù)所占百分比大于七年級，∴八年級學(xué)生掌握垃圾分類知識較好；（答案不唯一，合理即可）（3）∵從調(diào)查的數(shù)據(jù)看，七年級2人的成績不合格，八年級2人的成績不合格，∴參加此次測試活動成績合格的學(xué)生有2000

×(20答：估計參加此次測試活動成績合格的學(xué)生有1800人．18.如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC．（1）若以點A為圓心的圓與邊BC相切于點D，請在圖中作出點D；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若該圓與邊AC相交于點E，連接DE，點F為該圓上任意一點（不與點D、點E重合），連接EF，DF．求證：∠CDE＝∠F．18.解：（1）如圖①，點D即為所求，答案圖①（2）如圖②，∵BC是⊙A的切線，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠DAC

=12∠BAC＝∴∠F

=12∠DAE＝∵AD＝AE，∴△ADE為等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°，∴∠CDE＝∠F＝30°．答案圖②19.數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機開展實物測量的社會實踐活動．如圖所示，在河岸邊的C處，興趣小組令一架無人機沿67°的仰角方向飛行130m到達(dá)點A處，然后無人機沿水平線AF方向繼續(xù)飛行30m至B處，測得此時河對岸D處的俯角為32°．線段AM的長為無人機距地面的鉛直高度，點M，C，D在同一條直線上．（參考數(shù)據(jù)：sin32°

≈1732，cos32°

≈1720，tan32°

≈58，sin67°

≈1213，（1）求無人機的飛行高度AM；（2）求CD的長．19.解：（1）由題意得，AM⊥MD，在Rt△AMC中，AC＝130m，∠ACM＝67°，∴AM＝AC?sin67°≈130

×1213=120∴無人機的飛行高度AM約為120m；（2）如圖，過點B作BG⊥DM，垂足為G，由題意得，AB＝MG＝30米，AM＝BG＝120m，∠FBD＝32°，AF∥DM，∴∠FBD＝∠BDG＝32°，在Rt△BDG中，DG

=BGta在Rt△AMC中，AC＝130米，∠ACM＝67°，∴CM＝AC?cos67°≈130

×513=50∴CD＝MG+DG﹣CM＝30+192﹣50＝172（m），∴CD的長約為172m．20.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)

y=mx（m為常數(shù)）的圖象交于點A（a，4）和B（8（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）若點E是x軸上一動點，且∠OAE＝∠AOC，請直接寫出點E的坐標(biāo)．20.解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y＝kx+b，將B（8，1）代入

y=mx，可得m∴

y=將A（a，4）代入

y=得a＝2，∴A（2，4），將A（2，4）和B（8，1）代入y＝kx+b，得

4=解得

k=∴一次函數(shù)的解析式為

y=（2）當(dāng)y＝0時，

0=解得x＝10，∴D（10，0），∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD=1＝15；（3）E的坐標(biāo)為（2，0）或

(?【解法提示】如圖，過點A作AE1⊥x軸于點E1，則AE1∥OC，∴∠OAE1＝∠AOC，∵A（2，4），∴E1（2，0）；如圖，作∠OAE2＝∠AOC，AE2交y軸于點F，過點A作AG⊥y軸于點G，∴OG＝4，AG＝2，∵∠OAE2＝∠AOC，∴AF＝OF，設(shè)OF＝a，則AF＝a，F(xiàn)G＝4﹣a，由勾股定理可得，AG2+FG2＝AF2，∴22+(4﹣a)2＝a2，解得

a=52，∴

OF=52，

F(0，52)，設(shè)直線AF的解析式為y＝mx+n，代入

F(0，52)，A（2，4），得

52=0+n4=2m+n，解得

m21.隨著人們環(huán)保意識的提高和技術(shù)的飛速發(fā)展，新能源汽車已成為汽車市場的一股不可忽視的力量．為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場計劃購買甲、乙兩種型號的充電樁．已知甲型充電樁比乙型充電樁的單價多0.2萬元，用16萬元購買甲型充電樁與用12萬元購買乙型充電樁的數(shù)量相等．（1）甲、乙兩種型號充電樁的單價各是多少？（2）該停車場計劃購買甲、乙兩種型號的充電樁共30個，且乙型充電樁的購買數(shù)量不超過甲型充電樁購買數(shù)量的2倍，則如何購買所需總費用最少？21.解：（1）設(shè)乙型充電樁的單價是x萬元，則甲型充電樁的單價是（x+0.2）萬元，由題意得,

16x解得x＝0.6，經(jīng)檢驗，x＝0.6是原方程的解，且符合題意，∴x+0.2＝0.6+0.2＝0.8，

答：甲型充電樁的單價是0.8萬元，乙型充電樁的單價是0.6萬元；（2）設(shè)購買甲型充電樁的數(shù)量為m個，則購買乙型充電樁的數(shù)量為（30﹣m）個，由題意得,30﹣m≤2m，解得m≥10，設(shè)所需費用為w萬元，由題意得w＝0.8m+0.6×（30﹣m）＝0.2m+18，∵0.2＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m＝10時，w取得最小值，此時，30﹣m＝30﹣10＝20，答：購買甲型充電樁10個，乙型充電樁20個，所需費用最少．22.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（

-1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)0≤x≤m時，y的取值范圍是0≤y≤

7516，求m的取值范圍（3）如圖②，點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作PD⊥BC于點D，過點P作y軸的平行線交直線BC于點E，直接寫出Rt△PDE周長的最大值．22.解：（1）把A（-1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得，a?解得

a=∴拋物線的表達(dá)式為y

=?34x2

+（2）∵y

=?34x2

+94x+3

=?34（∴拋物線的頂點為（

32，

75∵當(dāng)0≤x≤m時，y≤

7516∴m≥

32①∵y≥0時，?1≤m≤4，∴

?1≤m≤4②，∴由①②得m的取值范圍是

32≤m≤4（3）Rt△PDE周長的最大值為

365【解法提示】在y

=?34x2

+94x+3中，令x＝0∴C（0，3），∵B（4，0），∴BC

=32+42=5，直線BC解析式為∴△BOC的周長L△BOC＝OB+OC+BC＝4+3+5＝12，設(shè)P（n，

?34n2

+94n+3），則E（n，

∴PE

=?34n2

+94n+3

?（

?34n+3）∵PE∥y軸，∴∠PED＝∠BCO，∵∠PDE＝∠BOC＝90°，∴△PED∽△BCO，∴

L△∴

L△∴L△PDE

=?95n2

+365n

=?95（∵

?95∴當(dāng)n＝2時，L△PDE取最大值

365

23.綜合與實踐【問題】小張、小王、小袁在《解析與檢測》中發(fā)現(xiàn)這樣一道題：如圖①，在矩形ABCD中，O為對角線BD的中點，∠ABD＝60°，動點E在線段OB上，動點F在線段OD上，點E，F(xiàn)同時從點O出發(fā)，分別向終點B，D運動，且始終保持OE＝OF．點E關(guān)于AD，AB的對稱點為E1，E2；點F關(guān)于BC，CD的對稱點為F1，F(xiàn)2，在整個運動過程中，四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是什么？【探究】（1）小張覺得在點E，F(xiàn)運動過程中，四邊形E1E2F1F2的兩組對邊分別相等，所以四邊形E1E2F1F2形狀必定為

；（2）小王覺得小張說的不全面，于是三人繼續(xù)探索：①小王看到四邊形E1E2F1F2的四邊分別經(jīng)過了原矩形的四個頂點，且在圖①中，連接DE1和DF2，只要能說明∠E1DF2為180°即可，其余三條邊都可以用這個方法證明．請你根據(jù)小王的說法，證明E1F2經(jīng)過點D；②小王發(fā)現(xiàn)，點E，F(xiàn)在點O時，四邊形E1E2F1F2為菱形；點E，F(xiàn)分別運動到終點B，D時，四邊形E1E2F1F2為菱形；并猜想點E，F(xiàn)在運動過程中，四邊形E1E2F1F2能為矩形．請你利用圖②判斷點E，F(xiàn)在運動過程中，四邊形E1E2F1F2能否為矩形？若能，請找到點F的位置并證明此時四邊形E1E2F1F2為矩形；若不能，請說明理由；【應(yīng)用】（3）經(jīng)過探索，三人得出了四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是菱形、平行四邊形、矩形、平行四邊形、菱形的結(jié)論．如圖③，在原題的基礎(chǔ)上，將條件∠ABD＝60°變?yōu)锳B＝6，AD＝8，其余條件不變，小袁發(fā)現(xiàn)在點E，F(xiàn)運動過程中，四邊形E1E2F1F2依然能夠形成矩形和菱形，請你直接分別寫出形成的菱形和矩形的周長．23.解：（1）平行四邊形；【解法提示】如圖①，連接EE1，EE2，F(xiàn)F1，F(xiàn)F2，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∠ADB＝∠CBD＝30°，∵O為BD的中點，∴OB＝OD，∵OE＝OF，∴DF＝EB，∴DE＝BF，由軸對稱的性質(zhì)可知，DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1，∴DF2＝DF＝BE＝BE2，DE1＝DE＝BF＝BF1，由軸對稱的性質(zhì)可知，∠E1DA＝∠ADB＝30°，∠CDF2＝∠BDC＝60°，∴∠E1DA+∠ADB+∠CDF2+∠BDC＝180°，∴點E1，D，F(xiàn)2

在同一條直線上，同理，點E2，B，F(xiàn)1

三點在同一條直線上，點F1，C，F(xiàn)2在同一條直線上，點E1，A，E2在同一條直線上，∴DF2＝BE2，DE1＝BF1，∴DF2+DE1＝BE2+BF1，即E1F2＝E2F1，由軸對稱的性質(zhì)可知，∠E1DE＝2∠ADB＝2∠CBD＝∠F1BF，∴△DE1E≌△BF1F（SAS），∴E1E＝F1F，同理可得，EE2＝FF2，∵點F與點F2關(guān)于CD對稱，∴FF2⊥CD，同理可得，F(xiàn)F1⊥BC，EE1⊥AD，EE2⊥AB，又∵在矩形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，設(shè)FF1與CB交于點Q，F(xiàn)F2與CD交于點R，EE1與AD交于點H，EE2與AB交于點P，∴四邊形FRCQ，HAPE均為矩形，∴∠E1EE2＝∠F1FF2＝90°，∴△E1EE2≌△F1FF2（SAS）∴E1E2＝F1F2，∴四邊形E1E2F1F2是平行四邊形.答案