2025年湖南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六單元　第二十四講　與圓有關(guān)的位置關(guān)系（含答案）

22年湖南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二十四講與圓有關(guān)的位置關(guān)系學(xué)生版知識(shí)要點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練習(xí)1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)設(shè)圓O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離為OP=d.則:點(diǎn)P在圓外?;點(diǎn)P在圓上?;

點(diǎn)P在圓內(nèi)?.

(2)確定圓的條件:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定圓.

(3)三角形的外心:三角形外接圓的圓心,三角形三邊的的交點(diǎn).

1.(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A(1,0),B(0,-3),C(2,-3)確定一個(gè)圓(填“能”或“不能”).

(2)已知☉O的半徑為5,當(dāng)線段OA=6時(shí),則點(diǎn)A與☉O的位置關(guān)系是()A.在圓上 B.在圓外C.在圓內(nèi) D.不能確定2.直線與圓的位置關(guān)系(1)設(shè)圓O的半徑為r,圓心到直線的距離為OP=d.則:直線與圓相離?;直線與圓相切?;直線與圓相交?;

(2)切線的定義、性質(zhì)與判定:①定義:和圓有公共點(diǎn)的直線.

②性質(zhì):圓的切線過切點(diǎn)的直徑.

③判定:經(jīng)過半徑的外端,并且于這條半徑的直線是圓的切線.

(3)切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng),這一點(diǎn)和圓心的連線兩條切線的夾角.

2.(1)(教材再開發(fā)·湘教九下P65練習(xí)T1改編)已知☉O的半徑r=5,圓心O到直線l的距離d=3,則直線l與☉O的位置關(guān)系為()A.相交 B.相切C.相離 D.相交或相切(2)如圖,PA,PB切☉O于點(diǎn)A,B,直線FG切☉O于點(diǎn)E,交PA于F,交PB于點(diǎn)G,若PA=8cm,則△PFG的周長(zhǎng)是()A.8cm B.12cmC.16cm D.20cm3.三角形的內(nèi)切圓(1)定義:與三角形各邊都的圓.

(2)三角形的內(nèi)心:三角形的圓心,是三角形三條的交點(diǎn).

(3)性質(zhì):三角形的內(nèi)心到三角形的的距離相等.

(4)半徑:r=2S△ABCa+b+c3.兩直角邊分別為6,8,那么Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑為.

考點(diǎn)1點(diǎn)、線與圓的位置關(guān)系【例1】如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=3cm,BC=4cm.O為AB的中點(diǎn).問題1以C為圓心,2.5cm為半徑作☉C,則O與☉C的位置關(guān)系為()A.O在☉C內(nèi) B.O在☉C上C.O在☉C外 D.無(wú)法確定問題2以B為圓心,R為半徑作圓,使得點(diǎn)C在圓內(nèi),點(diǎn)A在圓外,則R的值可以是()A.4 B.4.6 C.5 D.5.6問題3以C為圓心,2cm為半徑作☉C,直線AB與☉C位置關(guān)系是.

問題4以C為圓心,以r為半徑作圓.若此圓與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn),則r的取值范圍為125【方法技巧】“一找二求三比”定位置關(guān)系第一步,找到半徑;第二步,求出距離(圓心到點(diǎn)的距離或圓心到線的距離);第三步,比較大小得結(jié)論.提醒:直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系.【變式訓(xùn)練】1.已知☉O的半徑是4,OA=3,則點(diǎn)A與☉O的位置關(guān)系是()A.點(diǎn)A在圓內(nèi) B.點(diǎn)A在圓上C.點(diǎn)A在圓外 D.無(wú)法確定2.已知☉O的半徑等于5,圓心O到直線l的距離是3,則直線l與☉O公共交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.無(wú)法確定考點(diǎn)2切線的性質(zhì)【例2】(2024·鹽城中考)如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的☉O上,過點(diǎn)C作☉O的切線l,過點(diǎn)A作AD⊥l,垂足為D,連接AC,BC.(1)求證:△ABC∽△ACD;(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半徑.【方法技巧】見切線,連半徑題目中如果出現(xiàn)切線,連接圓心和切點(diǎn),得到垂直,再根據(jù)直角三角形和等腰三角形的結(jié)論,利用勾股定理、銳角三角函數(shù)等求出邊長(zhǎng)和角的度數(shù).【變式訓(xùn)練】(2024·臨夏州中考)如圖,直線l與☉O相切于點(diǎn)D,AB為☉O的直徑,過點(diǎn)A作AE⊥l于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AB交直線l于點(diǎn)C.(1)求證:AD平分∠CAE;(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半徑.考點(diǎn)3切線的判定【例3】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為邊AC上的點(diǎn),以AD為直徑作☉O,連接BD并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)E,連接CE,CE=BC.(1)求證:CE是☉O的切線;(2)若CD=2,BC=4,求AC的長(zhǎng).切線判定的兩種方法1.直線與圓有公共點(diǎn)時(shí),連半徑,證垂直.常用的方法有:(1)利用等角轉(zhuǎn)換證垂直;(2)利用三角形全等證垂直;(3)利用平行證垂直.2.沒有給出直線與圓的公共點(diǎn),作垂直,證半徑.常用的方法有:(1)當(dāng)有角平分線時(shí),可利用角平分線的性質(zhì),來(lái)證明所作垂線等于半徑;(2)當(dāng)存在線段相等、角相等等條件時(shí),通過構(gòu)造直角三角形,利用全等三角形的性質(zhì),來(lái)證明所作垂線等于半徑.【變式訓(xùn)練】(2024·內(nèi)江中考)如圖,AB是☉O的直徑,C是BD的中點(diǎn),過點(diǎn)C作AD的垂線,垂足為點(diǎn)E.(1)求證:△ACE∽△ABC;(2)求證:CE是☉O的切線;(3)若AD=2CE,OA=2,求陰影部分的面積.【例4】(教材原題·湘教版九年級(jí)下冊(cè)·P74例6)如圖2-51,☉O是△ABC的內(nèi)切圓,∠A=70°,求∠BOC的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】由O是內(nèi)心,可得角平分線,再利用三角形內(nèi)角和定理即可解得.【方法技巧】三角形內(nèi)切圓有關(guān)性質(zhì)1.三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn);2.如圖1:∠BOC=90°+12∠AS△ABC=12(a+b+c)r3.如圖2:r=12(a+b-c)【變式訓(xùn)練】1.(2024·長(zhǎng)沙模擬)如圖,△ABC的內(nèi)切圓☉O分別與AB,BC,AC相切于點(diǎn)D,E,F,且AD=3,BE=2,CF=4,則△ABC的周長(zhǎng)為()A.18 B.17 C.16 D.152.(2024·濱州中考)劉徽(今山東濱州人)是魏晉時(shí)期我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家,中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一,被譽(yù)為“世界古代數(shù)學(xué)泰斗”.劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)十分重視一題多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導(dǎo),他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形式.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的長(zhǎng)分別為c,a,b.則可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的內(nèi)切圓直徑d,下列表達(dá)式錯(cuò)誤的是()A.d=a+b-c B.d=2C.d=2(c-a)(c-b) D.d3.《九章算術(shù)》中記載:“今有勾八步,股一十五步.問勾中容圓,徑幾何?”譯文:現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形,短直角邊的長(zhǎng)為8步,長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為15步.問這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少?書中給出的算法譯文如下:如圖,根據(jù)短直角邊的長(zhǎng)和長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng),求得斜邊的長(zhǎng).用直角三角形三條邊的長(zhǎng)相加作為除數(shù),用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù),計(jì)算所得的商就是這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的直徑.根據(jù)以上方法,求得該直徑等于步.(注:“步”為長(zhǎng)度單位)

1.(2023·邵陽(yáng)中考)如圖,AD是☉O的直徑,AB是☉O的弦,BC與☉O相切于點(diǎn)B,連接OB,若∠ABC=65°,則∠BOD的大小為.

2.(2023·衡陽(yáng)中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以點(diǎn)C為圓心,r為半徑作圓,當(dāng)所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時(shí),r的值為2453.(2023·常德中考)如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,AB是直徑,C是BD的中點(diǎn),過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證:CE是☉O的切線;(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的長(zhǎng).4.(2024·湖南中考)【問題背景】已知點(diǎn)A是半徑為r的☉O上的定點(diǎn),連接OA,將線段OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到OE,連接AE,過點(diǎn)A作☉O的切線l,在直線l上取點(diǎn)C,使得∠CAE為銳角.【初步感知】(1)如圖1,當(dāng)α=60°時(shí),∠CAE=°;

【問題探究】(2)以線段AC為對(duì)角線作矩形ABCD,使得邊AD過點(diǎn)E,連接CE,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)F.①如圖2,當(dāng)AC=2r時(shí),求證:無(wú)論α在給定的范圍內(nèi)如何變化,BC=CD+ED總成立:②如圖3,當(dāng)AC=43r,CEOE=23時(shí),請(qǐng)補(bǔ)全圖形,并求tanα及5.(2024·長(zhǎng)沙中考)對(duì)于凸四邊形,根據(jù)它有無(wú)外接圓(四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上)與內(nèi)切圓(四條邊都與同一個(gè)圓相切),可分為四種類型,我們不妨約定:既無(wú)外接圓,又無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無(wú)圓”四邊形;只有外接圓,而無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形;只有內(nèi)切圓,而無(wú)外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形;既有外接圓,又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.請(qǐng)你根據(jù)該約定,解答下列問題:(1)請(qǐng)你判斷下列說法是否正確(在題后相應(yīng)的括號(hào)中,正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”).①平行四邊形一定不是“平凡型無(wú)圓”四邊形;()②內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形;()③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合,外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,則有R=2r.()(2)如圖1,已知四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,四條邊長(zhǎng)滿足:AB+CD≠BC+AD.①該四邊形ABCD是“”四邊形(從約定的四種類型中選一種填入);

②若∠BAD的平分線AE交☉O于點(diǎn)E,∠BCD的平分線CF交☉O于點(diǎn)F,連接EF.求證:EF是☉O的直徑.(3)已知四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形,它的內(nèi)切圓☉O與AB,BC,CD,AD分別相切于點(diǎn)E,F,G,H.①如圖2,連接EG,FH交于點(diǎn)P.求證:EG⊥FH;②如圖3,連接OA,OB,OC,OD,若OA=2,OB=6,OC=3,求內(nèi)切圓☉O的半徑r及OD的長(zhǎng).第二十四講與圓有關(guān)的位置關(guān)系教師版知識(shí)要點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練習(xí)1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)設(shè)圓O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離為OP=d.則:點(diǎn)P在圓外?d>r;點(diǎn)P在圓上?d=r;

點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r.

(2)確定圓的條件:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

(3)三角形的外心:三角形外接圓的圓心,三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn).

1.(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A(1,0),B(0,-3),C(2,-3)能確定一個(gè)圓(填“能”或“不能”).

(2)已知☉O的半徑為5,當(dāng)線段OA=6時(shí),則點(diǎn)A與☉O的位置關(guān)系是(B)A.在圓上 B.在圓外C.在圓內(nèi) D.不能確定2.直線與圓的位置關(guān)系(1)設(shè)圓O的半徑為r,圓心到直線的距離為OP=d.則:直線與圓相離?d>r;直線與圓相切?d=r;直線與圓相交?d<r;

(2)切線的定義、性質(zhì)與判定:①定義:和圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線.

②性質(zhì):圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑.

③判定:經(jīng)過半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(3)切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

2.(1)(教材再開發(fā)·湘教九下P65練習(xí)T1改編)已知☉O的半徑r=5,圓心O到直線l的距離d=3,則直線l與☉O的位置關(guān)系為(A)A.相交 B.相切C.相離 D.相交或相切(2)如圖,PA,PB切☉O于點(diǎn)A,B,直線FG切☉O于點(diǎn)E,交PA于F,交PB于點(diǎn)G,若PA=8cm,則△PFG的周長(zhǎng)是(C)A.8cm B.12cmC.16cm D.20cm3.三角形的內(nèi)切圓(1)定義:與三角形各邊都相切的圓.

(2)三角形的內(nèi)心:三角形內(nèi)切圓的圓心,是三角形三條角平分線的交點(diǎn).

(3)性質(zhì):三角形的內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等.

(4)半徑:r=

2S△ABCa+b+c3.兩直角邊分別為6,8,那么Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑為2.

考點(diǎn)1點(diǎn)、線與圓的位置關(guān)系【例1】如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=3cm,BC=4cm.O為AB的中點(diǎn).問題1以C為圓心,2.5cm為半徑作☉C,則O與☉C的位置關(guān)系為(B)A.O在☉C內(nèi) B.O在☉C上C.O在☉C外 D.無(wú)法確定問題2以B為圓心,R為半徑作圓,使得點(diǎn)C在圓內(nèi),點(diǎn)A在圓外,則R的值可以是(B)A.4 B.4.6 C.5 D.5.6問題3以C為圓心,2cm為半徑作☉C,直線AB與☉C位置關(guān)系是相離.

問題4以C為圓心,以r為半徑作圓.若此圓與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn),則r的取值范圍為3cm<r≤4cm或r=125cm【方法技巧】“一找二求三比”定位置關(guān)系第一步,找到半徑;第二步,求出距離(圓心到點(diǎn)的距離或圓心到線的距離);第三步,比較大小得結(jié)論.提醒:直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系.【變式訓(xùn)練】1.已知☉O的半徑是4,OA=3,則點(diǎn)A與☉O的位置關(guān)系是(A)A.點(diǎn)A在圓內(nèi) B.點(diǎn)A在圓上C.點(diǎn)A在圓外 D.無(wú)法確定2.已知☉O的半徑等于5,圓心O到直線l的距離是3,則直線l與☉O公共交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(C)A.0 B.1C.2 D.無(wú)法確定考點(diǎn)2切線的性質(zhì)【例2】(2024·鹽城中考)如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的☉O上,過點(diǎn)C作☉O的切線l,過點(diǎn)A作AD⊥l,垂足為D,連接AC,BC.(1)求證:△ABC∽△ACD;(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半徑.【自主解答】(1)連接OC,∵l是☉O的切線,∴OC⊥l,∵AD⊥l,∴OC∥AD,∴∠CAD=∠ACO=∠CAB,∵∠D=∠ACB=90°,∴△ABC∽△ACD;(2)∵AC=5,CD=4,∠D=90°,∴AD=AC∵△ABC∽△ACD,∴ABAC=ACAD,∴AB5=53,∴∴☉O半徑為256【方法技巧】見切線,連半徑題目中如果出現(xiàn)切線,連接圓心和切點(diǎn),得到垂直,再根據(jù)直角三角形和等腰三角形的結(jié)論,利用勾股定理、銳角三角函數(shù)等求出邊長(zhǎng)和角的度數(shù).【變式訓(xùn)練】(2024·臨夏州中考)如圖,直線l與☉O相切于點(diǎn)D,AB為☉O的直徑,過點(diǎn)A作AE⊥l于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AB交直線l于點(diǎn)C.(1)求證:AD平分∠CAE;(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半徑.【解析】(1)連接OD,如圖,∵直線l與☉O相切于點(diǎn)D,∴OD⊥CE,∵AE⊥CE,∴OD∥AE,∴∠ODA=∠EAD,∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠OAD=∠EAD,∴AD平分∠CAE;(2)設(shè)☉O的半徑為r,則OB=OD=r,在Rt△OCD中,∵OD=r,CD=3,OC=r+1,∴r2+32=(r+1)2,解得r=4,即☉O的半徑為4.考點(diǎn)3切線的判定【例3】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為邊AC上的點(diǎn),以AD為直徑作☉O,連接BD并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)E,連接CE,CE=BC.(1)求證:CE是☉O的切線;(2)若CD=2,BC=4,求AC的長(zhǎng).【自主解答】(1)連接OE,∵∠ACB=90°,∴∠DBC+∠BDC=90°,∵CE=BC,∴∠DBC=∠BEC,∵OE=OD,∴∠OED=∠ODE,∵∠ODE=∠BDC,∴∠OED=∠BDC,∴∠OED+∠BEC=90°,即∠OEC=90°,∴OE⊥CE,∵OE是☉O的半徑,∴CE是☉O的切線.(2)∵BC=CE,BC=4,∴CE=4,設(shè)☉O的半徑為r,則OD=OE=r,OC=r+2,∵∠OEC=90°,∴OE2+CE2=OC2,∴r2+42=(r+2)2,解得r=3,∴AD=6,∴AC=AD+CD=6+2=8.【方法技巧】切線判定的兩種方法1.直線與圓有公共點(diǎn)時(shí),連半徑,證垂直.常用的方法有:(1)利用等角轉(zhuǎn)換證垂直;(2)利用三角形全等證垂直;(3)利用平行證垂直.2.沒有給出直線與圓的公共點(diǎn),作垂直,證半徑.常用的方法有:(1)當(dāng)有角平分線時(shí),可利用角平分線的性質(zhì),來(lái)證明所作垂線等于半徑;(2)當(dāng)存在線段相等、角相等等條件時(shí),通過構(gòu)造直角三角形,利用全等三角形的性質(zhì),來(lái)證明所作垂線等于半徑.【變式訓(xùn)練】(2024·內(nèi)江中考)如圖,AB是☉O的直徑,C是BD的中點(diǎn),過點(diǎn)C作AD的垂線,垂足為點(diǎn)E.(1)求證:△ACE∽△ABC;(2)求證:CE是☉O的切線;(3)若AD=2CE,OA=2,求陰影部分的面積.【解析】(1)∵C是BD的中點(diǎn),∴CD=BC,∴∠EAC=∠BAC.∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵CE⊥AE,∴∠AEC=90°,∴∠AEC=∠ACB,∴△ACE∽△ABC;(2)連接OC,如圖,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,由(1)知:∠EAC=∠BAC,∴∠EAC=∠OCA,∴OC∥AE,∵CE⊥AE,∴OC⊥CE.∵OC為☉O的半徑,∴CE是☉O的切線;(3)連接OD,過點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F,如圖,則AF=FD=12AD∵AD=2CE,∴AF=CE.∵OF⊥AD,CE⊥AE,OC⊥CE,∴四邊形EFOC為矩形,∴OF=CE,∴OF=AF,則△AFO為等腰直角三角形,∴∠FAO=45°,AF=FO=22OA=1∵OA=OD,∴∠ODA=∠FAO=45°,∴∠AOD=90°.∴S△OAD=12OA·OD=12×2×S扇形OAD=90π×(2)∴陰影部分的面積為S扇形OAD-S△OAD=π2-1考點(diǎn)4三角形的外接圓與內(nèi)切圓【例4】(教材原題·湘教版九年級(jí)下冊(cè)·P74例6)如圖2-51,☉O是△ABC的內(nèi)切圓,∠A=70°,求∠BOC的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】由O是內(nèi)心,可得角平分線,再利用三角形內(nèi)角和定理即可解得.【自主解答】∵∠A=70°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°.∵☉O是△ABC的內(nèi)切圓,∴BO,CO分別是∠ABC與∠ACB的平分線,即∠1=12∠ABC,∠2=12∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12【方法技巧】三角形內(nèi)切圓有關(guān)性質(zhì)1.三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn);2.如圖1:∠BOC=90°+12∠AS△ABC=12(a+b+c)r3.如圖2:r=12(a+b-c)【變式訓(xùn)練】1.(2024·長(zhǎng)沙模擬)如圖,△ABC的內(nèi)切圓☉O分別與AB,BC,AC相切于點(diǎn)D,E,F,且AD=3,BE=2,CF=4,則△ABC的周長(zhǎng)為(A)A.18 B.17 C.16 D.152.(2024·濱州中考)劉徽(今山東濱州人)是魏晉時(shí)期我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家,中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一,被譽(yù)為“世界古代數(shù)學(xué)泰斗”.劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)十分重視一題多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導(dǎo),他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形式.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的長(zhǎng)分別為c,a,b.則可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的內(nèi)切圓直徑d,下列表達(dá)式錯(cuò)誤的是(D)A.d=a+b-c B.d=2C.d=2(c-a)(c-b) D.d3.《九章算術(shù)》中記載:“今有勾八步,股一十五步.問勾中容圓,徑幾何?”譯文:現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形,短直角邊的長(zhǎng)為8步,長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為15步.問這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少?書中給出的算法譯文如下:如圖,根據(jù)短直角邊的長(zhǎng)和長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng),求得斜邊的長(zhǎng).用直角三角形三條邊的長(zhǎng)相加作為除數(shù),用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù),計(jì)算所得的商就是這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的直徑.根據(jù)以上方法,求得該直徑等于6步.(注:“步”為長(zhǎng)度單位)

1.(2023·邵陽(yáng)中考)如圖,AD是☉O的直徑,AB是☉O的弦,BC與☉O相切于點(diǎn)B,連接OB,若∠ABC=65°,則∠BOD的大小為50°.

2.(2023·衡陽(yáng)中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以點(diǎn)C為圓心,r為半徑作圓,當(dāng)所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時(shí),r的值為

2453.(2023·常德中考)如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,AB是直徑,C是BD的中點(diǎn),過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證:CE是☉O的切線;(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的長(zhǎng).【解析】(1)如圖,連接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵點(diǎn)C是BD的中點(diǎn),∴∠OAC=∠CAE,∴∠CAE=∠OCA,∴OC∥AE,∵AE⊥CE,∴OC⊥CE,∵OC是☉O的半徑,∴CE是☉O的切線;(2)∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∵BC=6,AC=8,∴AB=BC又∵∠BAC=∠CAE,∠AEC=∠ACB=90°,∴△AEC∽△ACB,∴ECCB=AC即EC6=8∴EC=245∵點(diǎn)C是BD的中點(diǎn),即BC=CD,∴CD=BC=6,∴DE=62-(4.(2024·湖南中考)【問題背景】已知點(diǎn)A是半徑為r的☉O上的定點(diǎn),連接OA,將線段OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到OE,連接AE,過點(diǎn)A作☉O的切線l,在直線l上取點(diǎn)C,使得∠CAE為銳角.【初步感知】(1)如圖1,當(dāng)α=60°時(shí),∠CAE=°;

【問題探究】(2)以線段AC為對(duì)角線作矩形ABCD,使得邊AD過點(diǎn)E,連接CE,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)F.①如圖2,當(dāng)AC=2r時(shí),求證:無(wú)論α在給定的范圍內(nèi)如何變化,BC=CD+ED總成立:②如圖3,當(dāng)AC=43r,CEOE=23時(shí),請(qǐng)補(bǔ)全圖形,并求tanα及【解析】(1)∵α=60°,OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=α=60°,∵AC與圓相切,∴∠OAC=90°,∴∠CAE=30°.答案:30(2)①∵四邊形ABCD是矩形,AC=2r,∴OA=OE=CF=DF=r,∵∠OAC=∠ADC=90°,∴∠OAE+∠CAD=∠ACD+∠CAD,∴∠OAE=∠ACD,∵OA=OE,CF=DF,∴∠OAE=∠OEA=∠ACD=∠CDF,在△OAE和△FCD中,∠OEA∴△OAE≌△FCD(AAS),∴AE=CD,∵AD=AE+ED,∴BC=CD+ED.即無(wú)論α在給定的范圍內(nèi)如何變化,BC=CD+ED總成立.②補(bǔ)全圖形如圖,∵AC是切線,∴∠OAC=90°,∵AC=43r∴tanα=ACOA=4設(shè)OA=3m,則AC=43r=4m,OC=5m∵CEOE=23,OE=OA=3∴CE=2m,OE+CE=OC=5m,即點(diǎn)E在線段OC上,如圖,過O作OH⊥AE,垂足為H,則AH=EH,∵∠OHE=∠D=90°,∠OEH=∠CED,∴△OEH∽△CED,∴EHED=OECE=設(shè)EH=AH=3a,則DE=2a,∴AD=AH+EH+ED=8a,在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=16m2-64a2,在Rt△CED中,CD2=CE2-ED2=4m2-4a2,∴16m2-64a2=4m2-4a2,解得a=55m∴CB=AD=855m,CD=AB=CE2∴ABBC=4555.(2024·長(zhǎng)沙中考)對(duì)于凸四邊形,根據(jù)它有無(wú)外接圓(四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上)與內(nèi)切圓(四條邊都與同一個(gè)圓相切),可分為四種類型,我們不妨約定:既無(wú)外接圓,又無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無(wú)圓”四邊形;只有外接圓,而無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形;只有內(nèi)切圓,而無(wú)外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形;既有外接圓,又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.請(qǐng)你根據(jù)該約定,解答下列問題:(1)請(qǐng)你判斷下列說法是否正確(在題后相應(yīng)的括號(hào)中,正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”).①平行四邊形一定不是“平凡型無(wú)圓”四邊形;()②內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形;()③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合,外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,則有R=2r.()(2)如圖1,已知四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,四條邊長(zhǎng)滿足:AB+CD≠BC+AD.①該四邊形ABCD是“”四邊形(從約定的四種類型中選一種填入);

②若∠BAD的平分線AE交☉O于點(diǎn)E,∠BCD的平分線CF交☉O于點(diǎn)F,連接EF.求證:EF是☉O的直徑.(3)已知四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形,它的內(nèi)切圓☉O與AB,BC,CD,AD分別相切于點(diǎn)E,F,G,H.①如圖2,連接EG,FH交于點(diǎn)P.求證:EG⊥FH;②如圖3,連接OA,OB,OC,OD,若OA=2,OB=6,OC=3,求內(nèi)切圓☉O的半徑r及OD的長(zhǎng).【解析】(1)①∵平行四邊形對(duì)角不互補(bǔ),∴平行四邊形無(wú)外接圓.∵平行四邊形對(duì)邊之和也不相等,∴平行四邊形無(wú)內(nèi)切圓.∴平行四邊形是“平凡型無(wú)圓”四邊形,故①錯(cuò)誤;②∵內(nèi)角不等于9